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第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例
知识点 实际问题中的名词、术语
1．基线的概念与选取原则
(1)基线：根据测量的需要而确定的线段叫做基线．
(2)选取原则：为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．
2．测量中相关角的概念
(1)仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示．
(2)方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图①所示).
(3)方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如北偏西30°，南偏东45°(此时也称为东南方向，如图②所示).
(1)仰角与俯角是指目标视线与水平视线的夹角，水平视线易与铅垂线混淆．
(2)方位角中的顺时针易错记为逆时针．
1．两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在C的北偏东30°方向，B在C的南偏东60°方向，则A，B之间的距离为( )
A．a km B．a km
C．a km D．2a km
2．如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山脚A处测得AC＝60 m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为________m.
考点一 距离问题
海上A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛间的距离是________ n mile.
(变条件)在本例中，将“从B岛望C岛和A岛成75°的视角”改为“A，C两岛相距20 n mile”，其他条件不变，求B岛与C岛间的距离．
求距离问题时的注意点
(1)选定或确定所求量所在的三角形．若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定的三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
1．A，B两地之间隔着一个山岗，如图，现选择另一点C，测得CA＝7 km，CB＝5 km，C＝60°，则A，B两点之间的距离为________km.
2．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是________m.
考点二 高度问题
如图，
为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个点C和D，测得CD＝200 m，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，求塔高AB.
测量高度问题的解题思路
(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．
(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．
为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王沿与河岸平行的方向向前走了1 200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，求电视塔CD的高度．
考点三 角度问题
某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出求救信号，如图，我海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以10海里/时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间．
测量角度问题的解题思路
甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？
1．如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向上，灯塔B在观察站南偏东60°方向上，则灯塔A在灯塔B的( )
A.北偏东10°方向上 B．北偏西10°方向上
C．南偏东80°方向上 D．南偏西80°方向上
2．轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A的航行速度是25海里/时，轮船B的航行速度是15海里/时，下午2时两船之间的距离是( )
A．35海里 B．35 海里
C．35 海里 D．70海里
3．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，求塔AB的高．
[A 基础达标]
1．学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，A＝30°，则其跨度AB的长为( )
A．12 m B．8 m
C．3 m D．4 m
2．若点A在点C的北偏东30°方向上，点B在点C的南偏东60°方向上，且AC＝BC，则点A在点B的( )
A．北偏东15°方向上
B．北偏西15°方向上
C．北偏东10°方向上
D．北偏西10°方向上
3．从高出海平面h米的小岛上看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为( )
A．2 h米 B． h米
C．h米 D．2h米
4．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔．海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
A．10海里 B．10海里
C．20海里 D．20海里
5．一只船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°距灯塔64海里的M处，下午2时到达这座灯塔东南方向的N处，则这只船航行的速度为(单位：海里/时)( )
A．32 B．8
C．32 D．8
6．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲楼高______米，乙楼高________米．
7．如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距10海里的C处，现甲船以30海里/时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向20海里的B处的乙船，甲船需要______小时到达B处．
8．一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°方向上，行使4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°方向上，这时船与灯塔间的距离为________km.
9．地图测绘人员在点A测得某一目标参照物P在他的北偏东30°的方向，且距离为40 m，之后该测绘人员沿正北方向行走了40 m，达到点B.试确定此时目标参照物P在他北偏东的度数以及他与目标参照物P的距离．
[B 能力提升]
10．如图，某建筑物的高度BC＝300 m，一架无人机Q(无人机的大小忽略不计)上的仪器观测到建筑物顶部C的仰角为15°，地面某处A的俯角为45°，且∠BAC＝60°，则此无人机距离地面的高度PQ为( )
A．100 m B．200 m
C．300 m D．400 m
11．某船在A处测得灯塔D在其南偏东60°方向上，该船继续向正南方向行驶5海里到B处，测得灯塔在其北偏东60°方向上，然后该船向东偏南30°方向行驶2海里到C处，此时船到灯塔D的距离为( )
A． 海里 B． 海里
C．6海里 D．5海里
12．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中指出：“凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差．”也就是说目标“极高”“绝深”等不能靠近进行测量时，必须用两次(或两次以上)测量的方法加以实现，为测量某山的高度，在A，B测得的数据如图所示(单位：m)，则A到山顶的距离AM＝________m.
13．海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为12 n mile；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为8 n mine；货轮向正北由A处航行到D处，此时看灯塔B，在货轮南偏东60°.求：
(1)A处与D处之间的距离；
(2)灯塔C与D处之间的距离．
[C 拓展冲刺]
14．疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的设计如图所示，PQ为路面，AB为消毒设备的高，BC为喷杆，AB⊥PQ，∠ABC＝，C处是喷洒消毒水的喷头，且喷射角∠DCE＝. 已知AB＝2，BC＝1.
