(共53张PPT)
第3课时 用余弦、正弦定理解三角形
第六章 平面向量及其应用
01
必备知识 落实
√
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02
关键能力 提升
解三角形综合问题的方法
三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解．
多边形中计算问题的解题思路
(1)正确挖掘图形中的几何条件，简化运算是解题要点，还要善于应用正弦定理、余弦定理．只需通过解三角形，一般问题便能很快解决．
(2)解决此类问题的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件．
03
课堂巩固 自测
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[C 拓展冲刺]
15．如图，为测量A，C两点间的距离，选取同一平面上的B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)为AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，若A，B，C，D四点共圆，则AC的长为( )
A．5 km B．6 km
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第3课时 用余弦、正弦定理解三角形
知识点 三角形的面积公式
(1)S＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别表示边a，b，c上的高).
(2)S＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B.
(3)S＝(a＋b＋c)·r(r为△ABC内切圆的半径).
(1)(多选)若△ABC的面积为，且b＝2，c＝，则A的值为( )
A．30° B．60°
C．150° D．120°
(2)在△ABC中，已知a＝5，b＝7，B＝120°，则△ABC的面积为________．
三角形面积计算的解题思路
对于此类问题，一般用公式S＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B进行求解，可分为以下两种情况：
(1)若所给图形为多边形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积．
(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解．
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，又知a＝1，A＝60°，c＝，则△ABC的面积为________．
2．在△ABC中，若a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，则b＝________.
考点一 正、余弦定理与三角形面积公式的综合应用
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＋b＝5，c＝，且c cos A＋a＝b.
(1)求C的大小；
(2)求△ABC的面积．
解三角形综合问题的方法
三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解．
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cos B＝.
(1)若b＝4，求sin A的值；
(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．
考点二 正、余弦定理在几何图形中的应用
已知四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.
(1)求C和BD；
(2)求四边形ABCD的面积．
多边形中计算问题的解题思路
(1)正确挖掘图形中的几何条件，简化运算是解题要点，还要善于应用正弦定理、余弦定理．只需通过解三角形，一般问题便能很快解决．
(2)解决此类问题的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件．
如图，在△ABC中，B＝45°，AC＝8，D是BC边上一点，DC＝5，DA＝7，求AB的长．
1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝4，b＝3，C＝60°，则△ABC的面积为( )
A．3 B．3
C．6 D．6
2．已知锐角三角形ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为( )
A．75° B．60°
C．45° D．30°
3．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)2－c2＝4，C＝120°，则△ABC的面积为( )
A． B．
C． D．2
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若c＝，b＝1，C＝120°.
(1)求角B；
(2)求△ABC的面积S.
[A 基础达标]
1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列关系式中一定成立的是( )
A．a＞b sin A B．a＝b sin A
C．a＜b sin A D．a≥b sin A
2．若三角形的两边长为3和5，其夹角的余弦值是方程5x2－7x－6＝0的根，则该三角形的面积是( )
A．6 B．
C．8 D．10
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A＝30°，a＝b＝2，则△ABC的面积为( )
A．1 B．
C．2 D．2
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＋c＝2a，3sin A＝5sin B，则C＝( )
A． B．
C． D．
5．已知△ABC的周长为20，面积为10，A＝60°，则BC边的长为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
6．(多选)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝，则△ABC的面积可以是( )
A． B．1
C． D．
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若B＝，a＝，sin2B＝2sinA sin C，则△ABC的面积S＝________.
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a sin A·sin B＋b cos2A＝2a，则＝________．
9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin B＝2sin A，且△ABC的面积为a2sin B，则cos B＝________．
10．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，角C是钝角，且sin B＝.
(1)求角C的值；
(2)若b＝2，△ABC的面积为，求c的值．
[B 能力提升]
11．在锐角三角形ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A＝，a＝2，△ABC的面积S△ABC＝，则b的值为( )
A． B．
C．2 D．2
12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b sin 2A＋a sin B＝0，b＝c，则的值为( )
A．1 B．
C． D．
13．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．
14．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tan A＝－，a＝2，b＝2.
