(共58张PPT)
6.2.3 向量的数乘运算
第六章 平面向量及其应用
学习指导 核心素养
1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解两个平面向量共线的含义． 2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义． 1.数学抽象：理解向量数乘的概念．
2.数学运算：向量数乘的运算律及其向量的线性运算．
3.逻辑推理：利用向量共线定理解决具体问题．
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必备知识 落实
知识点一 向量的数乘运算
文字表述 规定实数λ与向量a的积是一个_____，这种运算叫做向量的数乘，记作____ 规定 长度 |λa|＝___________
方向 当λ>0时，λa的方向与a的方向_____
当λ<0时，λa的方向与a的方向_____
当λ＝0时，λa＝__
向量
λa
|λ||a|
相同
相反
0
λ是实数，a是向量，它们的积λa仍然是向量．实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如λ＋a，λ－a均没有意义．
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2．若a与b是相反向量，则5a与－4b的方向________．
解析：5a与a同向，－4b与b反向，而a与b是相反向量，所以5a与－4b的方向相同．
相同
知识点二 向量的线性运算
1．向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，那么：
(1)λ(μa)＝____________．
(2)(λ＋μ)a＝_____________．
(3)λ(a＋b)＝___________．
特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
(λμ)a
λa＋μa
λa＋λb
2．向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．
对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝_______________．
λμ1a±λμ2b
向量线性运算的基本方法
(1)类比法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形在向量的数乘中同样适用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数．
(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当地使用运算律，可以简化运算．
√
2．已知e1，e2是两个非零向量，设a＝e1－e2，b＝e1＋2e2，c＝5e1＋4e2，c＝xa＋y b，则x＋y＝__________.
解析：因为c＝xa＋yb＝x(e1－e2)＋y(e1＋2e2)＝(x＋y)e1＋(－x＋2y)e2，又c＝5e1＋4e2，所以x＋y＝5.
5
知识点三 向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使_________．
b＝λa
定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa.
(2)试确定实数k，使ka＋b与a＋kb共线．
【解】 因为ka＋b与a＋kb共线，
所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即ka＋b＝λa＋λkb，所以(k－λ)a＝(λk－1)b.
因为a，b是不共线的两个非零向量，
所以k－λ＝λk－1＝0，
所以k2－1＝0，所以k＝±1.
(2)利用向量共线求参数的方法
判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得a＝λb(b≠0).而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程(组)，解方程(组)从而求得λ的值．
已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，c＝－6e1＋2e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c的关系为( )
A．不共线 B．共线
C．相等 D．无法确定
解析：因为a＋b＝3e1－e2，所以c＝－2(a＋b)，所以a＋b与c共线．故选B.
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02
关键能力 提升
用已知向量表示未知向量的一般步骤
[提醒] 用已知向量表示未知向量的关键是弄清向量之间的数量关系．
√
√
03
课堂巩固 自测
√
1.已知λ∈R，则下列结论正确的是( )
A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|a
C．|λa|＝|λ||a| D．|λa|>0
解析：当λ<0时，|λa|＝λ|a|不成立，A错误；
|λa|是一个非负实数，而|λ|a是一个向量，所以B错误；
当λ＝0或a＝0时，|λa|＝0，D错误．故选C.
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2．(多选)下列运算正确的是( )
A．(－3)·2a＝－6a
B．2(a＋b)－(2b－a)＝3a
C．(a＋2b)－(2b＋a)＝0
D．2(3a－b)＝6a－2b
解析：选ABD.根据向量的线性运算律知A，B，D正确；
C中，(a＋2b)－(2b＋a)＝a＋2b－2b－a＝0，是零向量，而不是0，所以该运算错误．
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课后达标 检测
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[A 基础达标]
1．下列说法中正确的是( )
A．λa与a的方向不是相同就是相反(λ为实数)
B．若a，b共线，则b＝λa(λ为实数)
C．若|b|＝2|a|，则b＝±2a
D．若b＝±2a，则|b|＝2|a|
解析：当λ＝0时，A不正确．
当a＝0时，B不正确．
当|b|＝2|a|时，不能说明a，b共线，C不正确．
显然当b＝±2a时，必有|b|＝2|a|，D正确．
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2．(多选)下列各式计算正确的有( )
A．(－7)6a＝－42a
B．7(a＋b)－8b＝7a＋15b
C．a－2b＋a＋2b＝2a
D．4(2a＋b)＝8a＋4b
解析：由向量的线性运算知，A，C，D正确，7(a＋b)－8b＝7a＋7b－8b＝7a－b.
