(共58张PPT)
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
第六章 平面向量及其应用
学习指导 核心素养
1.会用坐标表示平面向量的数乘运算． 2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 1.数学运算：平面向量坐标的数乘运算．
2.逻辑推理：平面向量共线的判定．
01
必备知识 落实
知识点一 向量数乘运算的坐标表示
符号表示 若a＝(x，y)，则λa＝__________
文字表示 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的__________
(λx，λy)
相应坐标
√
(2)已知向量a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，c＝(2，1)则a＋2b－3c的坐标是____________．
【解析】 因为a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，c＝(2，1)，所以a＋2b－3c＝(－3，2)＋2(－1，0)－3(2，1)＝(－11，－1).
(－11，－1)
平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的坐标运算进行运算．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可完全类比实数的运算进行．
1．已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，则
(1)2a＋3b＝________，
解析：2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1)＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7).
(2)a－3b＝___________．
解析：a－3b＝(－1，2)－3(2，1)＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1).
(4，7)
(－7，－1)
知识点二 平面向量共线的坐标表示
条件 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0
结论 向量a，b(b≠0)共线的充要条件是________________________
x1y2－x2y1＝0
(1)a∥b(b≠0) a＝λb.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系．
(2)a∥b(b≠0) x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).这是代数运算，由于不需引进参数λ，从而简化了运算量．
(1)已知向量a＝(1，－2)，b＝(3，4).若(3a－b)∥(a＋kb)，求k的值；
【解】 3a－b＝(0，－10)，a＋kb＝(1＋3k，－2＋4k)，
因为(3a－b)∥(a＋kb)，
所以0－(－10－30k)＝0，
(1)向量共线的判定方法
三点共线问题的实质是向量共线问题．
(2)利用向量的坐标运算求参数
用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标，利用点的位置确定其横、纵坐标应满足的条件，建立关于参数的方程(组)进行求解．
1．下列各组向量中，共线的是( )
A．a＝(－2，3)，b＝(4，6) B．a＝(2，3)，b＝(3，2)
C．a＝(1，－2)，b＝(7，14) D．a＝(－3，2)，b＝(6，－4)
解析：A选项，(－2)×6－3×4＝－24≠0，
所以a与b不共线；
B选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，所以a与b不共线；
C选项，1×14－(－2)×7＝28≠0，所以a与b不共线；
D选项，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，所以a∥b.故选D.
√
2．已知向量a＝(x，2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，则实数x的值为( )
A．－3 B．2
C．4 D．－6
解析：因为(a＋b)∥(a－2b)，a＋b＝(x＋3，1)，a－2b＝(x－6，4)，所以4(x＋3)－(x－6)＝0，解得x＝－6.
√
02
关键能力 提升
判断向量(或三点)共线的3个步骤
√
03
课堂巩固 自测
√
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2．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝( )
A．(－2，－4)
B．(－3，－6)
C．(－4，－8)
D．(－5，－10)
解析：由a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)，解得m＝－4，所以b＝(－2，－4)，所以2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8).
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√
3．已知A，B，C三点共线，且A(3，－6)，B(－5，2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为( )
A．－13 B．9
C．－9 D．13
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04
课后达标 检测
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2．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x－1，2)，若a∥b，则实数x的值为( )
A．2 B．－2
C．3 D．－3
解析：因为a∥b，所以2×2－(－1)×(x－1)＝0，得x＝－3.
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4．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，c＝(3，4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为( )
A．－2，1 B．1，－2
C．2，－1 D．－1，2
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[C 拓展冲刺]
15.如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，则直线AC与BD交点P的坐标为________．
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16．已知a＝(1，0)，b＝(2，1).
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；
解：由已知，得ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2).