(1)当D，A重合时，求消毒水喷洒在路面上的宽度DE；
(2)求消毒水喷洒在路面上的宽度DE的最小值．
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第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例
知识点 实际问题中的名词、术语
1．基线的概念与选取原则
(1)基线：根据测量的需要而确定的线段叫做基线．
(2)选取原则：为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．
2．测量中相关角的概念
(1)仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示．
(2)方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图①所示).
(3)方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如北偏西30°，南偏东45°(此时也称为东南方向，如图②所示).
(1)仰角与俯角是指目标视线与水平视线的夹角，水平视线易与铅垂线混淆．
(2)方位角中的顺时针易错记为逆时针．
1．两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在C的北偏东30°方向，B在C的南偏东60°方向，则A，B之间的距离为( )
A．a km B．a km
C．a km D．2a km
解析：选A.由题意知，在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，所以AB＝a.
2．如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山脚A处测得AC＝60 m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为________m.
解析：由题图可得B＝45°，∠BAC＝30°，
故BC＝＝＝30(m).
答案：30
考点一 距离问题
海上A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛间的距离是________ n mile.
【解析】
如图，在△ABC中，C＝180°－(B＋A)＝45°，
由正弦定理，可得＝，
所以BC＝×10＝5(n mile).
【答案】 5
(变条件)在本例中，将“从B岛望C岛和A岛成75°的视角”改为“A，C两岛相距20 n mile”，其他条件不变，求B岛与C岛间的距离．
解：由已知，在△ABC中，AB＝10 n mile，AC＝20 n mile，∠BAC＝60°，由余弦定理可得，
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 60°＝102＋202－2×10×20×＝300.故BC＝10 n mile.
即B岛与C岛间的距离为10 n mile.
求距离问题时的注意点
(1)选定或确定所求量所在的三角形．若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定的三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
1．A，B两地之间隔着一个山岗，如图，现选择另一点C，测得CA＝7 km，CB＝5 km，C＝60°，则A，B两点之间的距离为________km.
解析：由余弦定理，得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cos C＝72＋52－2×7×5×＝39.
所以AB＝.
答案：
2．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是________m.
解析：tan 30°＝，tan 75°＝，
又AD＋DB＝120，
所以AD·tan 30°＝(120－AD)·tan 75°，
所以AD＝60，故CD＝60.即河的宽度是60 m.
答案：60
考点二 高度问题
如图，
为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个点C和D，测得CD＝200 m，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，求塔高AB.
【解】 在Rt△ABC中，∠ACB＝45°.
设AB＝h，则BC＝h，
在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，所以BD＝h.
在△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝200 m，
由余弦定理可得40 000＝h2＋3h2－2h·h·，
所以h＝200，所以塔高AB＝200 m．
测量高度问题的解题思路
(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．
(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．
为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王沿与河岸平行的方向向前走了1 200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，求电视塔CD的高度．
解：在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°，由正弦定理得＝，即＝，解得AC＝600(m).
在△ACD中，因为tan ∠DAC＝＝，
所以CD＝600×＝600(m).
即电视塔CD的高度为600 m．
考点三 角度问题
某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出求救信号，如图，我海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里/时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以10海里/时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间．
【解】 设所需时间为t小时，在△ABC中，根据余弦定理，有AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC cos 120°，可得(10t)2＝102＋(10t)2－2×10×10t×cos 120°，
整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－(舍去).
故护航舰靠近货船需1小时．
此时AB＝10，BC＝10，
又AC＝10，所以∠CAB＝30°，
所以护航舰航行的方位角为75°.
测量角度问题的解题思路
甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？
解：如图所示．设经过t小时两船在C点相遇，
则在△ABC中，BC＝at(海里)，AC＝at(海里)，
B＝180°－60°＝120°.
由＝，
得sin ∠CAB＝＝＝＝.
因为0°＜∠CAB＜60°，所以∠CAB＝30°，
所以∠DAC＝60°－30°＝30°，
所以甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．
1．如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向上，灯塔B在观察站南偏东60°方向上，则灯塔A在灯塔B的( )
A.北偏东10°方向上 B．北偏西10°方向上
C．南偏东80°方向上 D．南偏西80°方向上
解析：选D.由条件及题图可知，∠BAC＝∠ABC＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°方向上．故选D.
2．轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A的航行速度是25海里/时，轮船B的航行速度是15海里/时，下午2时两船之间的距离是( )
A．35海里 B．35 海里
C．35 海里 D．70海里
解析：选D.由题可知C＝120°，AC＝50，BC＝30，由余弦定理得AB2＝302＋502－2×50×30×＝4 900，所以AB＝70.
3．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，求塔AB的高．
解：在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，
由正弦定理，得＝，
故BC＝＝10(m).
在Rt△ABC中，tan 60°＝，
故AB＝BC×tan 60°＝10(m).