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7．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________．
解析：由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，
所以x＋3a－4b＝0.所以x＝4b－3a.
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16中小学教育资源及组卷应用平台
6.2.3 向量的数乘运算
学习指导 核心素养
1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解两个平面向量共线的含义． 2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义． 1.数学抽象：理解向量数乘的概念． 2.数学运算：向量数乘的运算律及其向量的线性运算． 3.逻辑推理：利用向量共线定理解决具体问题．
知识点一 向量的数乘运算
文字表述 规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa
规定 长度 |λa|＝|λ||a|
方向 当λ>0时，λa的方向与a的方向相同
当λ<0时，λa的方向与a的方向相反
当λ＝0时，λa＝0
λ是实数，a是向量，它们的积λa仍然是向量．实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如λ＋a，λ－a均没有意义．
1．若|a|＝3，|b|＝，则|－2a|＝____________，|3b|＝____________．
2．若a与b是相反向量，则5a与－4b的方向________．
知识点二 向量的线性运算
1．向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，那么：
(1)λ(μa)＝(λμ)a．
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μ__a．
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb．
特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
2．向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．
对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．
(1)计算：.
(2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a).
向量线性运算的基本方法
(1)类比法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形在向量的数乘中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当地使用运算律，可以简化运算．
1．化简的结果是( )
A．2a－b B．2b－a
C．b－a D．a－b
知识点三 向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa．
定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa.
设两个非零向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b与a＋kb共线．
(1)证明或判断三点共线的方法
①一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可．
②利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点 存在实数x，y，使＝x＋y 且x＋y＝1.
(2)利用向量共线求参数的方法
判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得a＝λb(b≠0).而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程(组)，解方程(组)从而求得λ的值．
已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，c＝－6e1＋2e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c的关系为( )
A．不共线 B．共线
C．相等 D．无法确定
考点 用已知向量表示其他向量
如图，已知ABCD是一个梯形，∥且||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，分别用e1，e2表示，.
用已知向量表示未知向量的一般步骤
[提醒] 用已知向量表示未知向量的关键是弄清向量之间的数量关系．
1．如图，在 ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则＝( )
A．a－b B．a＋b
C．a＋b D．a－b
2．如图，在△ABC中，BD＝2DC.若＝a，＝b，则＝( )
A．a＋b
B．a－b
C．a＋b
D．a－b
1.已知λ∈R，则下列结论正确的是( )
A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|a
C．|λa|＝|λ||a| D．|λa|>0
2．(多选)下列运算正确的是( )
A．(－3)·2a＝－6a
B．2(a＋b)－(2b－a)＝3a
C．(a＋2b)－(2b＋a)＝0
D．2(3a－b)＝6a－2b
3．如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若＝a，＝b，则等于( )
A.(a－b)
B．－(a－b)
C．(a＋b)
D．－(a＋b)
4．设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，求实数k的值．
[A 基础达标]
1．下列说法中正确的是( )
A．λa与a的方向不是相同就是相反(λ为实数)
B．若a，b共线，则b＝λa(λ为实数)
C．若|b|＝2|a|，则b＝±2a
D．若b＝±2a，则|b|＝2|a|
2．(多选)下列各式计算正确的有( )
A．(－7)6a＝－42a
B．7(a＋b)－8b＝7a＋15b
C．a－2b＋a＋2b＝2a
D．4(2a＋b)＝8a＋4b
3．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD是( )
A．梯形 B．平行四边形
C．菱形 D．矩形
4．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋2b，＝a＋(λ－1)·b，且A，B，C三点共线，则λ＝( )
A．－1 B．－2
C．－2或1 D．－1或2
5．在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝3DC，E为BC的中点，则＝( )
A．＋
B．＋
C．＋
D．＋
6．(多选)若点D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，则下列结论正确的有( )
A．＝－a－b B．＝a＋b
C．＝－a＋b D．＝a
7．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________．
8．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，则实数λ的值是________．
9．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，若＝a，＝b，用a，b表示向量，则＝________．
10．计算：
(1)＋(3a－2b)－(a－b)；
(2)－.
