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6．2.4 向量的数量积
学习指导 核心素养
1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义，会进行平面向量数量积的运算． 2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义． 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 1.数学抽象：理解平面向量数量积的概念． 2.直观想象：平面向量的夹角及投影向量的概念． 3.数学运算：平面向量数量积的运算及运算律． 4.逻辑推理：利用向量的数量积解决相应的问题．
第1课时 向量的数量积(一)
知识点一 两向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
(2)三种特殊情况
a与b的夹角θ a与b的关系
θ＝0 a与b同向
θ＝π a与b反向
θ＝ a与b垂直，记作a⊥b
两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角．
已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？
(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．
(2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2＜0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2＞0时，θ0＝θ.
如图，已知△ABC是等边三角形．
(1)求向量与的夹角；
(2)若E为BC的中点，求向量与的夹角．
知识点二 向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos__θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ．
规定：零向量与任一向量的数量积为0．
(2)性质：
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ.
(2)a⊥b a·b＝0．
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|．特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)|a·b|≤|a||b|.
(5)cos θ＝.
(1)向量的数量积是一个实数，其值可正、可负、可为0.
(2)数量积“a·b”不能写成“ab”或“a×b”．
已知正方形ABCD的边长为2，分别求：
(1)·；
(2)·；
(3)·.
定义法求平面向量的数量积
若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．
1．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为120°，则m·n＝( )
A．12 B．12
C．－12 D．－12
2．设|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为________．
知识点三 投影向量
设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，这种变换为向量a向向量b投影，A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量．
(1)若|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量 b上的投影向量为( )
A．－b B．－b
C．b D．－b
(2)已知a·b＝16，e是与b方向相同的单位向量，若a在b上的投影向量为4e，则|b|＝________．
投影向量的求解策略
求投影向量要搞清是求哪一个向量在哪一个向量上的投影向量，在正确理解其定义的同时，找准两向量之间的夹角是关键，确定两向量的夹角时，一定要注意“共始点”．
已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，与b同向的单位向量为e.
(1)求a·b；
(2)求a在b上的投影向量．
1.已知在 ABCD中，∠DAB＝30°，则与的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为( )
A． B．
C． D．
3．已知|a|＝8，|b|＝4，a与b的夹角为120°，则向量b在a上的投影向量的长度为________．
4．已知|a|＝6，|b|＝5，分别求下列情况下a与b的数量积：
(1)a∥b；
(2)a⊥b；
(3)a与b的夹角为60°.
[A 基础达标]
1．已知|a|＝，|b|＝2，a与b的夹角是120°，则a·b＝( )
A．3 B．－3
C．－3 D．3
2．在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝，则·的值等于( )
A．－2 B．2
C．－2 D．2
3．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
4．已知|b|＝3，a在b上的投影向量为b，则a·b的值为( )
A．3 B．
C．2 D．
5．在边长为1的等边三角形ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝( )
A．－ B．
C．－ D．
6．(多选)下列命题正确的是( )
A．0·a＝0
B．若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0
C．若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0
D．若a与b是两个单位向量，则a2＝b2
7．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且a与b的夹角为120°，则a·a＋a·b＝________．
8．向量a的模为10，e为单位向量，向量a与e的夹角为150°，则向量a在向量e上的投影向量为________．
9.
如图所示，△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，则·＝________．
10．如图，在 ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，求：
(1)·；
(2)·；
(3)在上的投影向量的模．
[B 能力提升]
11．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于( )
A．8 B．－8
C．8或－8 D．6
12．(多选)下列说法正确的是( )
A．向量a在向量b上的投影向量可表示·
B．若a·b<0，则a与b的夹角θ的范围是
C．若△ABC是等边三角形，则，的夹角为60°
D．若a·b＝0，则a⊥b
13．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是________，·＝________．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，D是边BC的中点，求：
(1)在上的投影向量；
(2)在上的投影向量．
[C 拓展冲刺]
15．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________________________________．
16．如图，扇形AOB中的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°.
(1)若点D是线段OB上靠近点O的四分之一点，用，表示向量；
(2)求·的取值范围．
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6．2.4 向量的数量积
学习指导 核心素养
1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义，会进行平面向量数量积的运算． 2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义． 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 1.数学抽象：理解平面向量数量积的概念． 2.直观想象：平面向量的夹角及投影向量的概念． 3.数学运算：平面向量数量积的运算及运算律． 4.逻辑推理：利用向量的数量积解决相应的问题．
第1课时 向量的数量积(一)
知识点一 两向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
(2)三种特殊情况
a与b的夹角θ a与b的关系
θ＝0 a与b同向
θ＝π a与b反向
θ＝ a与b垂直，记作a⊥b
两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角．
已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？
【解】
如图所示，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°.
