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6．4 平面向量的应用
6．4.1 平面几何中的向量方法
学习指导 核心素养
1.能用向量方法解决简单的几何问题． 2.体会向量在解决平面几何问题中的作用． 直观想象、逻辑推理：利用向量方法解决某些简单的平面几何问题．
考点一 平面几何中的垂直问题
如图所示，
在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
【证明】 方法一：设＝a，＝b，
则|a|＝|b|，a·b＝0，
又＝＋＝－a＋b，
＝＋＝b＋a，
所以·＝·＝－a2－a·b＋b2＝－|a|2＋|b|2＝0.
故⊥，即AF⊥DE.
方法二：建立平面直角坐标系如图所示，设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(2，1)，＝(2，1)，＝(1，－2).
因为·＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，
所以⊥，即AF⊥DE.
利用向量解决垂直问题的方法和途径
(1)方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0.
(2)途径：可以考虑利用基底表示向量，也可以考虑坐标的形式．
在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝AB，求证：AC⊥BC.
证明：因为∠CDA＝∠DAB＝90°，AB∥CD，CD＝DA＝AB，
故可设＝e1，＝e2，|e1|＝|e2|，则＝2e2，
所以＝＋＝e1＋e2，
＝－＝(e1＋e2)－2e2＝e1－e2，
从而·＝(e1＋e2)·(e1－e2)＝e－e＝|e1|2－|e2|2＝0，所以⊥，即AC⊥BC.
考点二 平面几何中的平行(或共线)问题
在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
(2)D，M，B三点共线．
【证明】 如图，以点E为坐标原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
令||＝1，
则||＝1，||＝2.
因为CE⊥AB，AD＝DC，
所以四边形AECD为正方形．
所以各点的坐标分别为E(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(－1，1)，A(－1，0).
(1)因为＝(－1，1)－(0，0)＝(－1，1)，
＝(0，1)－(1，0)＝(－1，1).
所以＝，所以∥.
因为B，C，D三点不共线，所以DE∥BC.
(2)连接MB，MD.
因为M为CE的中点，所以M，
所以＝(－1，1)－＝，
＝(1，0)－＝.
所以＝－，所以∥.
因为MD与MB有公共点M，所以D，M，B三点共线．
用向量方法解决平面几何问题的步骤
如图，在平行四边形ABCD中，已知DE＝AB，DF＝DB，求证：A，E，F三点共线．
证明：因为DE＝AB，DF＝DB，
所以＝，＝＝.
于是＝－＝－
＝＋＝＝－，因此∥，
又因为，有公共点F，所以A，E，F三点共线．
考点三 平面几何中的长度与夹角问题
如图所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且DC＝2BD.求：
(1)AD的长；
(2)∠DAC的大小．
【解】 (1)设＝a，＝b，
则＝＋＝＋＝＋(－)
＝＋＝a＋b.
所以AD2＝2＝＝a2＋2×a·b＋b2＝×9＋2××3×3×cos 120°＋×9＝3.所以AD＝.
(2)设∠DAC＝θ，则向量与的夹角为θ.
因为cos θ＝＝
＝＝＝0.
所以θ＝90°，即∠DAC＝90°.
用向量法求角度的策略
(1)将要求的角转化为两向量的夹角，再使用基底法或坐标法求出该夹角的余弦值，然后求出该夹角，再转化为实际问题中的角即可．
(2)要注意，两向量夹角和要求角的关系．
已知正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，则cos ∠DOE＝________．
解析：以OA，OC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示．由题意知，＝，＝，故cos ∠DOE＝
＝＝.
答案：
1.在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC( )
A．是正三角形 B．是直角三角形
C．是等腰三角形 D．形状无法确定
解析：选C.(＋)·(－)＝2－2＝0，即||＝||，所以CA＝CB，则△ABC是等腰三角形．
2．在四边形ABCD中，若＝(1，3)，＝(－6，2)，则该四边形的面积为( )
A. B．2
C．5 D．10
解析：选D.因为·＝0，所以AC⊥BD.所以四边形ABCD的面积S＝||||＝××2＝10.
3．如图所示，在等腰直角三角形ACB中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D为BC的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE.
证明：·＝(＋)·(＋)
＝·
＝·
＝·
＝－||2＋||2.
因为CA＝CB，
所以－||2＋||2＝0，
故AD⊥CE.
[A 基础达标]
1．在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形ABCD为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．等腰梯形 D．菱形
解析：选B.因为＋＝0，所以＝，
因此四边形ABCD为平行四边形．
又因为·＝0，
所以⊥，故四边形ABCD为矩形．
2．已知点A(－2，－3)，B(19，4)，C(－1，－6)，则△ABC是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C.＝(19，4)－(－2，－3)＝(21，7)，＝(－1，－6)－(－2，－3)＝(1，－3)，·＝21－21＝0，所以⊥，则∠A＝90°，又||≠||，所以△ABC为直角三角形．
3．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC的中点，则cos ∠BDC＝( )
A．－ B．
C．0 D．
解析：选B.如图建立平面直角坐标系，则B(0，0)，A(0，8)，C(6，0)，D(3，4)，所以＝(－3，－4)，＝(3，－4).又∠BDC为，的夹角，所以cos ∠BDC＝＝＝.
4．已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形为________．
解析：因为＝(3，3)，＝(－2，－2)，所以＝－，所以与共线．又||≠||，所以该四边形为梯形．
答案：梯形
5．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，若·＝1，则AB的长为________．
解析：如图，·＝(＋)·(＋)＝(＋)·＝||2＋||||cos 60°－||2＝1＋||－||2＝1.所以||＝，即AB＝.
