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6．2.2 向量的减法运算
学习指导 核心素养
借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的减法运算及运算法则，理解向量减法的几何意义． 1.数学抽象：相反向量的概念及向量减法的概念的理解． 2．直观想象：向量减法的几何意义．
知识点一 相反向量
定义 与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a
规定 零向量的相反向量仍是零向量
结论 a和－a互为相反向量，于是－(－a)＝a
a＋(－a)＝(－a)＋a＝0
如果a，b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0
相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)相反向量就是方向相反的向量．( )
(2)向量与是相反向量．( )
(3)相反向量是共线向量．( )
2．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，下列互为相反向量的是( )
A.与 B．与
C.与 D．与
知识点二 向量的减法
定义 求两个向量差的运算，a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量
作法 已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b.如图所示
几何意义 如果把两个向量a，b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量
(1)两个向量的差仍是一个向量．
(2)向量的减法可以转化为向量的加法，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
化简下列各式：
(1)(＋)＋(－－)；
(2)－－.
(1)向量减法运算的常用方法
(2)向量加减法化简的两种形式
①首尾相连且为和；
②起点相同且为差．
解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．
1．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则－等于( )
A． B．
C． D．
2．化简(－)－(－)的结果为________．
考点一 向量减法及其几何意义
如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
关于向量的减法
(1)作两向量的差向量的步骤：
(2)求两个向量的减法可以通过转化为向量的加法来进行运算，如a－b，可以先作－b，然后用加法a＋(－b)即可．
如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.
考点二 用已知向量表示其他向量
如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，.
用向量表示其他向量的方法
(1)解决此类问题要搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．
(2)主要应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题，在封闭图形中可利用向量加法的多边形法则，提升逻辑推理素养．
在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝( )
A.a－b＋c B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c D．b－a＋c
考点三 向量减法几何意义的应用
已知||＝6，||＝9，求|－|的取值范围．
使用向量形式的三角不等式的注意点
当向量a，b不共线时，向量a，b分别与向量a＋b，a－b构成三角形，由“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”可以得到||a|－|b||<|a±b|<|a|＋|b|.
若向量a与b满足|a|＝5，|b|＝12，则|a＋b|的最小值为________，|a－b|的最大值为________．
1.在△ABC中，D是BC边上的一点，则－＝( )
A． B．
C． D．
2．化简－＋＋＝( )
A． B．
C． D．
3．(多选)下列式子可以化简为的是( )
A．＋－
B．－
C．＋
D．－
4．若菱形ABCD的边长为2，求|－＋|的值．
[A 基础达标]
1．若O，A，B是平面上不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
A．＝＋ B．＝－
C．＝－＋ D．＝－－
2．在边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为( )
A．1 B．2
C． D．
3．已知在四边形ABCD中，－＝－，则四边形ABCD一定是( )
A．平行四边形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
4．(多选)下列结果恒为零向量的是( )
A．－(＋) B．－＋－
C．－＋ D．＋＋－
5．(多选)对于菱形ABCD，下列各式正确的是( )
A．＝
B．||＝||
C．|－|＝|＋|
D．|＋|＝|－|
6．在梯形ABCD中，AB∥DC，AC与BD交于点O，则－＋－＋＝________．
7．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________．
8．已知 ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，则＝________，＝________．(用a，b表示)
9．化简下列向量的表达式：
(1)－＋－；
(2)(－)＋(－).
[B 能力提升]
10．已知O是平面上一点，＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则下列等式一定正确的是( )
A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b＋c－d＝0
C．a＋b－c－d＝0 D．a－b－c＋d＝0
11．(多选)已知a，b为非零向量，则下列命题中正确的是( )
A．若|a|＋|b|＝|a＋b|，则a与b方向相同
B．若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反
C.若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b有相等的模
D．若||a|－|b||＝|a－b|，则a与b方向相同
12．已知＝a，＝b，若||＝12，||＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________．
13.
如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量：
(1)；(2)；
(3)－；(4)＋；
(5)－.
