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6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
第六章 平面向量及其应用
学习指导 核心素养
1.掌握平面向量数量积的坐标表示． 2.会根据向量的坐标形式求数量积、模、夹角． 1.数学运算：平面向量数量积的坐标运算及求向量的模及夹角．
2.逻辑推理：利用向量证明垂直问题．
01
必备知识 落实
知识点一 向量数量积的坐标表示
条件 向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
坐标表示 a·b＝______________
文字叙述 两个向量的数量积等于它们对应坐标的__________
x1x2＋y1y2
乘积的和
公式a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．
已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2).
(1)求a·(a－b)；
【解】 方法一：因为a＝(－1，2)，b＝(3，2)，
所以a－b＝(－4，0).
所以a·(a－b)＝(－1，2)·(－4，0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.
方法二：a·(a－b)＝a2－a·b＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4.
(2)求(a＋b)·(2a－b).
【解】 因为a＋b＝(－1，2)＋(3，2)＝(2，4)，
2a－b＝2(－1，2)－(3，2)＝(－2，4)－(3，2)＝(－5，2)，
所以(a＋b)·(2a－b)＝(2，4)·(－5，2)＝2×(－5)＋4×2＝－2.
向量数量积运算的途径
进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两种途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
1．设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3，4)，向量c＝(3，2)，则向量(a＋2b)·c＝( )
A．3 B．0
C．－3 D．－11
解析：依题意可得，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3，4)＝(－5，6)，所以(a＋2b)·c＝(－5，6)·(3，2)＝－5×3＋6×2＝－3.
√
2．已知a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x＝( )
A．6 B．5
C．4 D．3
解析：由题意可得，8a－b＝(6，3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，所以18＋3x＝30，解得x＝4.
√
知识点二 向量数量积的坐标表示的结论
条件 结论
a＝(x，y) |a|＝_______
表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2) |a|＝___________________________
向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) a⊥b ________________________
a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角 cos θ＝ ＝_________________
x1x2＋y1y2＝0
向量垂直与向量平行的条件容易混淆，注意以下特点：
坐标表示 记忆口诀
垂直 a⊥b x1x2＋y1y2＝0 对应相乘和为0
平行 a∥b x1y2－x2y1＝0 交叉相乘差为0
√
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1．(2022·新高考卷Ⅱ)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝( )
A．－6 B．－5
C．5 D．6
√
2．已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1).若向量a＋b与a垂直，则m＝________．
解析：因为a＝(－1，2)，b＝(m，1)，
所以a＋b＝(－1＋m，2＋1)＝(m－1，3).
又a＋b与a垂直，
所以(a＋b)·a＝0，
即(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7.
7
02
关键能力 提升
5
对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．
√
03
课堂巩固 自测
√
1.设a＝(1，－2)，b＝(3，1)，c＝(－1，1)，则(a＋b)·(a－c)＝( )
A．11 B．5
C．－14 D．10
解析：a＋b＝(4，－1)，a－c＝(2，－3).所以(a＋b)·(a－c)＝4×2＋(－1)×(－3)＝11.故选A.
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课后达标 检测
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[A 基础达标]
1．已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝( )
A．－12 B．－6
C．6 D．12
解析：2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12.
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7．已知a＝(－1，1)，b＝(1，2)，则a·(a＋2b)＝________．
解析：因为a＋2b＝(1，5)，所以a·(a＋2b)＝4.
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14．已知平面向量a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.
(1)求b与c；
解：因为a∥b，所以3x＝4×9，即x＝12.因为a⊥c，所以3×4＋4y＝0，所以y＝－3.故b＝(9，12)，c＝(4，－3).
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16中小学教育资源及组卷应用平台
6．3.5 平面向量数量积的坐标表示
学习指导 核心素养
1.掌握平面向量数量积的坐标表示． 2.会根据向量的坐标形式求数量积、模、夹角． 1.数学运算：平面向量数量积的坐标运算及求向量的模及夹角． 2.逻辑推理：利用向量证明垂直问题．
知识点一 向量数量积的坐标表示
条件 向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
坐标表示 a·b＝x1x2＋y1y2
文字叙述 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
公式a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．
已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2).
(1)求a·(a－b)；
(2)求(a＋b)·(2a－b).
【解】 (1)方法一：因为a＝(－1，2)，b＝(3，2)，
所以a－b＝(－4，0).
所以a·(a－b)＝(－1，2)·(－4，0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.
