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第2课时 正弦定理
第六章 平面向量及其应用
01
必备知识 落实
知识点 正弦定理
正弦
(1)正弦定理的特点
①适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．
②表达形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．
[提醒] R为△ABC外接圆的半径．
已知两角及一边解三角形的一般步骤
√
已知两边及其中一边的对角解三角形的思路
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；
(3)如果已知的角为小边所对的角，不能判断另一边所对的角为锐角时，这时要根据正弦值分类讨论．
√
02
关键能力 提升
考点一 判断三角形的形状
已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若a cosB＝b cos A，则△ABC一定是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【解析】 方法一：由正弦定理得a cos B＝b cos A sin A cos B＝sin B cos A sin (A－B)＝0.由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形．
√
判断三角形形状的两种途径
[提醒] 在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc，若sin B sin C＝sin2A，则△ABC是( )
A．等腰且非等边三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析：根据正弦定理可知sinB sin C＝sin2A bc＝a2，所以b2＋c2＝a2＋bc＝2bc (b－c)2＝0，所以b＝c，又因为bc＝a2，所以a＝b＝c.即△ABC是等边三角形．故选C.
√
利用正弦、余弦定理解三角形的注意点
正、余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键．
03
课堂巩固 自测
√
1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.下列等式正确的是( )
A．a∶b＝A∶B B．a∶b＝sin A∶sin B
C．a∶b＝sin B∶sin A D．a sin A＝b sin B
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04
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6．(多选)根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是( )
A．a＝8，b＝16，A＝30°，有一解
B．b＝18，c＝20，B＝60°，有两解
C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解
D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
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[B 能力提升]
11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c－a cos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
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解析：已知c－a cos B＝(2a－b)cos A，
由正弦定理得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，
所以sin (A＋B)－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A.
化简得cos A(sin B－sin A)＝0，
所以cos A＝0或sin B－sin A＝0，则A＝90°或A＝B.
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16中小学教育资源及组卷应用平台
第2课时 正弦定理
知识点 正弦定理
文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
符号语言 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则＝＝
(1)正弦定理的特点
①适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．
②表达形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．
(2)正弦定理的变形
①a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A；
②sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；
③a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；
④sin A＝，sin B＝，sin C＝；
⑤＝2R.
[提醒] R为△ABC外接圆的半径．
角度1 已知两角及一边解三角形
在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形．
【解】 因为B＝30°，C＝105°，
所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°.
由正弦定理，得＝＝，
解得a＝＝4，c＝＝2＋2.
已知两角及一边解三角形的一般步骤
1．在△ABC中，A＝45°，B＝30°，a＝10，则b＝( )
A．5 B．10
C．10 D．5
解析：选A.由正弦定理＝得b＝＝＝5.
2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b的值．
解：因为A＝45°，C＝30°，
所以B＝180°－(A＋C)＝105°.
由＝得a＝＝＝10.
因为sin 105°＝sin 75°＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝，
所以b＝＝20×＝5＋5.
角度2 已知两边及其中一边的对角解三角形
在△ABC中，已知a＝2，c＝，C＝，解三角形．
【解】 因为＝，所以sin A＝＝.
因为c＞a，所以C＞A.所以A＝.
所以B＝，b＝ ＝＝＋1.
1．(变条件)若本例条件“c＝”改为“c＝”，其他条件不变，解三角形．
解：由＝，得sin A＝＝＝1，
所以A＝，则B＝π－A－C＝，
由勾股定理，得b＝＝＝1.
2．(变条件)若本例条件“c＝，C＝”改为“c＝，C＝”，其他条件不变，解三角形．
解：由＝，得sin A＝＝＝.
因为c
所以A＝或A＝.
当A＝时，B＝，此时△ABC为直角三角形，则
由勾股定理得b＝＝＝；
当A＝时，B＝，此时b＝c＝.
已知两边及其中一边的对角解三角形的思路
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；
(3)如果已知的角为小边所对的角，不能判断另一边所对的角为锐角时，这时要根据正弦值分类讨论．
在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C等于( )
A． B．
C． D．±
解析：选B.由正弦定理，得＝，
即＝，解得sin C＝，
因为AB所以cos C＝＝.