以，为邻边作平行四边形OACB，则＝a＋b，＝a－b.
因为|a|＝|b|＝2，所以平行四边形OACB是菱形，
又∠AOB＝60°，
所以与的夹角为30°，与的夹角为60°.
即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°.
(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．
(2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2＜0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2＞0时，θ0＝θ.
如图，已知△ABC是等边三角形．
(1)求向量与的夹角；
(2)若E为BC的中点，求向量与的夹角．
解：
(1)因为△ABC为等边三角形，所以∠ABC＝60°.
如图，延长AB至点D，使BD＝AB，则＝，
所以∠DBC为向量与的夹角．
因为∠ABC＝60°，
所以∠DBC＝120°，
所以向量与的夹角为120°.
(2)因为E为BC的中点，所以AE⊥BC，
所以向量与的夹角为90°.
知识点二 向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos__θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ．
规定：零向量与任一向量的数量积为0．
(2)性质：
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ.
(2)a⊥b a·b＝0．
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|．特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)|a·b|≤|a||b|.
(5)cos θ＝.
(1)向量的数量积是一个实数，其值可正、可负、可为0.
(2)数量积“a·b”不能写成“ab”或“a×b”．
已知正方形ABCD的边长为2，分别求：
(1)·；
(2)·；
(3)·.
【解】 (1)因为，的夹角为π，
所以·＝||||cos π＝2×2×(－1)＝－4.
(2)因为，的夹角为，
所以·＝||||cos ＝2×2×0＝0.
(3)因为，的夹角为，
所以·＝||||cos ＝2×2×＝－4.
定义法求平面向量的数量积
若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．
1．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为120°，则m·n＝( )
A．12 B．12
C．－12 D．－12
解析：选D.m·n＝|m||n|cos θ＝4×6×cos 120°＝－24×＝－12.
2．设|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为________．
解析：设a，b的夹角为θ，则cos θ＝＝，
因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
答案：
知识点三 投影向量
设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，这种变换为向量a向向量b投影，A1B1叫做向量a在向量b上的投影向量．
(1)若|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量 b上的投影向量为( )
A．－b B．－b
C．b D．－b
(2)已知a·b＝16，e是与b方向相同的单位向量，若a在b上的投影向量为4e，则|b|＝________．
【解析】 (1)向量a在向量b上的投影向量是|a|cos θ·＝2×cos 120°×＝－b.故选D.
(2)设a与b的夹角为θ，因为a·b＝16，
所以|a||b|cos θ＝16.又因为a在b上的投影向量为4e，所以|a|cos θ＝4，所以|b|＝4.
【答案】 (1)D (2)4
投影向量的求解策略
求投影向量要搞清是求哪一个向量在哪一个向量上的投影向量，在正确理解其定义的同时，找准两向量之间的夹角是关键，确定两向量的夹角时，一定要注意“共始点”．
已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，与b同向的单位向量为e.
(1)求a·b；
(2)求a在b上的投影向量．
解：(1)a·b＝|a||b|cos θ＝5×4×cos 120°＝－10.
(2)a在b上的投影向量为|a|cos θe＝e＝－e＝－e.
1.已知在 ABCD中，∠DAB＝30°，则与的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选D.如图，与的夹角为∠ABC＝150°.
2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为( )
A． B．
C． D．
解析：选C.由题意知，a·b＝|a||b|cos θ＝4cos θ＝2，即cos θ＝，又0≤θ≤π.所以θ＝.
3．已知|a|＝8，|b|＝4，a与b的夹角为120°，则向量b在a上的投影向量的长度为________．
解析：b在a上的投影向量的长度为|b||cos θ|＝4×＝2.
答案：2
4．已知|a|＝6，|b|＝5，分别求下列情况下a与b的数量积：
(1)a∥b；
(2)a⊥b；
(3)a与b的夹角为60°.
解：(1)当a∥b时，若a与b同向，则θ＝0°，
a·b＝|a||b|cos 0°＝6×5＝30；
若a与b反向，则θ＝180°，
a·b＝|a||b|cos 180°＝－6×5＝－30.
(2)当a⊥b时，a与b的夹角为90°，
a·b＝|a||b|cos 90°＝0.