方法二：a·(a－b)＝a2－a·b＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4.
(2)因为a＋b＝(－1，2)＋(3，2)＝(2，4)，
2a－b＝2(－1，2)－(3，2)＝(－2，4)－(3，2)＝(－5，2)，
所以(a＋b)·(2a－b)＝(2，4)·(－5，2)＝2×(－5)＋4×2＝－2.
向量数量积运算的途径
进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两种途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
1．设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3，4)，向量c＝(3，2)，则向量(a＋2b)·c＝( )
A．3 B．0
C．－3 D．－11
解析：选C.依题意可得，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3，4)＝(－5，6)，所以(a＋2b)·c＝(－5，6)·(3，2)＝－5×3＋6×2＝－3.
2．已知a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x＝( )
A．6 B．5
C．4 D．3
解析：选C.由题意可得，8a－b＝(6，3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，所以18＋3x＝30，解得x＝4.
知识点二 向量数量积的坐标表示的结论
条件 结论
a＝(x，y) |a|＝
表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2) |a|＝
向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) a⊥b x1x2＋y1y2＝0
a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角 cos θ＝＝
向量垂直与向量平行的条件容易混淆，注意以下特点：
坐标表示 记忆口诀
垂直 a⊥b x1x2＋y1y2＝0 对应相乘和为0
平行 a∥b x1y2－x2y1＝0 交叉相乘差为0
角度1 用坐标法求向量的模
(1)设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|＝( )
A． B．
C． D．
(2)已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于( )
A． B．
C．5 D．25
【解析】 (1)因为a∥b，所以1×y－2×(－2)＝0，
解得y＝－4，从而3a＋b＝(1，2)，|3a＋b|＝.
(2)因为a＝(2，1)，所以a2＝5，
又|a＋b|＝5，
所以(a＋b)2＝50，
即a2＋2a·b＋b2＝50，
所以5＋2×10＋b2＝50，
所以b2＝25，所以|b|＝5.
【答案】 (1)A (2)C
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算
利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算
若a＝(x，y)，则有|a|＝ .
(2022·高考全国卷乙)已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则|a－b|＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选D.方法一：由题意知a－b＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，所以|a－b|＝＝5，故选D.
方法二：由题意知|a|＝，|b|＝2，a·b＝2×(－2)＋1×4＝0，所以|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝25，所以|a－b|＝5，故选D.
角度2 用坐标法求非零向量的夹角
(1)若向量a＝(1，2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角为( )
A．－ B．
C． D．
(2)(2021·高考全国卷甲)已知向量a＝(3，1)，b＝(1，0)，c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝________．
【解析】 (1)因为a＝(1，2)，b＝(1，－1)，
所以2a＋b＝(3，3)，a－b＝(0，3)，
所以cos 〈2a＋b，a－b〉＝＝，
所以〈2a＋b，a－b〉＝.
(2)由题意得c＝(3，1)＋(k，0)＝(3＋k，1)，a·c＝3(3＋k)＋1×1＝10＋3k＝0，得k＝－.
【答案】 (1)C (2)－
用坐标法求两个非零向量夹角的一般步骤
(1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积．
(2)利用公式|a|＝，求出这两个向量的模．
(3)代入cos θ＝，求出cos θ的值．
(4)根据θ的取值范围确定θ的值．
1．(2022·新高考卷Ⅱ)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝( )
A．－6 B．－5
C．5 D．6
解析：选C.由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t，4)，所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.因为〈a，c〉＝〈b，c〉，所以cos 〈a，c〉＝cos 〈b，c〉，即＝，即＝3＋t，解得t＝5，故选C.
2．已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1).若向量a＋b与a垂直，则m＝________．
解析：因为a＝(－1，2)，b＝(m，1)，
所以a＋b＝(－1＋m，2＋1)＝(m－1，3).
又a＋b与a垂直，
所以(a＋b)·a＝0，
即(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7.
答案：7
考点 几何图形中的数量积运算
在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点M，N分别在DC，BC上，且DM＝MC，BN＝BC，则·＝________．
【解析】 方法一：·＝·＝0＋×22＋×32＋×0＝5.
方法二：以A为原点，，的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立平面直角坐标系(图略)，则A(0，0)，M(1，2)，N(3，1)，
于是＝(1，2)，＝(3，1)，故·＝5.
【答案】 5
对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．
在△ABC中，B＝90°，AB＝2，D是边BC上一动点，则·＝( )
A．2 B．－2
C．4 D．无法确定
解析：选C.方法一：·＝·(＋)＝2＋·，因为B＝90°，所以·＝0，
所以·＝2＝4.
