(共38张PPT)
6.4.2 向量在物理中的应用举例
第六章 平面向量及其应用
学习指导 核心素养
1.会用向量方法解决物理中的一些问题． 2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用． 数学建模、数学运算：利用向量方法解决某些简单的力学问题及其他一些实际问题．
01
关键能力 提升
考点一 利用向量解决力与做功问题
已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动力摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m．问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g＝10 N/kg)
用向量方法解决物理问题的四个步骤
速度问题的向量解法
运用向量解决物理中的速度问题时，一般涉及速度的合成与分解，因此应充分利用三角形法则与平行四边形法则将物理问题转化为数学中的向量问题，正确地作出图形解决问题．
√
60
30°
02
课堂巩固 自测
√
1.已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小为|s|＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为( )
A．7 B．10
C．14 D．70
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8．(多选)如图所示，小船被绳索拉向岸边，设船在水中运动时水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是( )
A．绳子的拉力不断增大
B．绳子的拉力不断变小
C．船的浮力不断变小
D．船的浮力保持不变
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5中小学教育资源及组卷应用平台
6．4.2 向量在物理中的应用举例
学习指导 核心素养
1.会用向量方法解决物理中的一些问题． 2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用． 数学建模、数学运算：利用向量方法解决某些简单的力学问题及其他一些实际问题．
考点一 利用向量解决力与做功问题
已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动力摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m．问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g＝10 N/kg)
【解】 如图所示，设木块的位移为s，
则WF＝F·s＝|F||s|cos 30°
＝50×20×＝500(J).
将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1的大小为|F1|＝|F|sin 30°＝50×＝25(N)，
所以摩擦力f的大小为|f|＝|μ(G－F1)|＝(80－25)×0.02＝1.1(N)，
因此Wf＝f·s＝|f||s|cos 180°＝1.1×20×(－1)＝－22(J).
即F和f所做的功分别为500J和－22 J．
用向量方法解决物理问题的四个步骤
设作用于同一点的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，若|F1|＝1，|F2|＝2，且F1与F2的夹角为π，如图所示．
(1)求F3的大小；
(2)求F2与F3的夹角．
解：(1)由题意知，|F3|＝|F1＋F2|，
因为|F1|＝1，|F2|＝2，
且F1与F2的夹角为π，
所以|F3|＝|F1＋F2|＝＝.
(2)设F2与F3的夹角为θ，
因为F3＝－(F1＋F2)，
所以F3·F2＝－F1·F2－F2·F2，
所以×2×cos θ＝－1×2×－4＝－3，
所以cos θ＝－，
所以θ＝π.
考点二 利用向量解决速度、位移问题
一条宽为 km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝ km，船在水中最大航速为4 km/h，问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B码头？用时多少？
【解】 如图所示，设为水流速度，为航行速度，以AC和AD为邻边作 ACED且当AE与AB重合时能最快到达彼岸B码头，根据题意AC⊥AE，在Rt△ADE和 ACED中，
||＝||＝2，||＝4，∠AED＝90°，
因为sin ∠EAD＝，∠EAD∈(0°，90°)，
所以∠EAD＝30°，∠DAC＝120°.
所以||＝＝2.
又AB＝，所以用时＝0.5(h).
所以该船的航行速度为4 km/h，与水流方向成120°角时能最快到达彼岸B码头，用时0.5 h．
速度问题的向量解法
运用向量解决物理中的速度问题时，一般涉及速度的合成与分解，因此应充分利用三角形法则与平行四边形法则将物理问题转化为数学中的向量问题，正确地作出图形解决问题．
1．一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子形成的速度大小是40 m/s，则鹰的飞行速度的大小为( )
A． m/s B． m/s
C． m/s D． m/s
解析：选C.如图，设鹰在地面上的影子形成的速度＝v1，鹰的飞行速度＝v2，由题可知||＝|v1|＝40，且∠CAB＝30°，则||＝|v2|＝＝.故选C.
2．某人从点O向正东走30 m到达点A，再向正北走30 m 到达点B，则此人的位移的大小是________m，方向是北偏东________.
解析：
如图所示，此人的位移是＝＋，且⊥，
则||＝＝60(m)，
tan ∠BOA＝＝，
所以∠BOA＝60°.
所以的方向为北偏东30°.
答案：60 30°
1.已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小为|s|＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为( )
A．7 B．10
C．14 D．70
解析：选D.F做的功为F·s＝|F||s|cos 60°＝10×14×＝70.
2．用两条等长的绳子悬挂一个灯具，绳子成120°角，已知灯具的重量为10 N，则每根绳子的拉力大小为______N．
解析：如图，由题意，得∠AOC＝∠COB＝60°，||＝10，
则||＝||＝10，即每根绳子的拉力大小为10 N.
答案：10
3．河水自西向东流动的速度的大小为10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度的大小为10 km/h，求小船的实际航行速度．
解：设a，b分别表示水流速度和小船在静水中的速度，过平面内一点O作＝a，＝b，以，为邻边作矩形OACB，连接，如图，则＝a＋b，且即为小船的实行航行速度．
所以||＝＝
＝20(km/h).