(1)求c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
[C 拓展冲刺]
15．如图，为测量A，C两点间的距离，选取同一平面上的B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)为AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，若A，B，C，D四点共圆，则AC的长为( )
A．5 km B．6 km
C．7 km D．8 km
16．如图所示，在四边形ABCD中，D＝2B，且AD＝1，CD＝3，cos B＝.
(1)求△ACD的面积；
(2)若BC＝2，求AB的长．
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第3课时 用余弦、正弦定理解三角形
知识点 三角形的面积公式
(1)S＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别表示边a，b，c上的高).
(2)S＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B.
(3)S＝(a＋b＋c)·r(r为△ABC内切圆的半径).
(1)(多选)若△ABC的面积为，且b＝2，c＝，则A的值为( )
A．30° B．60°
C．150° D．120°
(2)在△ABC中，已知a＝5，b＝7，B＝120°，则△ABC的面积为________．
【解析】 (1)由S△ABC＝bc sin A＝，
得 sin A＝，sin A＝，
由0°
(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B，
即c2＋5c－24＝0，
解得c＝3或c＝－8(舍去).
所以S△ABC＝ac sin B＝×5×3sin 120°＝.
【答案】 (1)BD (2)
三角形面积计算的解题思路
对于此类问题，一般用公式S＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B进行求解，可分为以下两种情况：
(1)若所给图形为多边形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积．
(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解．
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，又知a＝1，A＝60°，c＝，则△ABC的面积为________．
解析：由正弦定理得＝，
即＝，
解得sin C＝.又c＜a，所以C＜A，且0°＜C＜180°，所以C＝30°，故B＝90°，
所以S＝ac＝×1×＝.
答案：
2．在△ABC中，若a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，则b＝________.
解析：因为cos C＝，所以C∈(0°，90°)，
所以sin C＝＝，
又S△ABC＝ab sin C＝×3×b×＝4，
所以b＝2.
答案：2
考点一 正、余弦定理与三角形面积公式的综合应用
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＋b＝5，c＝，且c cos A＋a＝b.
(1)求C的大小；
(2)求△ABC的面积．
【解】 (1)由正弦定理，得sin C cos A＋sin A＝sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C，
即sin A＝sin A cos C，
因为sin A≠0，所以cos C＝，
又C∈(0，π)，所以C＝.
(2)由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C，
即7＝a2＋b2－ab，
所以7＝(a＋b)2－3ab＝25－3ab，故ab＝6，
所以S△ABC＝ab sin C＝×6×＝，
故△ABC的面积为.
解三角形综合问题的方法
三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换等知识联系在一起，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解．
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，cos B＝.
(1)若b＝4，求sin A的值；
(2)若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．
解：(1)因为cos B＝，
所以sin B＝＝，
在△ABC中，由正弦定理得＝，
即＝，所以sin A＝＝.
(2)因为S△ABC＝ac sin B＝4，
所以×2×c×＝4，
解得c＝5.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝4＋25－2×2×5×＝17，
所以b＝，
综上，b＝，c＝5.
考点二 正、余弦定理在几何图形中的应用
已知四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.
(1)求C和BD；
(2)求四边形ABCD的面积．
【解】 (1)连接BD(图略)，则由题设及余弦定理得，
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos C＝13－12cos C，①
BD2＝AB2＋DA2－2AB·DA cos A＝5＋4cos C．②
由①②得cos C＝，故C＝60°，BD＝.
(2)四边形ABCD的面积
S＝AB·DA sin A＋BC·CD sin C
＝sin 60°＝2.