方法二：以B为原点，以，的方向为x轴，y轴的正方向，建立平面直角坐标系，如图．
则B(0，0)，A(2，0)，D(0，y).
所以＝(－2，0)，＝(－2，y)，
得·＝(－2，0)·(－2，y)＝4.
1.设a＝(1，－2)，b＝(3，1)，c＝(－1，1)，则(a＋b)·(a－c)＝( )
A．11 B．5
C．－14 D．10
解析：选A.a＋b＝(4，－1)，a－c＝(2，－3).所以(a＋b)·(a－c)＝4×2＋(－1)×(－3)＝11.故选A.
2．已知向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝( )
A． B．
C．2 D．10
解析：选B.由题意可得a·b＝x·1＋1×(－2)＝x－2＝0，
解得x＝2.
再由a＋b＝(x＋1，－1)＝(3，－1)，
可得|a＋b|＝.
3．已知向量m＝(1，1)，向量n与向量m的夹角为，且m·n＝－1，则|n|＝( )
A．－1 B．1
C．2 D．－2
解析：选B.由题意得|m|＝＝，cos ＝＝＝－，得|n|＝1，故选B.
4．已知点A(0，1)，B(1，－2)，向量＝(4，－1)，求·及||.
解：因为＝(1，－3)，所以·＝1×4＋(－3)×(－1)＝7，＝－＝(4，－1)－(1，－3)＝(3，2)，
所以||＝＝.
[A 基础达标]
1．已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝( )
A．－12 B．－6
C．6 D．12
解析：选D.2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12.
2．已知a＝(2，4)，a－2b＝(0，8)，则a，b夹角的余弦值等于( )
A．－ B．－
C． D．
解析：选B.因为a＝(2，4)，a－2b＝(0，8)，所以b＝[a－(a－2b)]＝(1，－2)，所以a·b＝2－8＝－6.设a，b的夹角为θ，因为a·b＝|a||b|·cos θ＝2××cos θ＝10cos θ，所以10cos θ＝－6，所以cos θ＝－.
3．已知a＝(－1，3)，b＝(2，－1)，且(ka＋b)⊥(a－2b)，则k＝( )
A． B．－
C． D．－
解析：选C.由题意知，ka＋b＝(2－k，3k－1)，a－2b＝(－5，5)，且(ka＋b)·(a－2b)＝0，故－5(2－k)＋5(3k－1)＝0，解得k＝.
4．已知平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝( )
A． B．2
C．4 D．12
解析：选B.因为a＝(2，0)，|b|＝1，
所以|a|＝2，a·b＝2×1×cos 60°＝1.
所以|a＋2b|＝＝2.
5．已知A(－2，1)，B(6，－3)，C(0，5)，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
解析：选A.由题设知＝(8，－4)，＝(2，4)，＝(－6，8)，所以·＝2×8＋(－4)×4＝0，即⊥，所以∠BAC＝90°，故△ABC是直角三角形．
6．设点A(4，2)，B(a，8)，C(2，a)，O为坐标原点，若四边形OABC是平行四边形，则向量与的夹角为( )
A． B．
C． D．
解析：选B.因为四边形OABC是平行四边形，
所以＝，即(4－0，2－0)＝(a－2，8－a)，
所以a＝6，因为＝(4，2)，＝(2，6)，
设向量与的夹角为θ，
所以cos θ＝＝＝，
又θ∈(0，π)，所以与的夹角为.
7．已知a＝(－1，1)，b＝(1，2)，则a·(a＋2b)＝________．
解析：因为a＋2b＝(1，5)，所以a·(a＋2b)＝4.
答案：4
8．已知a＝(1，2)，b＝(－2，n)，且a⊥b，则|3a＋b|＝________．
解析：因为a⊥b，所以－2＋2n＝0.于是n＝1，因此a＝(1，2)，b＝(－2，1)，所以3a＋b＝(1，7)，故|3a＋b|＝5.
答案：5
9．在OA为边、OB为对角线的矩形中，＝(－3，1)，＝(－2，k)，则实数k＝________．
解析：如图所示，由于＝(－3，1)，＝(－2，k)，所以＝－＝(1，k－1).在矩形中，由⊥得·＝0，所以(－3，1)·(1，k－1)＝0，即－3×1＋1×(k－1)＝0，解得k＝4.