所以塔AB的高为10 m．
[A 基础达标]
1．学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，A＝30°，则其跨度AB的长为( )
A．12 m B．8 m
C．3 m D．4 m
解析：选D.由题意知，A＝B＝30°，所以C＝180°－30°－30°＝120°，由正弦定理得＝，即AB＝＝＝4(m).故选D.
2．若点A在点C的北偏东30°方向上，点B在点C的南偏东60°方向上，且AC＝BC，则点A在点B的( )
A．北偏东15°方向上
B．北偏西15°方向上
C．北偏东10°方向上
D．北偏西10°方向上
解析：选B.如图所示，∠ACB＝90°，
又因为AC＝BC，
所以∠CBA＝45°.
因为β＝30°，
所以α＝90°－45°－30°＝15°.
所以点A在点B的北偏西15°方向上．
3．从高出海平面h米的小岛上看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为( )
A．2 h米 B． h米
C．h米 D．2h米
解析：选A.如图所示，BC＝h，
AC＝h，所以AB＝＝2h.
即此时两船间的距离为2h米．
4．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔．海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
A．10海里 B．10海里
C．20海里 D．20海里
解析：选A.如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，
解得BC＝10(海里).
5．一只船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°距灯塔64海里的M处，下午2时到达这座灯塔东南方向的N处，则这只船航行的速度为(单位：海里/时)( )
A．32 B．8
C．32 D．8
解析：选B.如图，由题意知∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠PNM＝45°.
在△PMN中，由正弦定理得MN＝64×＝32.
又由M到N所用时间为14－10＝4(小时)，
故船的航行速度v＝8海里/时．
6．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲楼高______米，乙楼高________米．
解析：甲楼的高为20tan 60°＝20×＝20(米)，
乙楼的高为20－20tan 30°＝20－20×＝(米).
答案：20
7．如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距10海里的C处，现甲船以30海里/时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向20海里的B处的乙船，甲船需要______小时到达B处．
解析：在△BOC中，OC＝10，OB＝20，∠BOC＝120°，
所以由余弦定理得
BC＝＝10，
所以甲船用时t＝＝(小时).
答案：
8．一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°方向上，行使4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°方向上，这时船与灯塔间的距离为________km.
解析：如图所示，在△ABC中，
∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，
则∠ABC＝45°，
AC＝60(km)，根据正弦定理，得BC＝＝＝30(km).
答案：30
9．地图测绘人员在点A测得某一目标参照物P在他的北偏东30°的方向，且距离为40 m，之后该测绘人员沿正北方向行走了40 m，达到点B.试确定此时目标参照物P在他北偏东的度数以及他与目标参照物P的距离．
解：如图，在△PAB中，∠PAB＝30°，PA＝40 m，AB＝40 m.
由余弦定理，得PB＝
＝
＝40(m).
因为AB＝40 m，所以AB＝PB，所以∠APB＝∠PAB＝30°，所以∠PBA＝120°.因此测绘人员到达点B时，目标参照物P在他的北偏东60°方向上，且目标参照物P与他的距离为40 m．
[B 能力提升]
10．如图，某建筑物的高度BC＝300 m，一架无人机Q(无人机的大小忽略不计)上的仪器观测到建筑物顶部C的仰角为15°，地面某处A的俯角为45°，且∠BAC＝60°，则此无人机距离地面的高度PQ为( )
A．100 m B．200 m
C．300 m D．400 m
解析：选B. 在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，BC＝300，所以AC＝＝＝200.在△ACQ中，∠AQC＝45°＋15°＝60°，∠QAC＝180°－45°－60°＝75°，所以∠QCA＝180°－∠AQC－∠QAC＝45°.由正弦定理，得＝，得AQ＝＝200.在Rt△APQ中，PQ＝AQ sin 45°＝200×＝200，故此无人机距离地面的高度为200 m．故选B.
11．某船在A处测得灯塔D在其南偏东60°方向上，该船继续向正南方向行驶5海里到B处，测得灯塔在其北偏东60°方向上，然后该船向东偏南30°方向行驶2海里到C处，此时船到灯塔D的距离为( )
A． 海里 B． 海里
C．6海里 D．5海里
解析：选A.根据题意可画图形，如图所示．
因为∠BAD＝60°，AB＝5，∠ABD＝60°，
所以△ABD为一个等边三角形，即AB＝BD＝5.
在△BCD中，∠DBC＝60°且BC＝2，
由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos ∠DBC＝25＋4－2×5×2×＝19，则CD＝.所以此时船到灯塔D的距离为海里．故选A.
12．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中指出：“凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差．”也就是说目标“极高”“绝深”等不能靠近进行测量时，必须用两次(或两次以上)测量的方法加以实现，为测量某山的高度，在A，B测得的数据如图所示(单位：m)，则A到山顶的距离AM＝________m.