[B 能力提升]
11．(多选)如图，在梯形ABDC中，AB∥CD，AB＝2CD，AD与BC相交于点O，则下列结论正确的是( )
A.－＝
B．＋＋＋＝0
C．|＋2|＝0
D．＝＋
12．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线的充要条件为( )
A．λ＋μ＝2 B．λμ＝1
C．λμ＝－1 D．λ－μ＝1
13.
如图所示，在△ABC中，D为BC边上一点，且BD＝2DC，若＝m＋n(m，n∈R)，则m－n＝________．
14．已知两个非零向量a与b不共线，＝2a－b，＝a＋3b，＝ka＋5b.
(1)若2－＋＝0，求k的值；
(2)若A，B，C三点共线，求k的值．
[C 拓展冲刺]
15．在△ABC中，若点P满足＝＋，＝＋AC，则△APQ与△ABC的面积之比为( )
A．1∶3 B．5∶12
C．3∶4 D．9∶16
16．如图所示，在△ABC中，D，F分别是边BC，AC的中点，且＝，＝a，＝b.
(1)用a，b表示，，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
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6．2.3 向量的数乘运算
学习指导 核心素养
1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解两个平面向量共线的含义． 2.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义． 1.数学抽象：理解向量数乘的概念． 2.数学运算：向量数乘的运算律及其向量的线性运算． 3.逻辑推理：利用向量共线定理解决具体问题．
知识点一 向量的数乘运算
文字表述 规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa
规定 长度 |λa|＝|λ||a|
方向 当λ>0时，λa的方向与a的方向相同
当λ<0时，λa的方向与a的方向相反
当λ＝0时，λa＝0
λ是实数，a是向量，它们的积λa仍然是向量．实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如λ＋a，λ－a均没有意义．
1．若|a|＝3，|b|＝，则|－2a|＝____________，|3b|＝____________．
解析：因为|a|＝3，|b|＝，
所以|－2a|＝2|a|＝6，|3b|＝3|b|＝.
答案：6
2．若a与b是相反向量，则5a与－4b的方向________．
解析：5a与a同向，－4b与b反向，而a与b是相反向量，所以5a与－4b的方向相同．
答案：相同
知识点二 向量的线性运算
1．向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，那么：
(1)λ(μa)＝(λμ)a．
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μ__a．
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb．
特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
2．向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．
对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b．
(1)计算：.
(2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a).
【解】 (1)原式＝
＝
＝a－b.
(2)原式＝a－b－a＋b＋2b－a
＝a＋b
＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋(2i－j)
＝i＋j
＝－i－5j.
向量线性运算的基本方法
(1)类比法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形在向量的数乘中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当地使用运算律，可以简化运算．
1．化简的结果是( )
A．2a－b B．2b－a
C．b－a D．a－b
解析：选B.原式＝＝－a＋2b.
2．已知e1，e2是两个非零向量，设a＝e1－e2，b＝e1＋2e2，c＝5e1＋4e2，c＝xa＋y b，则x＋y＝______________________________________________.
解析：因为c＝xa＋yb＝x(e1－e2)＋y(e1＋2e2)＝(x＋y)e1＋(－x＋2y)e2，又c＝5e1＋4e2，所以x＋y＝5.
答案：5
知识点三 向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa．
定理中a≠0不能漏掉．若a＝b＝0，则实数λ可以是任意实数；若a＝0，b≠0，则不存在实数λ，使得b＝λa.
设两个非零向量a与b不共线．
(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b与a＋kb共线．
【解】 (1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，
所以＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.
所以，共线．
又因为与有公共点B，
所以A，B，D三点共线．
(2)因为ka＋b与a＋kb共线，
所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，
即ka＋b＝λa＋λkb，所以(k－λ)a＝(λk－1)b.
因为a，b是不共线的两个非零向量，
所以k－λ＝λk－1＝0，
所以k2－1＝0，所以k＝±1.
(1)证明或判断三点共线的方法
①一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可．
②利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点 存在实数x，y，使＝x＋y 且x＋y＝1.