答案：4
10．已知a＝(4，3)，b＝(－1，2).
(1)求a与b夹角的余弦值；
(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．
解：(1)因为a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，
|a|＝＝5，|b|＝＝，
设a与b的夹角为θ，
所以cos θ＝＝＝.
(2)因为a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)，
又(a－λb)⊥(2a＋b)，
所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，所以λ＝.
[B 能力提升]
11．在 ABCD中，已知＝(－4，2)，＝(2，－6)，那么|2＋|＝( )
A．5 B．2
C．2 D．
解析：选D.因为＋＝＝(－4，2)，
又＝＋＝(－4，2)＋(－2，6)＝(－3，4)，
所以2＋＝＋(＋)＝(－3，4)＋(－4，2)＝(－7，6)，
所以|2＋|＝＝.
12．(多选)设向量a＝(k，2)，b＝(1，－1)，则下列叙述错误的是( )
A．若k<－2，则a与b的夹角为钝角
B．|a|的最小值为2
C．与b共线的单位向量只有一个，为
D．若|a|＝2|b|，则k＝2或－2
解析：选CD.设向量a，b的夹角为θ，
由a＝(k，2)，b＝(1，－1)，
所以cos θ＝.
当k<－2时，cos θ<0且cos θ≠－1，故A正确．
|a|＝，所以|a|的最小值为2，B正确．
与b共线的单位向量有无数个，C错误．当|a|＝2|b|时，k＝±2，故D错误．
13．若a·b＝39，b＝(12，5)，则a在b上的投影向量是________．
解析：设a，b的夹角为θ，因为b＝(12，5)，所以与b方向相同的单位向量e＝，所以a在b上的投影向量为|a|cos θ e＝e＝3e＝.
答案：
14．已知平面向量a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.
(1)求b与c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．
解：(1)因为a∥b，所以3x＝4×9，即x＝12.因为a⊥c，所以3×4＋4y＝0，所以y＝－3.故b＝(9，12)，c＝(4，－3).
(2)m＝2a－b＝(6，8)－(9，12)＝(－3，－4)，n＝a＋c＝(3，4)＋(4，－3)＝(7，1).
设m，n的夹角为θ，
则cos θ＝＝
＝＝－.
因为θ∈[0，π]，所以θ＝，即m，n的夹角为.
[C 拓展冲刺]
15．(多选)已知四边形ABCD是边长为2的正方形，P为平面ABCD内一点，则(＋)·(＋)( )
A．有最小值－4 B．有最大值－4
C．无最小值 D．无最大值
解析：选AD.建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，
D(0，2).
设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(2－x，－y)，＝(2－x，2－y)，＝(－x，2－y)，
所以(＋)·(＋)＝(2－2x，－2y)·(2－2x，4－2y)＝(2－2x)2＋(2y－2)2－4，
当x＝1，y＝1时，(＋)·(＋)取得最小值－4，无最大值．故选AD.
16．如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的中点，点F在边CD上．
(1)若AB＝BC＝2，点F是边CD上靠近C的三等分点，求·的值；
(2)若AB＝，BC＝2，当·＝0时，求CF的长．
解：建立如图所示的平面直角坐标系：
(1)因为AB＝BC＝2，点F是边CD上靠近C的三等分点，E是BC边上的中点，所以A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(2，1)，D(0，2)，F(，2)；
所以＝(2，1)，＝(－，1).
所以·＝－＋1＝－.
(2)因为AB＝，BC＝2，
所以A(0，0)，B(，0)，E(，1)，C(，2)，D(0，2)，
设F(a，2)，所以＝(，1)，＝(a－，2)，当
·＝0时，(a－)＋2＝0，
解得a＝，
所以CF的长为－＝.
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6．3.5 平面向量数量积的坐标表示
学习指导 核心素养
1.掌握平面向量数量积的坐标表示． 2.会根据向量的坐标形式求数量积、模、夹角． 1.数学运算：平面向量数量积的坐标运算及求向量的模及夹角． 2.逻辑推理：利用向量证明垂直问题．
知识点一 向量数量积的坐标表示
条件 向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
坐标表示 a·b＝x1x2＋y1y2
文字叙述 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
公式a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．
已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2).
(1)求a·(a－b)；
(2)求(a＋b)·(2a－b).