解析：由题图知∠MBN＝45°，
所以∠MBA＝135°，∠AMB＝15°.
在△ABM中，由正弦定理可知＝，
即＝，
即AM＝100(＋1)m.
答案：100(＋1)
13．海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75°，距离为12 n mile；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30°，距离为8 n mine；货轮向正北由A处航行到D处，此时看灯塔B，在货轮南偏东60°.求：
(1)A处与D处之间的距离；
(2)灯塔C与D处之间的距离．
解：由题意，画出示意图，如图所示，(1)在△ABD中，由已知得∠ADB＝60°，∠DAB＝75°，则B＝45°.
由正弦定理，得AD＝
＝24(n mile).
故A处与D处之间的距离为24 n mile.
(2)在△ADC中，由余弦定理，得
CD2＝AD2＋AC2－2AD×AC cos 30°
＝242＋(8)2－2×24×8×
＝(8)2，所以CD＝8(n mile).
故灯塔C与D处之间的距离为8 n mile.
[C 拓展冲刺]
14．疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的设计如图所示，PQ为路面，AB为消毒设备的高，BC为喷杆，AB⊥PQ，∠ABC＝，C处是喷洒消毒水的喷头，且喷射角∠DCE＝. 已知AB＝2，BC＝1.
(1)当D，A重合时，求消毒水喷洒在路面上的宽度DE；
(2)求消毒水喷洒在路面上的宽度DE的最小值．
解：(1)依题意及余弦定理得CD＝AC＝
＝，
cos ∠BDC＝＝，
因为∠BDC＋∠CDE＝，
所以sin ∠CDE＝cos ∠BDC＝，
因为∠CDE∈，
所以cos ∠CDE＝.
因为∠DCE＝，
所以sin ∠CED＝sin
＝cos ∠CDE＋sin ∠CDE＝.
在△CDE中，由正弦定理得
DE＝·sin ∠DCE＝.
(2)设△CDE的高为h，
则h＝2＋1×sin ＝，
又S△CDE＝DE·h＝CD·CE sin ，
所以5DE＝CD·CE，
在△CDE中，由余弦定理，得
DE2＝CD2＋CE2－2CD·CE cos ≥2CD·CE－CD·CE＝CD·CE，
当且仅当CD＝CE时，等号成立，
故DE2≥CD·CE，
而5DE＝CD·CE，
所以DE≥，故DE的最小值为.
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第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例
第六章 平面向量及其应用
01
必备知识 落实
知识点 实际问题中的名词、术语
1．基线的概念与选取原则
(1)基线：根据测量的需要而确定的线段叫做基线．
(2)选取原则：为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．
2．测量中相关角的概念
(1)仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示．
(2)方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图①所示).
(3)方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如北偏西30°，南偏东45°(此时也称为东南方向，如图②所示).
(1)仰角与俯角是指目标视线与水平视线的夹角，水平视线易与铅垂线混淆．
(2)方位角中的顺时针易错记为逆时针．
√
02
关键能力 提升
求距离问题时的注意点
(1)选定或确定所求量所在的三角形．若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定的三角形中求解．
(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
60
考点二 高度问题
如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个点C和D，测得CD＝200 m，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，求塔高AB.
测量高度问题的解题思路
(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．
(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．
为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王沿与河岸平行的方向向前走了1 200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，求电视塔CD的高度．
测量角度问题的解题思路
03
课堂巩固 自测
√
1．如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向上，灯塔B在观察站南偏东60°方向上，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10°方向上 B．北偏西10°方向上
C．南偏东80°方向上 D．南偏西80°方向上
解析：由条件及题图可知，∠BAC＝∠ABC＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°方向上．故选D.
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3．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，求塔AB的高．
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04
课后达标 检测
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2．若点A在点C的北偏东30°方向上，点B在点C的南偏东60°方向上，且AC＝BC，则点A在点B的( )
A．北偏东15°方向上
B．北偏西15°方向上
C．北偏东10°方向上
D．北偏西10°方向上
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解析：如图所示，∠ACB＝90°，
又因为AC＝BC，
所以∠CBA＝45°.
因为β＝30°，
所以α＝90°－45°－30°＝15°.
所以点A在点B的北偏西15°方向上．
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[B 能力提升]
10．如图，某建筑物的高度BC＝300 m，一架无人机Q(无人机的大小忽略不计)上的仪器观测到建筑物顶部C的仰角为15°，地面某处A的俯角为45°，且∠BAC＝60°，则此无人机距离地面的高度PQ为( )
A．100 m B．200 m
C．300 m D．400 m
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12．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中指出：“凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差．”也就是说目标“极高”“绝深”等不能靠近进行测量时，必须用两次(或两次以上)测量的方法加以实现，为测量某山的高度，在A，B测得的数据如图所示(单位：m)，则A到山顶的距离AM＝____________m.
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