多边形中计算问题的解题思路
(1)正确挖掘图形中的几何条件，简化运算是解题要点，还要善于应用正弦定理、余弦定理．只需通过解三角形，一般问题便能很快解决．
(2)解决此类问题的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件．
如图，在△ABC中，B＝45°，AC＝8，D是BC边上一点，DC＝5，DA＝7，求AB的长．
解：因为DC＝5，DA＝7，AC＝8，
所以由余弦定理得cos ∠ADC＝＝，
因此cos ∠ADB＝－，所以sin ∠ADB＝，
又B＝45°，DA＝7，
由正弦定理，可得＝，
所以AB＝＝＝4.
1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝4，b＝3，C＝60°，则△ABC的面积为( )
A．3 B．3
C．6 D．6
解析：选B.△ABC的面积为ab sin C＝×4×3×＝3，故选B.
2．已知锐角三角形ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为( )
A．75° B．60°
C．45° D．30°
解析：选B.由三角形的面积公式及题设可得，
3＝×4×3×sin C，所以sin C＝，
因为△ABC为锐角三角形，所以C＝60°.
3．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)2－c2＝4，C＝120°，则△ABC的面积为( )
A． B．
C． D．2
解析：选C.将c2＝a2＋b2－2ab cos C与(a＋b)2－c2＝4联立，解得ab＝4，所以S△ABC＝ab sin C＝.
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若c＝，b＝1，C＝120°.
(1)求角B；
(2)求△ABC的面积S.
解：(1)由正弦定理＝，得sin B＝＝，
因为在△ABC中，b(2)因为A＋B＋C＝180°，
所以A＝180°－120°－30°＝30°.
所以S＝bc sin A＝.
[A 基础达标]
1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列关系式中一定成立的是( )
A．a＞b sin A B．a＝b sin A
C．a＜b sin A D．a≥b sin A
解析：选D.由正弦定理＝，得a＝.
在△ABC中，因为0＜sin B≤1，所以≥1，
所以a≥b sin A．
2．若三角形的两边长为3和5，其夹角的余弦值是方程5x2－7x－6＝0的根，则该三角形的面积是( )
A．6 B．
C．8 D．10
解析：选A.解方程5x2－7x－6＝0，得x＝－或x＝2(舍去).设三角形边长为3，5的两边的夹角为α，则cos α＝－，sin α＝，故该三角形的面积S＝×3×5×＝6.
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A＝30°，a＝b＝2，则△ABC的面积为( )
A．1 B．
C．2 D．2
解析：选B.在△ABC中，A＝30°，a＝b＝2，由等腰三角形的性质可得，A＝B＝30°，
则C＝180－30°－30°＝120°，
所以S△ABC＝ab sin C＝×2×2×＝.
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＋c＝2a，3sin A＝5sin B，则C＝( )
A． B．
C． D．
解析：选C.由＝和3sin A＝5sin B，得3a＝5b，即b＝a，又b＋c＝2a，所以c＝a，所以由余弦定理，得cos C＝＝－，所以C＝，故选C.
5．已知△ABC的周长为20，面积为10，A＝60°，则BC边的长为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选C.设△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由题设a＋b＋c＝20，bc sin 60°＝10，
所以bc＝40.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos 60°＝(b＋c)2－3bc＝(20－a)2－120.
所以a＝7.即BC边的长为7.
6．(多选)在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝，则△ABC的面积可以是( )
A． B．1
C． D．
解析：选AD.因为AB＝，AC＝1，B＝，
又由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B，
所以BC2－3BC＋2＝0，
所以BC＝1或BC＝2，
因为S△ABC＝·AB·BC·sin B，
所以S△ABC＝或S△ABC＝.
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若B＝，a＝，sin2B＝2sinA sin C，则△ABC的面积S＝________.
解析：由sin2B＝2sinA sin C及正弦定理，
得b2＝2ac.①
又B＝，所以a2＋c2＝b2.②
联立①②解得a＝c＝，
所以S＝××＝3.
答案：3
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a sin A·sin B＋b cos2A＝2a，则＝________．
解析：由已知及正弦定理，得sin2A·sinB＋sin B cos2A＝2sinA，即sin B(sin2A＋cos2A)＝2sinA，所以sin B＝2sin A，所以b＝2a，即＝2.