因为ka－b与a＋2b共线，
所以2(k－2)－(－1)×5＝0，
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16中小学教育资源及组卷应用平台
6．3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
学习指导 核心素养
1.会用坐标表示平面向量的数乘运算． 2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 1.数学运算：平面向量坐标的数乘运算． 2.逻辑推理：平面向量共线的判定．
知识点一 向量数乘运算的坐标表示
符号表示 若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)
文字表示 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
(1)已知A(2，4)，B(－1，－5)，C(3，－2)，则＋＝( )
A．(2，－3) B．(－2，－3)
C．(－2，3) D．(2，3)
(2)已知向量a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，c＝(2，1)则a＋2b－3c的坐标是________．
平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的坐标运算进行运算．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可完全类比实数的运算进行．
1．已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，则
(1)2a＋3b＝________，(2)a－3b＝________．
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，＝，则P点的坐标为________．
知识点二 平面向量共线的坐标表示
条件 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0
结论 向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0
(1)a∥b(b≠0) a＝λb.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系．
(2)a∥b(b≠0) x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).这是代数运算，由于不需引进参数λ，从而简化了运算量．
(1)已知向量a＝(1，－2)，b＝(3，4).若(3a－b)∥(a＋kb)，求k的值；
(2)已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(2，5)，判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
(1)向量共线的判定方法
三点共线问题的实质是向量共线问题．
(2)利用向量的坐标运算求参数
用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标，利用点的位置确定其横、纵坐标应满足的条件，建立关于参数的方程(组)进行求解．
1．下列各组向量中，共线的是( )
A．a＝(－2，3)，b＝(4，6) B．a＝(2，3)，b＝(3，2)
C．a＝(1，－2)，b＝(7，14) D．a＝(－3，2)，b＝(6，－4)
2．已知向量a＝(x，2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，则实数x的值为( )
A．－3 B．2
C．4 D．－6
考点 向量共线的应用
角度1 三点共线问题
已知＝(3，4)，＝(7，12)，＝(9，16)，求证：点A，B，C三点共线．
判断向量(或三点)共线的3个步骤
角度2 线段分点坐标的计算
已知点A(3，－4)与点B(－1，2)，点P在直线AB上，且||＝2||，求点P的坐标．
1．(变条件)若将本例条件“||＝2||”改为“＝3”，其他条件不变，求点P的坐标．
2．(变条件、变设问)若将本例条件改为“经过点P(－2，3)的直线分别交x轴、y轴于点A，B，且||＝3||”，求点A，B的坐标．
求点的坐标时需注意的问题
(1)设P1(x1，y1)，P2(x2，y2).若点P是P1P2的中点时，则P点坐标为.
(2)求线段P1P2上或延长线上的点的坐标时，不必过分强调公式的记忆，可以转化为向量问题后列出方程组求解，同时要注意分类讨论．
1．在△ABC中，A(2，3)，B(8，－4)，点G(2，－1)在中线AD上，且＝2，则点C的坐标是( )
A．(－4，2) B．(－4，－2)
C．(4，－2) D．(4，2)
2．已知A(1，－3)，B，C(9，1)，求证：A，B，C三点共线．
1．下列各组向量中，共线的是( )
A．a＝(－1，2)，b＝
B.a＝，b＝
C．a＝(2，3)，b＝(2，－3)
D．a＝(－3，2)，b＝(3，－2)
2．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝( )
A．(－2，－4)
B．(－3，－6)
C．(－4，－8)
D．(－5，－10)
3．已知A，B，C三点共线，且A(3，－6)，B(－5，2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为( )
A．－13 B．9
C．－9 D．13
4．已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？
[A 基础达标]
1．已知平面向量a＝(－2，0)，b＝(－1，－1)，则a－2b＝( )
A．(1，2) B．(－1，－2)
C．(－1，2) D．(1，－2)
2．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x－1，2)，若a∥b，则实数x的值为( )
A．2 B．－2
C．3 D．－3
3．已知O为坐标原点，A(－1，3)，B(2，－4)，＝2＋m，若点P在y轴上，则实数m＝( )
A．0 B．1
C．－1 D．－2
4．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，c＝(3，4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为( )
A．－2，1 B．1，－2
C．2，－1 D．－1，2
5．已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，若A，B，C三点共线，则k的值为( )
A．－2 B．11
C．－2或11 D．2或11
6．(多选)已知点A(2，1)，B(0，2)，C(－2，1)，O(0，0)，给出下面四个结论，其中正确的有( )
A．与平行
B．＋＝
C．＋＝
D．＝－2
7．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ).若c∥(2a＋b)，则λ＝________．
8．已知向量a＝(2，－3)，b＝(1，2)，p＝(9，4)，若p＝ma＋nb，则m＋n＝________．
9．已知A(－1，2)，B(2，8).若＝，＝－，则的坐标为________．
10．已知向量＝(4，3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2).
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求实数λ与y的值．
[B 能力提升]
11．已知三点A(－1，1)，B(0，2)，C(2，0)，若和是相反向量，则D点的坐标是( )
A．(1，0) B．(－1，0)
C．(1，－1) D．(－1，1)
12．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是( )
A．k＝－2 B．k＝
C．k＝1 D．k＝－1
13．已知A(2，3)，B(4，－3)，点P在线段AB的延长线上，且|AP|＝|BP|，则点P的坐标为________．
14．设A，B，C，D为平面内的四点，且A(1，3)，B(2，－2)，C(4，1).