[C 拓展冲刺]
14．(多选)下列结论正确的是( )
A．若线段AC＝AB＋BC，则向量＝＋
B．若向量＝＋，则线段AC＝AB＋BC
C．若向量与共线，则线段AC＝AB＋BC
D．若向量与反向共线，则|－|＝AB＋BC
15．如图，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作：
(1)b＋c－a；
(2)a－b－c.
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6．2.2 向量的减法运算
学习指导 核心素养
借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的减法运算及运算法则，理解向量减法的几何意义． 1.数学抽象：相反向量的概念及向量减法的概念的理解． 2．直观想象：向量减法的几何意义．
知识点一 相反向量
定义 与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a
规定 零向量的相反向量仍是零向量
结论 a和－a互为相反向量，于是－(－a)＝a
a＋(－a)＝(－a)＋a＝0
如果a，b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0
相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)相反向量就是方向相反的向量．( )
(2)向量与是相反向量．( )
(3)相反向量是共线向量．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
2．如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，下列互为相反向量的是( )
A.与 B．与
C.与 D．与
解析：选C.向量与的模相等，方向相反，互为相反向量．
知识点二 向量的减法
定义 求两个向量差的运算，a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量
作法 已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b.如图所示
几何意义 如果把两个向量a，b的起点放在一起，则a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量
(1)两个向量的差仍是一个向量．
(2)向量的减法可以转化为向量的加法，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
化简下列各式：
(1)(＋)＋(－－)；
(2)－－.
【解】 (1)方法一：原式＝＋＋＋
＝(＋)＋(＋)
＝＋＝.
方法二：原式＝＋＋＋
＝＋(＋)＋
＝＋＋＝＋0
.
(2)方法一：原式＝－＝.
方法二：原式＝－(＋)
＝－＝.
(1)向量减法运算的常用方法
(2)向量加减法化简的两种形式
①首尾相连且为和；
②起点相同且为差．
解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．
1．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则－等于( )
A． B．
C． D．
解析：选D.－＝－＝＝.
2．化简(－)－(－)的结果为________．
解析：原式＝－－＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝0.
答案：0
考点一 向量减法及其几何意义
如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
【解】 方法一：如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，
则＝a＋b－c.
方法二：如图②，在平面内任取一点O，
作＝a，＝b，
则＝a＋b，
再作＝c，连接OC，
则＝a＋b－c.
关于向量的减法
(1)作两向量的差向量的步骤：
(2)求两个向量的减法可以通过转化为向量的加法来进行运算，如a－b，可以先作－b，然后用加法a＋(－b)即可．
如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.
解：如图，在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，则向量＝a－b，再作向量＝c，
则向量＝a－b－c.
考点二 用已知向量表示其他向量
如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，.
【解】 因为四边形ACDE是平行四边形，
所以＝＝c，＝－＝b－a.
故＝＋＝b－a＋c.
用向量表示其他向量的方法
(1)解决此类问题要搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．
(2)主要应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题，在封闭图形中可利用向量加法的多边形法则，提升逻辑推理素养．
在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则＝( )
A.a－b＋c B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c D．b－a＋c
解析：选A.＝－＝＋－＝a＋c－b＝a－b＋c.
考点三 向量减法几何意义的应用
已知||＝6，||＝9，求|－|的取值范围．
【解】 因为|||－|||≤|－|≤||＋||，
且||＝9，||＝6，
所以3≤|－|≤15.
当与同向时，|－|＝3；
当与反向时，|－|＝15；
所以|－|的取值范围为[3，15].
使用向量形式的三角不等式的注意点
当向量a，b不共线时，向量a，b分别与向量a＋b，a－b构成三角形，由“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”可以得到||a|－|b||<|a±b|<|a|＋|b|.
若向量a与b满足|a|＝5，|b|＝12，则|a＋b|的最小值为________，|a－b|的最大值为________．
解析：由向量形式的三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|可知，当这两个向量方向相反时，|a＋b|取得最小值7，|a－b|取得最大值17.
