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章末复习提升
素养一 数学运算
数学运算是指在明确运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．在本章中主要表现在向量的线性运算、数量积运算及三角形的求解．
题组1 平面向量的线性运算
1．已知向量a＝(2，1)，b＝(－3，4)，则2a－b＝( )
A．(7，－2) B．(1，－2)
C．(1，－3) D．(7，2)
解析：选A.因为a＝(2，1)，b＝(－3，4)，
所以2a－b＝2(2，1)－(－3，4)＝(4，2)－(－3，4)
＝(4＋3，2－4)＝(7，－2).
2．如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，若＝a，＝b，则＝( )
A．a－b B．a－b
C．a＋b D．a＋b
解析：选D.连接CD(图略)，由点C，D是半圆弧的两个三等分点，得CD∥AB且＝＝a，所以＝＋＝b＋a.
3．如图，在正方形ABCD中，M是BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为( )
A． B．
C． D．2
解析：选B.方法一：以A为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，设正方形边长为1，则＝(1，1)，＝，＝(－1，1)，故1＝λ－μ，1＝λ＋μ，解得λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝.故选B.
方法二：因为＝λ＋μ＝λ(＋)＋μ(＋)＝λ＋μ(－＋)
＝(λ－μ)＋，
且＝＋，所以
解得
所以λ＋μ＝，故选B.
向量线性运算的基本原则
向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．
题组2 平面向量的数量积运算
1．已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos 〈a，a＋b〉＝( )
A．－ B．－
C． D．
解析：选D.由题意，得a·(a＋b)＝a2＋a·b＝25－6＝19，|a＋b|＝＝＝7，所以cos ?a，a＋b?＝＝＝，故选D.
2．(2022·高考全国卷乙)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选C.由题设，|a－2b|＝3，得|a|2－4a·b＋4|b|2＝9，代入|a|＝1，|b|＝，
有4a·b＝4，故a·b＝1.故选C.
3．(2021·高考全国卷乙)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________．
解析：方法一：a－λb＝(1－3λ，3－4λ)，
因为(a－λb)⊥b，
所以(a－λb)·b＝0，
即(1－3λ，3－4λ)·(3，4)＝0，
所以3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝.
方法二：由(a－λb)⊥b可知，(a－λb)·b＝0，
即a·b－λb2＝0，
从而λ＝＝＝＝.
答案：
向量数量积的两种计算方法
(1)当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ；
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
题组3 利用正弦、余弦定理解三角形
1．(2021·高考全国卷甲)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝( )
A．1 B．
C． D．3
解析：选D.方法一：由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos B，得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5(舍去).故选D.
方法二：由正弦定理＝，得sin C＝，从而cos C＝(C是锐角)，所以sin A＝sin [π－(B＋C)]＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝×－×＝.又＝，所以BC＝3.故选D.
2．如图，在△ABC中，B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB＝________．
解析：在△ACD中，由余弦定理可得
cos C＝＝，则sin C＝.
在△ABC中，由正弦定理可得＝，
则AB＝＝＝.
答案：
3．(2022·高考北京卷)在△ABC中，sin 2C＝sin C.
(1)求∠C.
(2)若b＝6，且△ABC的面积为6，求△ABC的周长．
解：(1)因为sin 2C＝sin C，
所以2sin C cos C＝sin C，
所以cos C＝，∠C＝.
(2)因为S△ABC＝6，所以ab sin C＝6，解得a＝4，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C，得c＝2，所以△ABC的周长为6＋6.
在解决与解三角形有关的问题时，首先要结合已知条件，恰当地选用余弦定理或正弦定理求解，其次就是解题过程中要注意边角的互化和等式的恒等变形．
素养二 逻辑推理
逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养．在本章中，主要表现在利用向量判定平行与垂直及利用正弦、余弦定理判定三角形的形状等问题中．
题组4 平面向量的应用
1．已知＝(－1，1)，＝(0，－1)，＝(1，m)，若A，B，C三点共线，则实数m的值为________，·的值为________．
解析：因为＝(－1，1)，＝(0，－1)，＝(1，m)，
所以＝－＝(1，－2)，
＝－＝(1，m＋1).
因为A，B，C三点共线，所以∥，
所以1×(m＋1)＝(－2)×1，
所以m＝－3，所以＝(1，－3).
所以＝－＝(－2，4)，
＝－＝(－1，2)，
所以·＝(－2)×(－1)＋4×2＝10.
答案：－3 10
2．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O，若·＝6·，则的值是________．
解析：
如图所示，过D作DF∥CE，交AB于点F.因为D是BC的中点，所以F是BE的中点．
又BE＝2EA，所以EF＝EA，所以AO＝OD，
所以＝＝(＋).
又＝－＝－，
所以·＝6·＝6×(＋)·(－)＝2－2＋·，即2＝32，即||＝||，所以＝.
答案：
平面向量两个方面的应用
(1)平面几何应用：
向量 几何问题
共线向量 点共线问题、直线与直线平行
数乘向量 求线段长度之比
数量积 线段的长度、直线与直线的夹角
(2)物理应用：速度、位移、力、功．
题组5 判定三角形的形状
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2＝，则△ABC的形状一定是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
解析：选A.因为cos2＝，所以＝，化简得sin A cos C＝sin B．因为B＝π－(A＋C)，所以sin A cos C＝sin (A＋C)，即cos A sin C＝0. 因为sin C≠0，所以cos A＝0，即A＝90°，所以△ABC是直角三角形．
2．在△ABC中，若a cos C＋c cos A＝b sin B，则此三角形为( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C.在△ABC中，由a cos C＋c cos A＝b sin B，以及正弦定理可知， sin A cos C＋sin C cos A＝sin2B，即sin(A＋C)＝sin B＝sin2B，因为0判定三角形形状的常用技巧
素养三 数学建模
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养．在本章中主要是利用正弦、余弦定理解决实际问题．
题组6 正弦、余弦定理的实际应用
1．一船向正北航行，看见正西方向有相距10 n mile的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是( )
A．5 n mile/h B．5 n mile/h
C．10 n mile/h D．10 n mile/h
解析：选C. 如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10. 在Rt△ABC中，求得AB＝5，所以这艘船的速度是＝10(n mile/h).故选C.