因为tan ∠AOC＝＝，
所以∠AOC＝60°.
所以小船的实际航行速度大小为20 km/h，按北偏东30°的方向航行．
[A 基础达标]
1．某人在无风条件下骑自行车的速度为v1，风速为v2(|v1|>|v2|)，则逆风行驶的速度的大小为( )
A．v1－v2 B．v1＋v2
C．|v1|－|v2| D．
解析：选C.题目要求的是速度的大小，即向量的大小，而不是求速度，速度是向量，速度的大小是实数．故逆风行驶的速度的大小为|v1|－|v2|.
2．一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120°的方向航行．已知河水流速为2 km/h，则经过 h，船的实际航程为( )
A．2 km B．6 km
C．2 km D．8 km
解析：选B.设船的速度为a，水的速度为b，则船的实际航行速度为a＋b，则(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×4×2×(－)＋4＝12，|a＋b|＝2 km/h，即船的实际航程为2×＝6 km.故选B.
3.
甲、乙两人同时用力，拉起一个有绳相缚的物体处于静止状态，如图，当甲、乙所拉着的绳子与铅垂线分别成30°、60°的角时，甲和乙的手上所承受的力之比是( )
A．1∶ B．∶1
C．1∶ D．∶1
解析：选D.由题意知，F甲·cos 60°＝F乙·cos 30°，所以＝＝，故F甲∶F乙＝∶1.
4．已知一物体在共点力F1＝(2，2)，F2＝(3，1)的作用下产生位移s＝，则这两个共点力对物体做的总功为________．
解析：合力F＝F1＋F2＝(5，3)，其所做的功W＝F·s＝＋＝7.
答案：7
5．如图，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为________N；若在图示坐标系中，用坐标表示合力，则合力的坐标为________．
解析：因为F1＝(2，3)，F2＝(3，1)，
所以合力F＝F1＋F2＝(2，3)＋(3，1)＝(5，4)，
所以合力的大小为＝(N).
答案： (5，4)
6．已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点B(7，0).
(1)求力F1，F2分别对质点所做的功；
(2)求力F1，F2的合力F对质点所做的功．
解：(1)＝(7，0)－(20，15)＝(－13，－15)，
力F1对质点所做的功
W1＝F1·＝(3，4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，
力F2对质点所做的功
W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J).
所以力F1，F2对质点所做的功分别为－99 J和－3 J.
(2)合力F对质点所做的功W＝F·＝(F1＋F2)·
＝[(3，4)＋(6，－5)]·(－13，－15)
＝(9，－1)·(－13，－15)
＝9×(－13)＋(－1)×(－15)
＝－117＋15＝－102(J).
所以合力F对质点所做的功为－102 J．
[B 能力提升]
7．河中水流以每小时10 km的速度自西向东流，小船自南岸A点出发，想要沿直线驶向正北岸的B点，并使它的实际速度达到每小时10 km，该小船行驶的方向和静水速度分别为( )
A．西偏北30°，速度为20 km/h
B．北偏西30°，速度为20 km/h
C．西偏北30°，速度为20 km/h
D．北偏西30°，速度为20 km/h
解析：选B.如图，设水流速度为，静水速度为，实际速度为，则四边形ACBD是平行四边形，∠BAC＝90°，AB＝10，AC＝BD＝10，所以tan ∠BAD＝＝，
所以∠BAD＝30°，AD＝＝20，所以小船行驶的方向为北偏西30°，速度为20 km/h，故选B.
8．(多选)如图所示，小船被绳索拉向岸边，设船在水中运动时水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是( )
A．绳子的拉力不断增大
B．绳子的拉力不断变小
C．船的浮力不断变小
D．船的浮力保持不变
解析：选AC.设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向夹角为θ(0<θ<).
则|F|cos θ＝|f|，所以|F|＝.
因为θ增大，cos θ减小，所以|F|增大．
因为|F|sin θ增大，且|F|sin θ加上浮力等于船的重力，所以船的浮力减小．
9．一个物体受到平面上的三个力F1，F2，F3的作用处于平衡状态，已知F1，F2成60°角，且|F1|＝3N，|F2|＝4 N，则F1与F3夹角的余弦值是________．
解析：因为物体处于平衡状态，
所以F1＋F2＋F3＝0.
因此F3＝－(F1＋F2)，
于是|F3|＝
＝
＝＝.
设F1与F3的夹角是θ，
又F2＝－(F1＋F3)，
所以|F2|＝
＝
＝＝4，
解得cos θ＝－.