答案：7 17
1.在△ABC中，D是BC边上的一点，则－＝( )
A． B．
C． D．
解析：选C.在△ABC中，D是BC边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得－＝.
2．化简－＋＋＝( )
A． B．
C． D．
解析：选B.原式＝(＋)＋(＋)＝＋0＝.
3．(多选)下列式子可以化简为的是( )
A．＋－
B．－
C．＋
D．－
解析：选AD.＋－＝－＝＋＝，－＝，故A，D选项正确．
4．若菱形ABCD的边长为2，求|－＋|的值．
解：|－＋|＝|＋＋|＝||＝2.
[A 基础达标]
1．若O，A，B是平面上不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
A．＝＋ B．＝－
C．＝－＋ D．＝－－
解析：选B.由向量的减法运算知＝－.故选B.
2．在边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为( )
A．1 B．2
C． D．
解析：选D.如图，作菱形ABCD，则|－|＝|－|＝||＝.故选D.
3．已知在四边形ABCD中，－＝－，则四边形ABCD一定是( )
A．平行四边形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
解析：选A.由－＝－，可得＝，
所以四边形ABCD一定是平行四边形．
4．(多选)下列结果恒为零向量的是( )
A．－(＋) B．－＋－
C．－＋ D．＋＋－
解析：选BCD.A项，－(＋)＝－＝＋；B项，－＋－＝＋＝0；C项，－＋＝＋＝0；D项，＋＋－＝＋＝0.
5．(多选)对于菱形ABCD，下列各式正确的是( )
A．＝
B．||＝||
C．|－|＝|＋|
D．|＋|＝|－|
解析：选BCD.由图(图略)可知向量与的方向是不同的，但它们的模是相等的，所以B正确，A错误；因为|－|＝|＋|＝2||，|＋|＝2||，且||＝||，所以|－|＝|＋|，即C正确；因为|＋|＝|＋|＝||，|－|＝||，所以D正确．故选BCD.
6．在梯形ABCD中，AB∥DC，AC与BD交于点O，则－＋－＋＝________．
解析：－＋－＋＝＋＋＋－＝＋＝0.
答案：0
7．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________．
解析：若a，b为相反向量，则a＋b＝0.所以|a＋b|＝0，又a＝－b，所以|a|＝|－b|＝1.因为a与－b同向共线，所以|a－b|＝2.
答案：0 2
8．已知 ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，则＝________，＝________．(用a，b表示)
解析：
如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b.
答案：b－a －a－b
9．化简下列向量的表达式：
(1)－＋－；
(2)(－)＋(－).
解：(1)－＋－＝＋－＝－＝.
(2)(－)＋(－)＝＋＋＋＝＋(＋＋)＝＋0＝.
[B 能力提升]
10．已知O是平面上一点，＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则下列等式一定正确的是( )
A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b＋c－d＝0
C．a＋b－c－d＝0 D．a－b－c＋d＝0
解析：选B.易知－＝，－＝，而在平行四边形ABCD中有＝，所以－＝－，即b－a＝c－d，也即a－b＋c－d＝0.故选B.
11．(多选)已知a，b为非零向量，则下列命题中正确的是( )
A．若|a|＋|b|＝|a＋b|，则a与b方向相同
B．若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反
C.若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b有相等的模
D．若||a|－|b||＝|a－b|，则a与b方向相同
解析：选ABD.当a，b方向相同时，有|a|＋|b|＝|a＋b|，||a|－|b||＝|a－b|；当a，b方向相反时，有||a|－|b||＝|a＋b|，|a|＋|b|＝|a－b|.
因此A，B，D正确．
12．已知＝a，＝b，若||＝12，||＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________．
解析：因为||＝12，||＝5，∠AOB＝90°，所以||2＋||2＝||2，所以||＝13.因为＝a，＝b，所以a－b＝－＝，所以|a－b|＝||＝13.
答案：13
13.
如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量：
(1)；(2)；
(3)－；(4)＋；
(5)－.
解：(1)＝－＝c－a.
(2)＝＋＝－＝d－a.
(3)－＝＝－＝d－b.