(1)若＝，求D点的坐标；
(2)设向量a＝，b＝，若ka－b与a＋3b平行，求实数k的值．
[C 拓展冲刺]
15.
如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，则直线AC与BD交点P的坐标为________．
16．已知a＝(1，0)，b＝(2，1).
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．
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6．3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
学习指导 核心素养
1.会用坐标表示平面向量的数乘运算． 2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 1.数学运算：平面向量坐标的数乘运算． 2.逻辑推理：平面向量共线的判定．
知识点一 向量数乘运算的坐标表示
符号表示 若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)
文字表示 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
(1)已知A(2，4)，B(－1，－5)，C(3，－2)，则＋＝( )
A．(2，－3) B．(－2，－3)
C．(－2，3) D．(2，3)
(2)已知向量a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，c＝(2，1)则a＋2b－3c的坐标是________．
【解析】 (1)因为A(2，4)，B(－1，－5)，C(3，－2)，
所以＝(1，－6)，＝(3，9)，
所以＋＝(2，－3).
(2)因为a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，c＝(2，1)，所以a＋2b－3c＝(－3，2)＋2(－1，0)－3(2，1)＝(－11，－1).
【答案】 (1)A (2)(－11，－1)
平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的坐标运算进行运算．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可完全类比实数的运算进行．
1．已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，则
(1)2a＋3b＝________，(2)a－3b＝________．
解析：(1)2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1)＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7).
(2)a－3b＝(－1，2)－3(2，1)＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1).
答案：(1)(4，7) (2)(－7，－1)
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，＝，则P点的坐标为________．
解析：设P(x，y)，所以＝(x－3，y＋2)，＝(－8，1)，
由＝得解得
故P.
答案：
知识点二 平面向量共线的坐标表示
条件 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0
结论 向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0
(1)a∥b(b≠0) a＝λb.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系．
(2)a∥b(b≠0) x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).这是代数运算，由于不需引进参数λ，从而简化了运算量．
(1)已知向量a＝(1，－2)，b＝(3，4).若(3a－b)∥(a＋kb)，求k的值；
(2)已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(2，5)，判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
【解】 (1)3a－b＝(0，－10)，a＋kb＝(1＋3k，－2＋4k)，
因为(3a－b)∥(a＋kb)，
所以0－(－10－30k)＝0，
解得k＝－.
(2)因为＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，
＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3，6)，
因为2×6－3×4＝0，
所以∥，所以与共线．
又＝，所以与的方向相同．
(1)向量共线的判定方法
三点共线问题的实质是向量共线问题．
(2)利用向量的坐标运算求参数
用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标，利用点的位置确定其横、纵坐标应满足的条件，建立关于参数的方程(组)进行求解．
1．下列各组向量中，共线的是( )
A．a＝(－2，3)，b＝(4，6) B．a＝(2，3)，b＝(3，2)
C．a＝(1，－2)，b＝(7，14) D．a＝(－3，2)，b＝(6，－4)
解析：选D.A选项，(－2)×6－3×4＝－24≠0，
所以a与b不共线；
B选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，所以a与b不共线；
C选项，1×14－(－2)×7＝28≠0，所以a与b不共线；
D选项，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，所以a∥b.故选D.
2．已知向量a＝(x，2)，b＝(3，－1)，若(a＋b)∥(a－2b)，则实数x的值为( )
A．－3 B．2
C．4 D．－6
解析：选D.因为(a＋b)∥(a－2b)，a＋b＝(x＋3，1)，a－2b＝(x－6，4)，所以4(x＋3)－(x－6)＝0，解得x＝－6.
考点 向量共线的应用
角度1 三点共线问题
已知＝(3，4)，＝(7，12)，＝(9，16)，求证：点A，B，C三点共线．
【证明】 由题意知＝－＝(4，8)，
＝－＝(6，12)，所以＝，
即与共线．
又因为与有公共点A，所以点A，B，C三点共线．
判断向量(或三点)共线的3个步骤
角度2 线段分点坐标的计算
已知点A(3，－4)与点B(－1，2)，点P在直线AB上，且||＝2||，求点P的坐标．
【解】 设点P的坐标为(x，y)，
因为||＝2||，
所以当P在线段AB上时，＝2，
所以(x－3，y＋4)＝2(－1－x，2－y)，
所以解得
所以点P的坐标为；
当P在线段AB的延长线上时，＝－2，
所以(x－3，y＋4)＝－2(－1－x，2－y)，
所以解得
所以点P的坐标为(－5，8)，
综上所述，点P的坐标为或(－5，8).
1．(变条件)若将本例条件“||＝2||”改为“＝3”，其他条件不变，求点P的坐标．
解：设点P的坐标为(x，y).