(3)当a与b的夹角为60°时，
a·b＝|a||b|cos 60°＝6×5×＝15.
[A 基础达标]
1．已知|a|＝，|b|＝2，a与b的夹角是120°，则a·b＝( )
A．3 B．－3
C．－3 D．3
解析：选B.由数量积的定义，得a·b＝|a||b|cos 120°＝×2×＝－3.故选B.
2．在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝，则·的值等于( )
A．－2 B．2
C．－2 D．2
解析：选B.由题意得·＝||||cos ∠ABC＝2××cos 45°＝2.
3．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AB，则与的夹角是( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：选C.如图，作向量＝，则∠BAD是与的夹角，在△ABC中，因为∠ACB＝90°，BC＝AB，所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°，即与的夹角是120°.
4．已知|b|＝3，a在b上的投影向量为b，则a·b的值为( )
A．3 B．
C．2 D．
解析：选B.设a与b的夹角为θ，
因为|a|·cos θ＝b，
所以|a|·cos θ＝，
所以|a|·cos θ＝，
所以a·b＝|a||b|cos θ＝3×＝.
5．在边长为1的等边三角形ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝( )
A．－ B．
C．－ D．
解析：选A.a·b＝·＝－·＝－||·||cos 60°＝－.
同理b·c＝－，c·a＝－，
所以a·b＋b·c＋c·a＝－.
6．(多选)下列命题正确的是( )
A．0·a＝0
B．若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0
C．若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0
D．若a与b是两个单位向量，则a2＝b2
解析：选AD.A正确，因为0的长度为0，结合数量积的公式可知0·a＝0.B，C错误，当非零向量a⊥b时，有a·b＝0.D正确，因为|a|＝|b|＝1，所以a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故a2＝b2.
7．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且a与b的夹角为120°，则a·a＋a·b＝________．
解析：a·a＋a·b＝12＋1×1×cos 120°＝.
答案：
8．向量a的模为10，e为单位向量，向量a与e的夹角为150°，则向量a在向量e上的投影向量为________．
解析：设向量a在向量e上的投影向量为，则＝|a|cos 150°e＝－5e.
答案：－5e
9.
如图所示，△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，则·＝________．
解析：因为△ABC是顶角为120°的等腰三角形，
且AB＝1，所以BC＝.
所以·＝1××cos 150°＝－.
答案：－
10．如图，在 ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，求：
(1)·；
(2)·；
(3)在上的投影向量的模．
解：(1)因为∥，且方向相反，
所以与的夹角是180°，
所以·＝||||·cos 180°＝4×4×(－1)＝－16.
(2)因为与的夹角为60°，
所以与的夹角为120°，
所以·＝||||·cos 120°＝4×3×＝－6.
(3)因为与的夹角为60°，而与方向相反，所以与的夹角为120°，
所以在方向上的投影向量的模为||·|cos 120°|＝4×＝2.
[B 能力提升]
11．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于( )
A．8 B．－8
C．8或－8 D．6
解析：选A.cos θ＝＝＝－，
因为θ∈[0，π]，所以sin θ＝.
所以|a×b|＝2×5×＝8.故选A.
12．(多选)下列说法正确的是( )
A．向量a在向量b上的投影向量可表示·
B．若a·b<0，则a与b的夹角θ的范围是
C．若△ABC是等边三角形，则，的夹角为60°
D．若a·b＝0，则a⊥b
解析：选AB.对于选项A，根据投影向量的定义，知A正确；对于选项B，因为a·b＝|a||b|cos θ<0，则cos θ<0，又因为0≤θ≤π，所以θ∈，故B正确；对于选项C，若△ABC是等边三角形，则，的夹角为120°，故C错误；对于选项D，a·b＝0 a⊥b或a＝0或b＝0，故D错误．
13．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是________，·＝________．
解析：·＝||||cos ∠BAC，
即8＝4×4cos ∠BAC，
于是cos ∠BAC＝，
因为0°<∠BAC<180°，
所以∠BAC＝60°.
又AB＝AC，故△ABC是等边三角形．
此时·＝||||cos 120°＝－8.
答案：等边三角形 －8
14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，D是边BC的中点，求：
(1)在上的投影向量；
(2)在上的投影向量．
解：如图，连接AD，因为AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，所以△ABC是等腰直角三角形，则∠ABD＝45°，
又D是BC边的中点，
所以AD⊥BC，
所以BD＝2.
延长AB到E，则与的夹角为∠DBE＝180°－45°＝135°.