答案：
6．在△ABC中，点M，N分别在线段AB，AC上，AM＝2MB，AN＝2NC.求证：MN∥BC.
证明：设＝a，＝b.
则＝－＝b－a.
又AM＝2MB，AN＝2NC.
所以＝a，＝b.
在△AMN中，＝－＝(b－a)，
所以＝，
即与共线，故MN∥BC.
[B 能力提升]
7．已知△ABC满足2＝·＋·＋·，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
解析：选C.由题意知，·(－)＋·(－)＝0，即·＋·＝0，
即·＝0，则⊥，故△ABC为直角三角形．
8．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝0，则△ABM与△ABC的面积之比为( )
A.1∶2 B．1∶3
C．1∶4 D．2∶5
解析：选B.如图，D为BC的中点，
则＝(＋).
因为3－－＝0，
所以3＝2，所以＝，
所以S△ABM＝S△ABD＝S△ABC.
9．在△ABC中，设2－2＝2·，那么动点M形成的图形必通过△ABC的________心．(填“内”“外”或“重”)
解析：假设BC的中点是O，则2－2＝(＋)·(－)＝2·＝2·，
即(－)·＝·＝0，所以⊥，
所以动点M在线段BC的中垂线上，所以动点M形成的图形必通过△ABC的外心．
答案：外
10．如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量方法证明：PA＝EF.
证明：设正方形的边长为1，
DP＝λ(0<λ<)，
以D为坐标原点，DC，DA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图略)，
则A(0，1)，P，E，F，
所以＝，＝，
所以||＝
＝ ，
||＝ ＝ ，
所以||＝||，所以PA＝EF.
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6．4 平面向量的应用
6．4.1 平面几何中的向量方法
学习指导 核心素养
1.能用向量方法解决简单的几何问题． 2.体会向量在解决平面几何问题中的作用． 直观想象、逻辑推理：利用向量方法解决某些简单的平面几何问题．
考点一 平面几何中的垂直问题
如图所示，
在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
利用向量解决垂直问题的方法和途径
(1)方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0.
(2)途径：可以考虑利用基底表示向量，也可以考虑坐标的形式．
在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝AB，求证：AC⊥BC.
考点二 平面几何中的平行(或共线)问题
在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
(2)D，M，B三点共线．
用向量方法解决平面几何问题的步骤
如图，在平行四边形ABCD中，已知DE＝AB，DF＝DB，求证：A，E，F三点共线．
考点三 平面几何中的长度与夹角问题
如图所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且DC＝2BD.求：
(1)AD的长；
(2)∠DAC的大小．
用向量法求角度的策略
(1)将要求的角转化为两向量的夹角，再使用基底法或坐标法求出该夹角的余弦值，然后求出该夹角，再转化为实际问题中的角即可．
(2)要注意，两向量夹角和要求角的关系．
已知正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，则cos ∠DOE＝________．
1.在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC( )
A．是正三角形 B．是直角三角形
C．是等腰三角形 D．形状无法确定
2．在四边形ABCD中，若＝(1，3)，＝(－6，2)，则该四边形的面积为( )
A. B．2
C．5 D．10
3．如图所示，在等腰直角三角形ACB中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D为BC的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB.求证：AD⊥CE.
[A 基础达标]
1．在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形ABCD为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．等腰梯形 D．菱形
2．已知点A(－2，－3)，B(19，4)，C(－1，－6)，则△ABC是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
3．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC的中点，则cos ∠BDC＝( )
A．－ B．
C．0 D．
4．已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1，0)，(4，3)，(2，4)，(0，2)，则此四边形为________．
5．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，若·＝1，则AB的长为________．
6．在△ABC中，点M，N分别在线段AB，AC上，AM＝2MB，AN＝2NC.求证：MN∥BC.
[B 能力提升]
7．已知△ABC满足2＝·＋·＋·，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
8．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝0，则△ABM与△ABC的面积之比为( )
A.1∶2 B．1∶3
C．1∶4 D．2∶5
9．在△ABC中，设2－2＝2·，那么动点M形成的图形必通过△ABC的________心．(填“内”“外”或“重”)
10．如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量方法证明：PA＝EF.
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6.4 平面向量的应用
6.4.1 平面几何中的向量方法
第六章 平面向量及其应用
学习指导 核心素养
1.能用向量方法解决简单的几何问题． 2.体会向量在解决平面几何问题中的作用． 直观想象、逻辑推理：利用向量方法解决某些简单的平面几何问题．
01
关键能力 提升
考点一 平面几何中的垂直问题
如图所示，
在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
利用向量解决垂直问题的方法和途径
(1)方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0.
(2)途径：可以考虑利用基底表示向量，也可以考虑坐标的形式．
考点二 平面几何中的平行(或共线)问题
在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
用向量方法解决平面几何问题的步骤
考点三 平面几何中的长度与夹角问题
如图所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且DC＝2BD.求：
(1)AD的长；
用向量法求角度的策略
(1)将要求的角转化为两向量的夹角，再使用基底法或坐标法求出该夹角的余弦值，然后求出该夹角，再转化为实际问题中的角即可．
(2)要注意，两向量夹角和要求角的关系．
已知正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，则cos ∠DOE＝________．
02
课堂巩固 自测
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课后达标 检测
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外
10．如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量方法证明：PA＝EF.
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