考点一 判断三角形的形状
已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若a cosB＝b cos A，则△ABC一定是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【解析】 方法一：由正弦定理得a cos B＝b cos A sin A cos B＝sin B cos A sin (A－B)＝0.由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形．
方法二：由余弦定理得
a·＝b·，
整理得2a2＝2b2，因为a>0，b>0，得a＝b，所以△ABC为等腰三角形．
【答案】 A
判断三角形形状的两种途径
[提醒] 在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc，若sin B sin C＝sin2A，则△ABC是( )
A．等腰且非等边三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C.根据正弦定理可知sinB sin C＝sin2A bc＝a2，所以b2＋c2＝a2＋bc＝2bc (b－c)2＝0，所以b＝c，又因为bc＝a2，所以a＝b＝c.即△ABC是等边三角形．故选C.
考点二 正弦、余弦定理的综合应用
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A＝a cos B.
(1)求B的大小；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．
【解】 (1)因为b sin A＝a cos B，
所以由正弦定理，得sin B sin A＝sin A cos B.
在△ABC中，sin A≠0，
即得tan B＝，所以B＝.
(2)因为sin C＝2sin A，
所以由正弦定理，得c＝2a，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，
即9＝a2＋4a2－2a·2a cos ，
解得a＝，所以c＝2a＝2.
利用正弦、余弦定理解三角形的注意点
正、余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键．
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a sin A＋c sin C－a sin C＝b sin B.
(1)求B的大小；
(2)若A＝75°，b＝2，求a的值．
解：(1)由正弦定理，得a2＋c2－ac＝b2.
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B．
故cos B＝，又0°(2)sin A＝sin (30°＋45°)
＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝.
故由正弦定理，得a＝b·＝1＋.
1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.下列等式正确的是( )
A．a∶b＝A∶B B．a∶b＝sin A∶sin B
C．a∶b＝sin B∶sin A D．a sin A＝b sin B
解析：选B.由正弦定理＝可得a∶b＝sin A∶sin B，可知B正确．
2．一个三角形中的两个角分别等于120°和45°，若45°角所对的边长是4，那么120°角所对的边长是( )
A．4 B．12
C．4 D．12
解析：选D.设120°角所对的边长为x，则由正弦定理，可得＝，得x＝＝＝12，故选D.
3．(多选)在△ABC中，若a＝2b sin A，则B等于( )
A． B．
C． D．
解析：选AC.由正弦定理，得sin A＝2sin B sin A，
所以sin A·(2sin B－)＝0.
因为0所以sin A≠0，sin B＝，
所以B＝或B＝.
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝6，c＝6，C＝30°，求a.
解：由正弦定理，得＝，
得sin B＝＝.
因为b>c，所以B>C＝30°，
所以B＝60°或B＝120°.
当B＝60°时，A＝90°，a＝＝＝12.
当B＝120°时，A＝30°，a＝＝＝6.
所以a＝6或a＝12.
[A 基础达标]
1．在△ABC中，a＝2，b＝3，则＝( )
A． B．
C． D．3
解析：选B.由正弦定理，得＝，故＝＝.
2．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，则角B的大小为( )
A． B．
C． D．
解析：选B.由正弦定理，得＝及＝，可得sin B＝cos B．又03．在△ABC中，已知AB＝AC，B＝30°，则C＝( )
A．45°
B．15°
C．45°或135°
D．15°或105°
解析：选C.因为AB＝AC，由正弦定理得＝，
又因为B＝30°，所以sin C＝，
又因为AB>AC，所以C＝45°或C＝135°.
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，sin (A＋B)＝，sin A＝，则c＝( )
A．4 B．3
C． D．
解析：选C.sin C＝sin (A＋B)＝.由正弦定理得c＝·sin C＝×＝.故选C.