(4)＋＝－＋－＝b－a＋f－c.
(5)－＝－－(－)＝－＝f－d.
[C 拓展冲刺]
14．(多选)下列结论正确的是( )
A．若线段AC＝AB＋BC，则向量＝＋
B．若向量＝＋，则线段AC＝AB＋BC
C．若向量与共线，则线段AC＝AB＋BC
D．若向量与反向共线，则|－|＝AB＋BC
解析：选AD.由AC＝AB＋BC得点B在线段AC上，则＝＋，A正确．
在△ABC中，＝＋，但AC≠AB＋BC，B错误．
，反向共线时，||＝|＋|≠||＋||，也即AC≠AB＋BC，C错误．
，反向共线时，|－|＝|＋(－)|＝AB＋BC，D正确．
15．如图，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作：
(1)b＋c－a；
(2)a－b－c.
解：(1)如图所示，以，为邻边作 OBDC，连接OD，AD，
则＝＋＝b＋c，
所以b＋c－a＝－＝.
(2)由(1)知，＝b＋c，
则a－b－c＝－＝.
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6.2.2 向量的减法运算
第六章 平面向量及其应用
学习指导 核心素养
借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的减法运算及运算法则，理解向量减法的几何意义． 1.数学抽象：相反向量的概念及向量减法的概念的理解．
2．直观想象：向量减法的几何意义．
01
必备知识 落实
知识点一 相反向量
定义 与向量a长度_____，方向_____的向量，叫做a的相反向量，记作_____
规定 零向量的相反向量仍是零向量
结论 a和－a互为相反向量，于是－(－a)＝__
a＋(－a)＝(－a)＋a＝__
如果a，b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝__
相等
相反
－a
a
0
0
相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．
×
√
√
√
知识点二 向量的减法
差
相反向量
终点
终点
(1)两个向量的差仍是一个向量．
(2)向量的减法可以转化为向量的加法，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
(1)向量减法运算的常用方法
(2)向量加减法化简的两种形式
①首尾相连且为和；
②起点相同且为差．
解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．
√
0
02
关键能力 提升
关于向量的减法
(1)作两向量的差向量的步骤：
(2)求两个向量的减法可以通过转化为向量的加法来进行运算，如a－b，可以先作－b，然后用加法a＋(－b)即可．
用向量表示其他向量的方法
(1)解决此类问题要搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．
(2)主要应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题，在封闭图形中可利用向量加法的多边形法则，提升逻辑推理素养．
√
使用向量形式的三角不等式的注意点
当向量a，b不共线时，向量a，b分别与向量a＋b，a－b构成三角形，由“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”可以得到||a|－|b||<|a±b|<|a|＋|b|.
若向量a与b满足|a|＝5，|b|＝12，则|a＋b|的最小值为______，|a－b|的最大值为________．
解析：由向量形式的三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|可知，当这两个向量方向相反时，|a＋b|取得最小值7，|a－b|取得最大值17.
7
17
03
课堂巩固 自测
√
1
2
3
4
√
1
2
3
4
√
1
2
3
4
√
1
2
3
4
04
课后达标 检测
6
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9
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11
1
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√
√
√
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√
√
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15
0
7．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________．
解析：若a，b为相反向量，则a＋b＝0.所以|a＋b|＝0，又a＝－b，所以|a|＝|－b|＝1.因为a与－b同向共线，所以|a－b|＝2.
6
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b－a
－a－b
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15
√
11．(多选)已知a，b为非零向量，则下列命题中正确的是( )
A．若|a|＋|b|＝|a＋b|，则a与b方向相同
B．若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反
C．若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b有相等的模
D．若||a|－|b||＝|a－b|，则a与b方向相同
解析：当a，b方向相同时，有|a|＋|b|＝|a＋b|，||a|－|b||＝|a－b|；当a，b方向相反时，有||a|－|b||＝|a＋b|，|a|＋|b|＝|a－b|.因此A，B，D正确．
√
6
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10
11
1
2
3
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√
√
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6
7
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