因为＝3，所以(x－3，y＋4)＝3(－1－x，2－y)，
所以解得
所以点P的坐标为.
2．(变条件、变设问)若将本例条件改为“经过点P(－2，3)的直线分别交x轴、y轴于点A，B，且||＝3||”，求点A，B的坐标．
解：由题设知，A，B，P三点共线，
且||＝3||.设A(x，0)，B(0，y).
①点P在A，B之间，则有＝3，
所以(－x，y)＝3(－2－x，3)，
所以解得x＝－3，y＝9，
点A，B的坐标分别为(－3，0)，(0，9).
②点P不在A，B之间，则有＝－3，
易得点A，B的坐标分别为，(0，－9).
综上，点A，B的坐标分别为(－3，0)，(0，9)或，(0，－9).
求点的坐标时需注意的问题
(1)设P1(x1，y1)，P2(x2，y2).若点P是P1P2的中点时，则P点坐标为.
(2)求线段P1P2上或延长线上的点的坐标时，不必过分强调公式的记忆，可以转化为向量问题后列出方程组求解，同时要注意分类讨论．
1．在△ABC中，A(2，3)，B(8，－4)，点G(2，－1)在中线AD上，且＝2，则点C的坐标是( )
A．(－4，2) B．(－4，－2)
C．(4，－2) D．(4，2)
解析：选B.设点C的坐标为(x，y)，则点D的坐标为.由＝2可得4＋x＝0，－2＋y＝－4，解得x＝－4，y＝－2，故点C的坐标为(－4，－2).
2．已知A(1，－3)，B，C(9，1)，求证：A，B，C三点共线．
证明：＝＝，＝(9－1，1＋3)＝(8，4)，
因为7×4－×8＝0，
所以∥，且，有公共点A，
所以A，B，C三点共线．
1．下列各组向量中，共线的是( )
A．a＝(－1，2)，b＝
B.a＝，b＝
C．a＝(2，3)，b＝(2，－3)
D．a＝(－3，2)，b＝(3，－2)
解析：选D.选项A中，2×－(－1)×1≠0，则a与b不共线；同理，B，C中的两向量不共线；选项D中，2×3－(－3)×(－2)＝0，则有a∥b.
2．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝( )
A．(－2，－4)
B．(－3，－6)
C．(－4，－8)
D．(－5，－10)
解析：选C.由a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)，解得m＝－4，所以b＝(－2，－4)，所以2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8).
3．已知A，B，C三点共线，且A(3，－6)，B(－5，2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为( )
A．－13 B．9
C．－9 D．13
解析：选C.设C(6，y)，因为∥，
又＝(－8，8)，＝(3，y＋6)，
所以－8×(y＋6)－3×8＝0，所以y＝－9.
4．已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？
解：因为＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，
＝(2－1，7－5)＝(1，2).
又2×2－4×1＝0，
所以∥.
又＝(2，6)，＝(2，4)，
所以2×4－2×6≠0，
所以A，B，C不共线，
所以AB与CD不重合，
所以AB∥CD.
[A 基础达标]
1．已知平面向量a＝(－2，0)，b＝(－1，－1)，则a－2b＝( )
A．(1，2) B．(－1，－2)
C．(－1，2) D．(1，－2)
解析：选A.a－2b＝(－1，0)－(－2，－2)＝(1，2).
2．已知向量a＝(2，－1)，b＝(x－1，2)，若a∥b，则实数x的值为( )
A．2 B．－2
C．3 D．－3
解析：选D.因为a∥b，所以2×2－(－1)×(x－1)＝0，得x＝－3.
3．已知O为坐标原点，A(－1，3)，B(2，－4)，＝2＋m，若点P在y轴上，则实数m＝( )
A．0 B．1
C．－1 D．－2
解析：选B.由已知得＝(2m－2，6－4m)，因为点P在y轴上，所以2m－2＝0，所以m＝1.
4．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，c＝(3，4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为( )
A．－2，1 B．1，－2
C．2，－1 D．－1，2
解析：选D.因为a＝(1，2)，b＝(2，3)，c＝(3，4)，c＝λ1a＋λ2b，所以(3，4)＝λ1(1，2)＋λ2(2，3)＝(λ1＋2λ2，2λ1＋3λ2)，
所以解得λ1＝－1，λ2＝2.故选D.
5．已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，若A，B，C三点共线，则k的值为( )
A．－2 B．11
C．－2或11 D．2或11
解析：选C.＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(6，k－5)，由题知∥，故(4－k)(k－5)－(－7)×6＝0，解得k＝11或k＝－2.