答案：－
10．已知e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，今有动点P从P0(－1，2)开始，沿着与向量e1＋e2相同的方向做匀速直线运动，速度的大小为|e1＋e2| m/s；另一动点Q从Q0(－2，－1)开始，沿着与向量3e1＋2e2相同的方向做匀速直线运动，速度的大小为|3e1＋2e2| m/s.设P，Q在t＝0 s时分别在P0，Q0处，问当⊥P0Q0时，所需的时间t为多少？
解：e1＋e2＝(1，1)，|e1＋e2|＝，其单位向量为
；3e1＋2e2＝(3，2)，|3e1＋2e2|＝，
其单位向量为.
依题意知|P0P|＝t，|Q0Q|＝t，
所以P0P＝|P0P|＝(t，t)，
Q0Q＝|Q0Q|＝(3t，2t).
由P0(－1，2)，Q0(－2，－1)，
得P(t－1，t＋2)，Q(3t－2，2t－1)，
所以P0Q0＝(－1，－3)，＝(2t－1，t－3).
因为⊥P0Q0，
所以P0Q0·＝0，
即2t－1＋3t－9＝0，解得t＝2.
即当⊥P0Q0时所需的时间为2 s．
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6．4.2 向量在物理中的应用举例
学习指导 核心素养
1.会用向量方法解决物理中的一些问题． 2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用． 数学建模、数学运算：利用向量方法解决某些简单的力学问题及其他一些实际问题．
考点一 利用向量解决力与做功问题
已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50 N，一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动力摩擦因数μ＝0.02的水平面上运动了20 m．问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g＝10 N/kg)
用向量方法解决物理问题的四个步骤
设作用于同一点的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，若|F1|＝1，|F2|＝2，且F1与F2的夹角为π，如图所示．
(1)求F3的大小；
(2)求F2与F3的夹角．
考点二 利用向量解决速度、位移问题
一条宽为 km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝ km，船在水中最大航速为4 km/h，问该船从A码头到B码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B码头？用时多少？
速度问题的向量解法
运用向量解决物理中的速度问题时，一般涉及速度的合成与分解，因此应充分利用三角形法则与平行四边形法则将物理问题转化为数学中的向量问题，正确地作出图形解决问题．
1．一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子形成的速度大小是40 m/s，则鹰的飞行速度的大小为( )
A． m/s B． m/s
C． m/s D． m/s
2．某人从点O向正东走30 m到达点A，再向正北走30 m 到达点B，则此人的位移的大小是________m，方向是北偏东________.
1.已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小为|s|＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为( )
A．7 B．10
C．14 D．70
2．用两条等长的绳子悬挂一个灯具，绳子成120°角，已知灯具的重量为10 N，则每根绳子的拉力大小为______N．
3．河水自西向东流动的速度的大小为10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度的大小为10 km/h，求小船的实际航行速度．
[A 基础达标]
1．某人在无风条件下骑自行车的速度为v1，风速为v2(|v1|>|v2|)，则逆风行驶的速度的大小为( )
A．v1－v2 B．v1＋v2
C．|v1|－|v2| D．
2．一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120°的方向航行．已知河水流速为2 km/h，则经过 h，船的实际航程为( )
A．2 km B．6 km
C．2 km D．8 km
3.
甲、乙两人同时用力，拉起一个有绳相缚的物体处于静止状态，如图，当甲、乙所拉着的绳子与铅垂线分别成30°、60°的角时，甲和乙的手上所承受的力之比是( )
A．1∶ B．∶1
C．1∶ D．∶1
4．已知一物体在共点力F1＝(2，2)，F2＝(3，1)的作用下产生位移s＝，则这两个共点力对物体做的总功为________．
5．如图，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为________N；若在图示坐标系中，用坐标表示合力，则合力的坐标为________．
6．已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点B(7，0).
(1)求力F1，F2分别对质点所做的功；
(2)求力F1，F2的合力F对质点所做的功．
[B 能力提升]
7．河中水流以每小时10 km的速度自西向东流，小船自南岸A点出发，想要沿直线驶向正北岸的B点，并使它的实际速度达到每小时10 km，该小船行驶的方向和静水速度分别为( )
A．西偏北30°，速度为20 km/h
B．北偏西30°，速度为20 km/h
C．西偏北30°，速度为20 km/h
D．北偏西30°，速度为20 km/h
8．(多选)如图所示，小船被绳索拉向岸边，设船在水中运动时水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是( )
A．绳子的拉力不断增大
B．绳子的拉力不断变小
C．船的浮力不断变小
D．船的浮力保持不变
9．一个物体受到平面上的三个力F1，F2，F3的作用处于平衡状态，已知F1，F2成60°角，且|F1|＝3N，|F2|＝4 N，则F1与F3夹角的余弦值是________．
10．已知e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，今有动点P从P0(－1，2)开始，沿着与向量e1＋e2相同的方向做匀速直线运动，速度的大小为|e1＋e2| m/s；另一动点Q从Q0(－2，－1)开始，沿着与向量3e1＋2e2相同的方向做匀速直线运动，速度的大小为|3e1＋2e2| m/s.设P，Q在t＝0 s时分别在P0，Q0处，问当⊥P0Q0时，所需的时间t为多少？
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