5．在△ABC中，若a＝b sin A，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：选B.由题意及正弦定理可知，＝b＝，则sin B＝1，又B∈(0，π)，故B为直角，△ABC是直角三角形．
6．(多选)根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是( )
A．a＝8，b＝16，A＝30°，有一解
B．b＝18，c＝20，B＝60°，有两解
C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解
D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
解析：选ABD.A中，因为＝，所以sin B＝＝1，
所以B＝90°，即只有一解；
B中，因为sin C＝＝，且c>b，
所以C>B，故有两解；
C中，因为A＝90°，a＝5，c＝2，
所以b＝＝＝，有解；
D中，因为＝，
所以sin B＝＝，又b所以角B只有一解．
7．在△ABC中，cos A＝，a＝4，b＝4，则B＝________．
解析：由cos A＝，得sin A＝，A＝60°，由正弦定理得sin B＝＝.因为三角形的内角和为180°，且a＞b，所以B＝45°.
答案：45°
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2a sin C＝c，则A＝________．
解析：设△ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理，得2×2R sin A sin C＝×2R sin C，因此sin A＝，又因为0°答案：45°或135°
9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c＝________．
解析：在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶1∶4，所以内角A，B，C分别为30°，30°，120°，所以a∶b∶c＝sin 30°∶sin 30°∶sin 120°＝1∶1∶.
答案：1∶1∶
10．在△ABC中，已知a＝10，B＝75°，C＝60°，试求c及△ABC的外接圆半径R.
解：因为A＋B＋C＝180°，
所以A＝180°－75°－60°＝45°.
由正弦定理，得＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)，
所以c＝＝＝5，
所以2R＝＝＝10，所以R＝5.
[B 能力提升]
11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c－a cos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
解析：选D.已知c－a cos B＝(2a－b)cos A，
由正弦定理得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，
所以sin (A＋B)－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A.
化简得cos A(sin B－sin A)＝0，
所以cos A＝0或sin B－sin A＝0，则A＝90°或A＝B.
12．(多选)下列说法中正确的是( )
A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则A＝B
C．在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B；若A>B，则sin A>sin B
D．在△ABC中，＝
解析：选ACD.对于A，由正弦定理＝＝＝2R，可得a∶b∶c＝2R sin A∶2R sin B∶2R sin C＝sin A∶sin B∶sin C，故A正确；
对于B，由sin 2A＝sin 2B，可得A＝B或2A＋2B＝π，
即A＝B或A＋B＝，故B错误；
对于C，在△ABC中，由正弦定理可得，sin A>sin B a>b A>B，因此A>B是sin A>sin B的充要条件，故C正确；
对于D，由正弦定理＝＝＝2R，
可得右边＝＝＝2R＝＝左边，故D正确．
13．在△ABC中，sin B＝2sin A，a＋c＝3，且cos C＝，则a＝________．
解析：因为sin B＝2sin A，所以b＝2a，
又a＋c＝3，所以c＝3－a，
所以由余弦定理得
cos C＝＝＝，
整理，得a2＋2a－3＝0，解得a＝1(a＝－3舍去).
答案：1
14．已知△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos C＋c＝b.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝1，b＝，求c的值．
解：(1)由a cos C＋c＝b，
得sin A cos C＋sin C＝sin B.
因为sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos Asin C，
所以sin C＝cos A sin C.
因为sin C≠0，所以cos A＝.
因为0(2)由正弦定理，得sin B＝＝.
又b>a，所以B>A，所以B＝或B＝.
①当B＝时，由A＝，得C＝，
所以c＝＝2.
②当B＝时，由A＝，得C＝.
所以c＝a＝1.综上可得c＝1或c＝2.
[C 拓展冲刺]
15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin A sin B cos C＝sin2C，则＝________，角C的最大值为________．
解析：因为2sinA sin B cos C＝sin2C，
所以2ab cosC＝c2 a2＋b2－c2＝c2 ＝2，
所以cos C＝＝≥，当且仅当a＝b时取等号．因为0答案：2
16．在①ac＝，②c sin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C＝，________？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：方案一：选条件①.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c.