6．(多选)已知点A(2，1)，B(0，2)，C(－2，1)，O(0，0)，给出下面四个结论，其中正确的有( )
A．与平行
B．＋＝
C．＋＝
D．＝－2
解析：选ACD.＝(2，－1)，＝(－2，1)，又2×1－(－1)×(－2)＝0，所以与平行，A正确．＋＝≠，所以B不正确．＋＝(0，2)＝，所以C正确．＝(－4，0)，－2＝(0，2)－(4，2)＝(－4，0)，所以D正确．
7．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ).若c∥(2a＋b)，则λ＝________．
解析：2a＋b＝2(1，2)＋(2，－2)＝(4，2)，c＝(1，λ)，由c∥(2a＋b)，得4λ－2＝0，得λ＝.
答案：
8．已知向量a＝(2，－3)，b＝(1，2)，p＝(9，4)，若p＝ma＋nb，则m＋n＝________．
解析：由于p＝ma＋nb，
即(9，4)＝(2m，－3m)＋(n，2n)
＝(2m＋n，－3m＋2n)，
所以解得
所以m＋n＝7.
答案：7
9．已知A(－1，2)，B(2，8).若＝，＝－，则的坐标为________．
解析：＝＝(3，6)＝(1，2)，
＝－＝－(3，6)＝(－2，－4)，
＝＋＝(－1，－2)，
所以＝(1，2).
答案：(1，2)
10．已知向量＝(4，3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2).
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求实数λ与y的值．
解：(1)设B(x1，y1)，
因为＝(4，3)，A(－1，－2)，
所以(x1＋1，y1＋2)＝(4，3)，
所以解得
所以B(3，1).
同理可得D(－4，－3)，设BD的中点M(x2，y2)，
则x2＝＝－，y2＝＝－1，
所以M.
(2)因为＝(3，1)－(2，y)＝(1，1－y)，
＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，
又＝λ(λ∈R)，
所以(1，1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，
所以解得
[B 能力提升]
11．已知三点A(－1，1)，B(0，2)，C(2，0)，若和是相反向量，则D点的坐标是( )
A．(1，0) B．(－1，0)
C．(1，－1) D．(－1，1)
解析：选C.因为与是相反向量，所以＝－.又＝(1，1)，所以＝(－1，－1).设D(x，y)，则＝(x－2，y)＝(－1，－1).从而x＝1，y＝－1，即D(1，－1).故选C.
12．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是( )
A．k＝－2 B．k＝
C．k＝1 D．k＝－1
解析：选C.因为A，B，C三点不能构成三角形，则A，B，C三点共线，则∥，又＝－＝(1，2)，＝－＝(k，k＋1)，所以2k－(k＋1)＝0，即k＝1.
13．已知A(2，3)，B(4，－3)，点P在线段AB的延长线上，且|AP|＝|BP|，则点P的坐标为________．
解析：设P(x，y)，由点P在线段AB的延长线上，则＝，得(x－2，y－3)＝(x－4，y＋3)，
即
解得所以点P的坐标为(8，－15).
答案：(8，－15)
14．设A，B，C，D为平面内的四点，且A(1，3)，B(2，－2)，C(4，1).
(1)若＝，求D点的坐标；
(2)设向量a＝，b＝，若ka－b与a＋3b平行，求实数k的值．
解：(1)设D(x，y)，
则＝(1，－5)，＝(x－4，y－1).
因为＝，
所以(1，－5)＝(x－4，y－1)，
即
解得
所以D点的坐标为(5，－4).
(2)由题意知a＝＝(1，－5)，b＝＝(2，3)，
所以ka－b＝(k－2，－5k－3)，a＋3b＝(7，4).
因为(ka－b)∥(a＋3b)，
所以4(k－2)＝7(－5k－3)，
解得k＝－.
[C 拓展冲刺]
15.
如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，则直线AC与BD交点P的坐标为________．
解析：设P(x，y)，则＝(x－1，y)，＝(5，4)，＝(－3，6)，＝(4，0).
由B，P，D三点共线可得＝λ＝(5λ，4λ).
又因为＝－＝(5λ－4，4λ)，
由与共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0.
解得λ＝，所以＝＝，
所以P的坐标为.
答案：
16．已知a＝(1，0)，b＝(2，1).
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；
(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．
解：(1)由已知，得ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2).
因为ka－b与a＋2b共线，
所以2(k－2)－(－1)×5＝0，
即2k－4＋5＝0，解得k＝－.
(2)因为A，B，C三点共线，所以∥.
所以存在实数λ，使得2a＋3b＝λ(a＋mb)＝λa＋λmb.
又a与b不共线，所以
解得m＝.
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