(2)利用向量共线求参数的方法
判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得a＝λb(b≠0).而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程(组)，解方程(组)从而求得λ的值．
已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，c＝－6e1＋2e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c的关系为( )
A．不共线 B．共线
C．相等 D．无法确定
解析：选B.因为a＋b＝3e1－e2，所以c＝－2(a＋b)，所以a＋b与c共线．故选B.
考点 用已知向量表示其他向量
如图，已知ABCD是一个梯形，∥且||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，分别用e1，e2表示，.
【解】 因为∥，||＝2||，
所以＝2，＝.
则＝＋＝e2＋e1.
因为M，N分别为DC，AB的中点，
所以||＝2||，||＝2||，
则＝＋＋
＝－－＋
＝－e1－e2＋e1＝e1－e2.
用已知向量表示未知向量的一般步骤
[提醒] 用已知向量表示未知向量的关键是弄清向量之间的数量关系．
1．如图，在 ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则＝( )
A．a－b B．a＋b
C．a＋b D．a－b
解析：选D.因为E是BC的中点，
所以＝＝－＝－b，
所以＝＋＝＋＝a－b.
2．如图，在△ABC中，BD＝2DC.若＝a，＝b，则＝( )
A．a＋b
B．a－b
C．a＋b
D．a－b
解析：选C.由题意可得，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
1.已知λ∈R，则下列结论正确的是( )
A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|a
C．|λa|＝|λ||a| D．|λa|>0
解析：选C.当λ<0时，|λa|＝λ|a|不成立，A错误；|λa|是一个非负实数，而|λ|a是一个向量，所以B错误；当λ＝0或a＝0时，|λa|＝0，D错误．故选C.
2．(多选)下列运算正确的是( )
A．(－3)·2a＝－6a
B．2(a＋b)－(2b－a)＝3a
C．(a＋2b)－(2b＋a)＝0
D．2(3a－b)＝6a－2b
解析：选ABD.根据向量的线性运算律知A，B，D正确；C中，(a＋2b)－(2b＋a)＝a＋2b－2b－a＝0，是零向量，而不是0，所以该运算错误．
3．如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若＝a，＝b，则等于( )
A.(a－b)
B．－(a－b)
C．(a＋b)
D．－(a＋b)
解析：选C.因为M是BC的中点，所以＝(a＋b).故选C.
4．设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，求实数k的值．
解：因为A，B，D三点共线，
故存在一个实数λ，使得＝λ，
又＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，
所以＝－＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)
＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，
所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，
所以
解得k＝－.
[A 基础达标]
1．下列说法中正确的是( )
A．λa与a的方向不是相同就是相反(λ为实数)
B．若a，b共线，则b＝λa(λ为实数)
C．若|b|＝2|a|，则b＝±2a
D．若b＝±2a，则|b|＝2|a|
解析：选D.当λ＝0时，A不正确．当a＝0时，B不正确．当|b|＝2|a|时，不能说明a，b共线，C不正确．显然当b＝±2a时，必有|b|＝2|a|，D正确．
2．(多选)下列各式计算正确的有( )
A．(－7)6a＝－42a
B．7(a＋b)－8b＝7a＋15b
C．a－2b＋a＋2b＝2a
D．4(2a＋b)＝8a＋4b
解析：选ACD.由向量的线性运算知，A，C，D正确，7(a＋b)－8b＝7a＋7b－8b＝7a－b.
3．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD是( )
A．梯形 B．平行四边形
C．菱形 D．矩形
解析：选B.在四边形ABCD中，因为＝a＋2b，＝－＝－4a－b－(－5a－3b)＝a＋2b，
所以＝，所以四边形ABCD为平行四边形．不能判断平行四边形ABCD是菱形或矩形．
4．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋2b，＝a＋(λ－1)·b，且A，B，C三点共线，则λ＝( )
A．－1 B．－2
C．－2或1 D．－1或2
解析：选D.因为A，B，C三点共线，所以存在实数k使得＝k，所以λa＋2b＝k[a＋(λ－1)b]，所以解得λ＝－1或λ＝2.
5．在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝3DC，E为BC的中点，则＝( )
A．＋
B．＋
C．＋
D．＋
解析：选A.＝＋＋＝－＋，＝＋＝＋＝＋＝＋.