答案：2
9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin B＝2sin A，且△ABC的面积为a2sin B，则cos B＝________．
解析：由sin B＝2sin A，得b＝2a，由△ABC的面积为a2sin B，得ac sin B＝a2sin B，由sin B≠0，
知c＝2a，
所以由余弦定理得cos B＝＝＝.
答案：
10．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，角C是钝角，且sin B＝.
(1)求角C的值；
(2)若b＝2，△ABC的面积为，求c的值．
解：(1)由sin B＝得2c sin B＝b，
由正弦定理得2sin C sin B＝sin B，
所以sin B(2sin C－1)＝0.
因为sin B≠0，
所以sin C＝.
因为C是钝角，所以C＝.
(2)由S＝ab sin C＝a＝，
得a＝2，
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C
＝12＋4－2×2×2×(－)＝28，
解得c＝2，即c的值为2.
[B 能力提升]
11．在锐角三角形ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A＝，a＝2，△ABC的面积S△ABC＝，则b的值为( )
A． B．
C．2 D．2
解析：选A.因为S△ABC＝，所以bc sin A＝bc·＝，所以bc＝3.①
因为sin A＝，A∈，所以cos A＝＝. 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得(b＋c)2＝a2＋2bc(1＋cos A)＝4＋6×＝12，所以b＋c＝2.②
由①②得b＝c＝.
12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b sin 2A＋a sin B＝0，b＝c，则的值为( )
A．1 B．
C． D．
解析：选D. 由b sin 2A＋a sin B＝0，结合正弦定理，可得
sin B sin 2A＋sin A sin B＝0，
即2sin B sin A cos A＋sin A sin B＝0，
由于sin B sin A≠0，所以cos A＝－，
因为0＜A＜π，所以A＝.
又b＝c，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A
＝3c2＋c2＋3c2＝7c2，
即a2＝7c2，所以＝.
13．已知△ABC的三个内角满足2B＝A＋C，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．
解析：由2B＝A＋C及A＋B＋C＝π知，B＝.
在△ABD中，AB＝1，BD＝＝2，
所以AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD cos ＝3.
因此AD＝.
答案：
14．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tan A＝－，a＝2，b＝2.
(1)求c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
解：(1)因为tan A＝－，所以A＝.
在△ABC中，由余弦定理，得28＝4＋c2－4c cos ，
即c2＋2c－24＝0.
解得c＝－6(舍去)或c＝4.
(2)由题设可得∠CAD＝，
所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝.
故△ABD面积与△ACD面积的比值为＝1.
又△ABC的面积为×4×2sin ∠BAC＝2，
所以△ABD的面积为.
[C 拓展冲刺]
15．如图，为测量A，C两点间的距离，选取同一平面上的B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)为AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，若A，B，C，D四点共圆，则AC的长为( )
A．5 km B．6 km
C．7 km D．8 km
解析：选C. 因为A，B，C，D四点共圆，圆内接四边形的对角和为π，所以B＋D＝π.
由余弦定理可得AC2＝52＋32－2×5×3×cos D＝34－30 cos D，
AC2＝52＋82－2×5×8×cos B＝89－80cos B.
因为B＋D＝π，所以cos B＝－cos D，
所以＝－，
所以AC＝7.
16．如图所示，在四边形ABCD中，D＝2B，且AD＝1，CD＝3，cos B＝.
(1)求△ACD的面积；
(2)若BC＝2，求AB的长．
解：(1)因为D＝2B，cos B＝，
所以cos D＝cos 2B＝2cos2B－1＝－.
因为D∈(0，π)，
所以sinD＝＝.
因为AD＝1，CD＝3，
所以△ACD的面积为S＝AD·CD·sinD＝×1×3×＝.
(2)在△ACD中，由余弦定理，得AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos D＝12，所以AC＝2.
因为BC＝2，
由正弦定理得＝，
所以＝＝＝，
所以AB＝4.
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