2．某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象
观测仪器的垂直弹射高度，如图，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100 m，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚 s．A地测得该仪器在C处时的俯角为15°，A地测得该仪器在最高点H处时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为340 m/s)
解：由题意，设AC＝x m，
则BC＝x－×340＝(x－40)(m).
在△ABC中，由余弦定理得
BC2＝BA2＋CA2－2BA·CA·cos ∠BAC，
即(x－40)2＝10 000＋x2－100x，解得x＝420.
在△ACH中，AC＝420 m，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°.
由正弦定理得＝，
所以CH＝AC·＝140 (m).
故该仪器的垂直弹射高度CH为140 m．
解三角形应用题的基本思路
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章末复习提升
素养一 数学运算
数学运算是指在明确运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．在本章中主要表现在向量的线性运算、数量积运算及三角形的求解．
题组1 平面向量的线性运算
1．已知向量a＝(2，1)，b＝(－3，4)，则2a－b＝( )
A．(7，－2) B．(1，－2)
C．(1，－3) D．(7，2)
2．如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，若＝a，＝b，则＝( )
A．a－b B．a－b
C．a＋b D．a＋b
3．如图，在正方形ABCD中，M是BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为( )
A． B．
C． D．2
向量线性运算的基本原则
向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．
题组2 平面向量的数量积运算
1．已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos 〈a，a＋b〉＝( )
A．－ B．－
C． D．
2．(2022·高考全国卷乙)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
3．(2021·高考全国卷乙)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________．
向量数量积的两种计算方法
(1)当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ；
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
题组3 利用正弦、余弦定理解三角形
1．(2021·高考全国卷甲)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝( )
A．1 B．
C． D．3
2．如图，在△ABC中，B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB＝________．
3．(2022·高考北京卷)在△ABC中，sin 2C＝sin C.
(1)求∠C.
(2)若b＝6，且△ABC的面积为6，求△ABC的周长．
在解决与解三角形有关的问题时，首先要结合已知条件，恰当地选用余弦定理或正弦定理求解，其次就是解题过程中要注意边角的互化和等式的恒等变形．
素养二 逻辑推理
逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养．在本章中，主要表现在利用向量判定平行与垂直及利用正弦、余弦定理判定三角形的形状等问题中．
题组4 平面向量的应用
1．已知＝(－1，1)，＝(0，－1)，＝(1，m)，若A，B，C三点共线，则实数m的值为________，·的值为________．
2．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O，若·＝6·，则的值是________．
平面向量两个方面的应用
(1)平面几何应用：
向量 几何问题
共线向量 点共线问题、直线与直线平行
数乘向量 求线段长度之比
数量积 线段的长度、直线与直线的夹角
(2)物理应用：速度、位移、力、功．
题组5 判定三角形的形状
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2＝，则△ABC的形状一定是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
2．在△ABC中，若a cos C＋c cos A＝b sin B，则此三角形为( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
判定三角形形状的常用技巧
素养三 数学建模
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养．在本章中主要是利用正弦、余弦定理解决实际问题．
题组6 正弦、余弦定理的实际应用
1．一船向正北航行，看见正西方向有相距10 n mile的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是( )
A．5 n mile/h B．5 n mile/h
C．10 n mile/h D．10 n mile/h
2．某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象
观测仪器的垂直弹射高度，如图，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100 m，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚 s．A地测得该仪器在C处时的俯角为15°，A地测得该仪器在最高点H处时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音在空气中的传播速度为340 m/s)
解三角形应用题的基本思路
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第六章 平面向量及其应用
01
知识网络 贯通
02
素养培优 突破
素养一 数学运算
数学运算是指在明确运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．在本章中主要表现在向量的线性运算、数量积运算及三角形的求解．
题组1 平面向量的线性运算
1．已知向量a＝(2，1)，b＝(－3，4)，则2a－b＝( )
A．(7，－2) B．(1，－2)
C．(1，－3) D．(7，2)
解析：因为a＝(2，1)，b＝(－3，4)，
所以2a－b＝2(2，1)－(－3，4)＝(4，2)－(－3，4)
＝(4＋3，2－4)＝(7，－2).
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向量线性运算的基本原则
向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算，向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．
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向量数量积的两种计算方法
(1)当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ；
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
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在解决与解三角形有关的问题时，首先要结合已知条件，恰当地选用余弦定理或正弦定理求解，其次就是解题过程中要注意边角的互化和等式的恒等变形．
素养二 逻辑推理
逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养．在本章中，主要表现在利用向量判定平行与垂直及利用正弦、余弦定理判定三角形的形状等问题中．
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平面向量两个方面的应用
(1)平面几何应用：
(2)物理应用：速度、位移、力、功．
向量 几何问题
共线向量 点共线问题、直线与直线平行
数乘向量 求线段长度之比
数量积 线段的长度、直线与直线的夹角
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判定三角形形状的常用技巧
素养三 数学建模
数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养．在本章中主要是利用正弦、余弦定理解决实际问题．
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解三角形应用题的基本思路