(1)设与向量方向相同的单位向量为e1，
则在上的投影向量是||cos 135°e1＝4×e1＝－2e1.
(2)设与向量方向相同的单位向量为e2，则在上的投影向量是||cos 135°e2＝2×e2＝－2e2.
[C 拓展冲刺]
15．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________________________________．
解析：由题意可画出图形，如图所示，在△OAB中，
因为∠OAB＝60°，|b|＝2|a|，
所以∠ABO＝30°，OA⊥OB，
即向量a与c的夹角为90°.
答案：90°
16．如图，扇形AOB中的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°.
(1)若点D是线段OB上靠近点O的四分之一点，用，表示向量；
(2)求·的取值范围．
解：(1)连接BM，AM(图略).由已知可得＝，四边形OAMB是菱形，
则＝＋，
所以＝－＝－(＋)
＝－－.
(2)易知∠DMC＝60°，且||＝||，
那么只需求MC的最大值与最小值即可．
当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝，
则·＝××cos 60°＝.
当MC与MO或MA重合时，MC最大，此时MC＝1，
则·＝1×1×cos 60°＝.
所以·的取值范围为.
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6.2.4 向量的数量积
第1课时 向量的数量积(一)
第六章 平面向量及其应用
学习指导 核心素养
1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义，会进行平面向量数量积的运算． 2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义． 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 1.数学抽象：理解平面向量数量积的概念．
2.直观想象：平面向量的夹角及投影向量的概念．
3.数学运算：平面向量数量积的运算及运算律．
4.逻辑推理：利用向量的数量积解决相应的问题．
01
必备知识 落实
(2)三种特殊情况
a与b的夹角θ a与b的关系
θ＝0 a与b_____
θ＝π a与b_____
θ＝ a与b_____，记作_______
同向
反向
垂直
a⊥b
两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角．
(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．
(2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2＜0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2＞0时，θ0＝θ.
知识点二 向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量_______________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝_____________．
规定：零向量与任一向量的数量积为__．
|a||b|cos θ
|a||b|cos θ
0
a·b＝0
|a||b|
－|a||b|
≤
|a|2
(1)向量的数量积是一个实数，其值可正、可负、可为0.
(2)数量积“a·b”不能写成“ab”或“a×b”．
定义法求平面向量的数量积
若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．
√
投影向量
√
(2)已知a·b＝16，e是与b方向相同的单位向量，若a在b上的投影向量为4e，则|b|＝________．
【解析】 设a与b的夹角为θ，因为a·b＝16，
所以|a||b|cos θ＝16.又因为a在b上的投影向量为4e，所以|a|cos θ＝4，所以|b|＝4.
4
投影向量的求解策略
求投影向量要搞清是求哪一个向量在哪一个向量上的投影向量，在正确理解其定义的同时，找准两向量之间的夹角是关键，确定两向量的夹角时，一定要注意“共始点”．
已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，与b同向的单位向量为e.
(1)求a·b；
解：a·b＝|a||b|cos θ＝5×4×cos 120°＝－10.
(2)求a在b上的投影向量．
02
课堂巩固 自测
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4．已知|a|＝6，|b|＝5，分别求下列情况下a与b的数量积：
(1)a∥b；
解：当a∥b时，若a与b同向，则θ＝0°，
a·b＝|a||b|cos 0°＝6×5＝30；
若a与b反向，则θ＝180°，
a·b＝|a||b|cos 180°＝－6×5＝－30.
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(2)a⊥b；
解：当a⊥b时，a与b的夹角为90°，
a·b＝|a||b|cos 90°＝0.
(3)a与b的夹角为60°.
解：当a与b的夹角为60°时，
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课后达标 检测
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6．(多选)下列命题正确的是( )
A．0·a＝0
B．若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0
C．若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0
D．若a与b是两个单位向量，则a2＝b2
解析：A正确，因为0的长度为0，结合数量积的公式可知0·a＝0.
B，C错误，当非零向量a⊥b时，有a·b＝0.
D正确，因为|a|＝|b|＝1，所以a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故a2＝b2.
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[B 能力提升]
11．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于( )
A．8 B．－8
C．8或－8 D．6
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等边三角形
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[C 拓展冲刺]
15．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为_______．
解析：由题意可画出图形，如图所示，在△OAB中，
因为∠OAB＝60°，|b|＝2|a|，
所以∠ABO＝30°，OA⊥OB，
即向量a与c的夹角为90°.
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