向量数量积运算的途径
进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两种途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
1．设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3，4)，向量c＝(3，2)，则向量(a＋2b)·c＝( )
A．3 B．0
C．－3 D．－11
2．已知a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x＝( )
A．6 B．5
C．4 D．3
知识点二 向量数量积的坐标表示的结论
条件 结论
a＝(x，y) |a|＝
表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2) |a|＝
向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) a⊥b x1x2＋y1y2＝0
a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角 cos θ＝＝
向量垂直与向量平行的条件容易混淆，注意以下特点：
坐标表示 记忆口诀
垂直 a⊥b x1x2＋y1y2＝0 对应相乘和为0
平行 a∥b x1y2－x2y1＝0 交叉相乘差为0
角度1 用坐标法求向量的模
(1)设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|＝( )
A． B．
C． D．
(2)已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于( )
A． B．
C．5 D．25
求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算
利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)坐标表示下的运算
若a＝(x，y)，则有|a|＝ .
(2022·高考全国卷乙)已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则|a－b|＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
角度2 用坐标法求非零向量的夹角
(1)若向量a＝(1，2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角为( )
A．－ B．
C． D．
(2)(2021·高考全国卷甲)已知向量a＝(3，1)，b＝(1，0)，c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝________．
用坐标法求两个非零向量夹角的一般步骤
(1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积．
(2)利用公式|a|＝，求出这两个向量的模．
(3)代入cos θ＝，求出cos θ的值．
(4)根据θ的取值范围确定θ的值．
1．(2022·新高考卷Ⅱ)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝( )
A．－6 B．－5
C．5 D．6
2．已知向量a＝(－1，2)，b＝(m，1).若向量a＋b与a垂直，则m＝________．
考点 几何图形中的数量积运算
在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点M，N分别在DC，BC上，且DM＝MC，BN＝BC，则·＝________．
对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．
在△ABC中，B＝90°，AB＝2，D是边BC上一动点，则·＝( )
A．2 B．－2
C．4 D．无法确定
1.设a＝(1，－2)，b＝(3，1)，c＝(－1，1)，则(a＋b)·(a－c)＝( )
A．11 B．5
C．－14 D．10
2．已知向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝( )
A． B．
C．2 D．10
3．已知向量m＝(1，1)，向量n与向量m的夹角为，且m·n＝－1，则|n|＝( )
A．－1 B．1
C．2 D．－2
4．已知点A(0，1)，B(1，－2)，向量＝(4，－1)，求·及||.
[A 基础达标]
1．已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝( )
A．－12 B．－6
C．6 D．12
2．已知a＝(2，4)，a－2b＝(0，8)，则a，b夹角的余弦值等于( )
A．－ B．－
C． D．
3．已知a＝(－1，3)，b＝(2，－1)，且(ka＋b)⊥(a－2b)，则k＝( )
A． B．－
C． D．－
4．已知平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝( )
A． B．2
C．4 D．12
5．已知A(－2，1)，B(6，－3)，C(0，5)，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
6．设点A(4，2)，B(a，8)，C(2，a)，O为坐标原点，若四边形OABC是平行四边形，则向量与的夹角为( )
A． B．
C． D．
7．已知a＝(－1，1)，b＝(1，2)，则a·(a＋2b)＝________．
8．已知a＝(1，2)，b＝(－2，n)，且a⊥b，则|3a＋b|＝________．
9．在OA为边、OB为对角线的矩形中，＝(－3，1)，＝(－2，k)，则实数k＝________．
10．已知a＝(4，3)，b＝(－1，2).
(1)求a与b夹角的余弦值；
(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．
[B 能力提升]
11．在 ABCD中，已知＝(－4，2)，＝(2，－6)，那么|2＋|＝( )
A．5 B．2
C．2 D．
12．(多选)设向量a＝(k，2)，b＝(1，－1)，则下列叙述错误的是( )
A．若k<－2，则a与b的夹角为钝角
B．|a|的最小值为2
C．与b共线的单位向量只有一个，为
D．若|a|＝2|b|，则k＝2或－2
13．若a·b＝39，b＝(12，5)，则a在b上的投影向量是________．
14．已知平面向量a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.
(1)求b与c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．
[C 拓展冲刺]
15．(多选)已知四边形ABCD是边长为2的正方形，P为平面ABCD内一点，则(＋)·(＋)( )
A．有最小值－4 B．有最大值－4
C．无最小值 D．无最大值
16．如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的中点，点F在边CD上．
(1)若AB＝BC＝2，点F是边CD上靠近C的三等分点，求·的值；
(2)若AB＝，BC＝2，当·＝0时，求CF的长．
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