由①ac＝，解得a＝，b＝c＝1.
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.
方案二：选条件②.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c，
则B＝C＝，A＝.
由②c sin A＝3，所以c＝b＝2，a＝6.
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2.
方案三：选条件③.
由C＝和余弦定理得＝.
由sin A＝sin B及正弦定理得a＝b.
于是＝，由此可得b＝c.
由③c＝b与b＝c矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．
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第2课时 正弦定理
知识点 正弦定理
文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
符号语言 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则＝＝
(1)正弦定理的特点
①适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．
②表达形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．
(2)正弦定理的变形
①a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A；
②sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；
③a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；
④sin A＝，sin B＝，sin C＝；
⑤＝2R.
[提醒] R为△ABC外接圆的半径．
角度1 已知两角及一边解三角形
在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形．
已知两角及一边解三角形的一般步骤
1．在△ABC中，A＝45°，B＝30°，a＝10，则b＝( )
A．5 B．10
C．10 D．5
2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b的值．
角度2 已知两边及其中一边的对角解三角形
在△ABC中，已知a＝2，c＝，C＝，解三角形．
1．(变条件)若本例条件“c＝”改为“c＝”，其他条件不变，解三角形．
2．(变条件)若本例条件“c＝，C＝”改为“c＝，C＝”，其他条件不变，解三角形．
已知两边及其中一边的对角解三角形的思路
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；
(3)如果已知的角为小边所对的角，不能判断另一边所对的角为锐角时，这时要根据正弦值分类讨论．
在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C等于( )
A． B．
C． D．±
考点一 判断三角形的形状
已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若a cosB＝b cos A，则△ABC一定是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
判断三角形形状的两种途径
[提醒] 在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc，若sin B sin C＝sin2A，则△ABC是( )
A．等腰且非等边三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
考点二 正弦、余弦定理的综合应用
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A＝a cos B.
(1)求B的大小；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．
利用正弦、余弦定理解三角形的注意点
正、余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键．
设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a sin A＋c sin C－a sin C＝b sin B.
(1)求B的大小；
(2)若A＝75°，b＝2，求a的值．
1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.下列等式正确的是( )
A．a∶b＝A∶B B．a∶b＝sin A∶sin B
C．a∶b＝sin B∶sin A D．a sin A＝b sin B
2．一个三角形中的两个角分别等于120°和45°，若45°角所对的边长是4，那么120°角所对的边长是( )
A．4 B．12
C．4 D．12
3．(多选)在△ABC中，若a＝2b sin A，则B等于( )
A． B．
C． D．
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝6，c＝6，C＝30°，求a.
[A 基础达标]
1．在△ABC中，a＝2，b＝3，则＝( )
A． B．
C． D．3
2．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，则角B的大小为( )
A． B．
C． D．
3．在△ABC中，已知AB＝AC，B＝30°，则C＝( )
A．45°
B．15°
C．45°或135°
D．15°或105°
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，sin (A＋B)＝，sin A＝，则c＝( )
A．4 B．3
C． D．
5．在△ABC中，若a＝b sin A，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
6．(多选)根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是( )
A．a＝8，b＝16，A＝30°，有一解
B．b＝18，c＝20，B＝60°，有两解
C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解
D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
7．在△ABC中，cos A＝，a＝4，b＝4，则B＝________．
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2a sin C＝c，则A＝________．
9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c＝________．
10．在△ABC中，已知a＝10，B＝75°，C＝60°，试求c及△ABC的外接圆半径R.
[B 能力提升]
11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c－a cos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
12．(多选)下列说法中正确的是( )
A．在△ABC中，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B．在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则A＝B
C．在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B；若A>B，则sin A>sin B
D．在△ABC中，＝
13．在△ABC中，sin B＝2sin A，a＋c＝3，且cos C＝，则a＝________．
14．已知△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos C＋c＝b.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝1，b＝，求c的值．
[C 拓展冲刺]
15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2sin A sin B cos C＝sin2C，则＝________，角C的最大值为________．
16．在①ac＝，②c sin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C＝，________？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
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