6．(多选)若点D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，则下列结论正确的有( )
A．＝－a－b B．＝a＋b
C．＝－a＋b D．＝a
解析：选ABC.在△ABC中，＝＋＝－＋＝－b－a.故A正确；＝＋＝＋＝a＋b，故B正确；＝＋＝－b－a，＝＋＝＋＝b＋(－b－a)＝－a＋b，故C正确；＝＝－a，故D不正确．故选ABC.
7．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________．
解析：由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，
所以x＋3a－4b＝0.所以x＝4b－3a.
答案：4b－3a
8．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝5，且a＝λb，则实数λ的值是________．
解析：由a＝λb，得|a|＝|λb|＝|λ||b|.
因为|a|＝3，|b|＝5，所以|λ|＝，即λ＝±.
答案：±
9．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，若＝a，＝b，用a，b表示向量，则＝________．
解析：＝－，＝－，
因为2＋＝0，
所以2(－)＋(－)＝0，
所以＝2－＝2a－b.
答案：2a－b
10．计算：
(1)＋(3a－2b)－(a－b)；
(2)－.
解：(1)原式＝a＋b＝a＋b.
(2)原式＝－
＝a＋b－a－b＝0.
[B 能力提升]
11．(多选)如图，在梯形ABDC中，AB∥CD，AB＝2CD，AD与BC相交于点O，则下列结论正确的是( )
A.－＝
B．＋＋＋＝0
C．|＋2|＝0
D．＝＋
解析：选ABC.对于A，－＝＝，所以A正确；对于B，＋＋＋＝0，所以B正确；对于C，易知△OCD∽△OBA，所以＝＝，即＝－，所以|＋2|＝|－|＝|0|＝0，所以C正确；对于D，＝＝(＋)＝(＋2)＝＋，故D不正确．故选ABC.
12．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线的充要条件为( )
A．λ＋μ＝2 B．λμ＝1
C．λμ＝－1 D．λ－μ＝1
解析：选B.因为A，B，C三点共线，所以向量∥.令＝m(m∈R)，所以λa＋b＝m(a＋μb)，所以(λ－m)a＝(mμ－1)b.由a，b是不共线的向量，得解得所以λμ＝1.故选B.
13.
如图所示，在△ABC中，D为BC边上一点，且BD＝2DC，若＝m＋n(m，n∈R)，则m－n＝________．
解析：直接利用向量共线定理，得＝3，
则＝＋＝＋3＝＋3(－)＝＋3－3，
所以＝－＋，
则m＝－，n＝，那么m－n＝－－＝－2.
答案：－2
14．已知两个非零向量a与b不共线，＝2a－b，＝a＋3b，＝ka＋5b.
(1)若2－＋＝0，求k的值；
(2)若A，B，C三点共线，求k的值．
解：(1)因为2－＋＝2(2a－b)－a－3b＋ka＋5b＝(k＋3)a＝0，所以k＝－3.
(2)＝－＝－a＋4b，＝－＝(k－2)a＋6b，
又A，B，C三点共线，
则存在λ∈R，使＝λ，
即(k－2)a＋6b＝－λa＋4λb，
所以解得k＝.
[C 拓展冲刺]
15．在△ABC中，若点P满足＝＋，＝＋AC，则△APQ与△ABC的面积之比为( )
A．1∶3 B．5∶12
C．3∶4 D．9∶16
解析：选B.因为＝＋，所以(－)＝(－)，即＝2，得点P为线段BC上靠近点C的三等分点．又＝＋，所以(－)＝(－)，即3＝，得点Q为线段BC上靠近点B的四等分点，所以PQ＝BC，所以△APQ与△ABC的面积之比为S△APQ∶S△ABC＝PQ∶BC＝5∶12.故选B.
16．如图所示，在△ABC中，D，F分别是边BC，AC的中点，且＝，＝a，＝b.
(1)用a，b表示，，，，；
(2)求证：B，E，F三点共线．
解：(1)如图，延长AD到G，
使＝2，
连接BG，CG，
得到平行四边形ABGC.
则＝a＋b，＝
＝(a＋b)，
＝＝(a＋b)，
＝＝b，
＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)，
＝－＝b－a＝(b－2a).
(2)证明：由(1)知，＝，所以，共线．
又因为，有公共点B，所以B，E，F三点共线．
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