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6．2 平面向量的运算
6．2.1 向量的加法运算
学习指导 核心素养
借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算及运算法则，理解其几何意义． 1.数学抽象：向量加法的概念及几何意义． 2.直观想象：向量加法的三角形法则与平行四边形法则． 3.数学运算、逻辑推理：向量加法的运算法则及运算律．
知识点一 向量的加法
1．向量加法的定义
(1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
(2)对于零向量与任意向量a，规定0＋a＝a＋0＝a．
2．向量求和的法则
三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝
平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作 OACB，则以O为起点的向量(OC是 OACB的对角线)就是向量a与b的和
3.|a＋b|与|a|、|b|之间的关系
一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立．
(1)向量加法的三角形法则要“首尾相接”．
(2)应用平行四边形法则的前提是两向量“共起点”．
1．已知平面四边形ABCD，则＋＋＝( )
A． B．
C． D．0
2．下面各图中，已知向量a，b，求作向量a＋b.
知识点二 向量加法的运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a．
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
(多选)下列等式成立的是( )
A．＋＝0
B．＝＋＋
C．＋＋＋＝0
D．＋＋＋＝0
向量加法运算中化简的两种方法
(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量．
(2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简．
已知正方形ABCD的边长等于1，则|＋＋＋|＝________．
考点一 向量加法的几何意义
如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c.
三角形法则与平行四边形法则的适用条件
法则 三角形法则 平行四边形法则
两向量位置关系 两向量共线或不共线均可 只适用于两向量不共线的情况
两向量起点、终点的特点 一个向量的终点为另一个向量的起点 两向量起点相同
[提醒] (1)使用三角形法则求两个向量的和时，应注意“首尾相连，起点指终点”．
(2)向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量．
如图，已知正方形ABCD，＝a，＝b，＝c，试作向量a＋b＋c.
考点二 向量加法的实际应用
在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．
1．(变设问)若本例条件不变，求经过3小时，该船的实际航程是多少千米？
2．(变条件、变设问)若本例改为若船沿垂直于水流的方向航行，其他条件不变，求船实际行进的方向(相当于与河岸的夹角)的正切值．
应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤
(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．
(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行运算，解答向量问题．
(3)还原：根据向量的运算结果，结合共线向量、相等向量等概念回答原问题．
如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平木杆AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A处和B处所受力的大小(绳子的质量忽略不计).
1.化简：＋＋＝( )
A． B．
C．0 D．
2．在 ABCD中，＝a，＝b，则＋＝( )
A．a B．b
C．0 D．a＋b
3．如图，D，E，F分别为△ABC三边的中点，试画出＋，＋，＋.
[A 基础达标]
1．若正方形ABCD的边长为1，则|＋|为( )
A．1 B．
C．3 D．2
2．已知向量a，b均为非零向量，则下列说法不正确的是( )
A．若a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与a同向
B．若a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与b同向
C．若a与b同向，则a＋b与a同向
D．若a与b同向，则a＋b与b同向
3．如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则＋＋＋＝( )
A． B．
C． D．
4．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a＋b表示( )
A．向东北方向航行2 km
B．向北偏东30°方向航行2 km
C．向北偏东60°方向航行2 km
D．向东北方向航行km
5．若在△ABC中，＝a，＝b，且|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝，则△ABC的形状是( )
A．正三角形 B．锐角三角形
C．斜三角形 D．等腰直角三角形
6．(多选)在 ABCD中，设＝a，＝b，＝c，＝d，则下列等式中成立的是( )
A.a＋b＝c B．a＋d＝b
C．b＋d＝a D．|a＋b|＝|c|
7．化简：(＋)＋(＋)＋＝________．
8．已知非零向量a，b，|a|＝8，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为______．
9．某人在静水中游泳，速度为4 km/h.如果此人沿垂直于水流的方向游向河对岸，水流的速度为4 km/h，则此人实际沿________的方向前进，速度为________．
10．如图所示，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列各式：
(1)＋＋；
(2)＋＋；
(3)＋＋.
[B 能力提升]
11．下列说法中正确的是( )
A．如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同
B．在△ABC中，必有＋＋＝0
C.若＋＋＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点
D．若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等
12.
如图所示，设O为正六边形ABC DEF的中心，则：
(1)＋＝________；
(2)＋＝________．
13．如图所示，若P为△ABC的外心，且＋＝，则∠ACB＝________．
14．如图，已知 ABCD，O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点(靠近D点)，求作：
(1)＋；(2)＋.
[C 拓展冲刺]
15．设|a|＝2，e为单位向量，则|a＋e|的最大值为________．
16．雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是4.0 m/s，现在有风，风使雨滴以 m/s的速度水平向东移动，求雨滴着地时的速度大小和方向．
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6.2 平面向量的运算
6.2.1 向量的加法运算
第六章 平面向量及其应用
学习指导 核心素养
借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算及运算法则，理解其几何意义． 1.数学抽象：向量加法的概念及几何意义．
2.直观想象：向量加法的三角形法则与平行四边形法则．
3.数学运算、逻辑推理：向量加法的运算法则及运算律．
01
必备知识 落实
知识点一 向量的加法
1．向量加法的定义
(1)定义：求两个向量___的运算，叫做向量的加法．
(2)对于零向量与任意向量a，规定0＋a＝a＋__＝__．
和
0
a
a＋b
3.|a＋b|与|a|、|b|之间的关系
一般地，我们有|a＋b|___|a|＋|b|，当且仅当a，b__________时等号成立．
≤
方向相同
(1)向量加法的三角形法则要“首尾相接”．
(2)应用平行四边形法则的前提是两向量“共起点”．
√
知识点二 向量加法的运算律
(1)交换律：a＋b＝_______．
(2)结合律：(a＋b)＋c＝_________________．
b＋a
a＋(b＋c)
√
√
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向量加法运算中化简的两种方法
(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量．
(2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简．
02
关键能力 提升
考点一 向量加法的几何意义
如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c.
三角形法则与平行四边形法则的适用条件
法则 三角形法则 平行四边形法则
两向量位置关系 两向量共线或不共线均可 只适用于两向量不共线的情况
两向量起点、终点的特点 一个向量的终点为另一个向量的起点 两向量起点相同
[提醒] (1)使用三角形法则求两个向量的和时，应注意“首尾相连，起点指终点”．
(2)向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量．
考点二 向量加法的实际应用
在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．
2．(变条件、变设问)若本例改为若船沿垂直于水流的方向航行，其他条件不变，求船实际行进的方向(相当于与河岸的夹角)的正切值．
应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤
(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．
(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行运算，解答向量问题．
(3)还原：根据向量的运算结果，结合共线向量、相等向量等概念回答原问题．
如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平木杆AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A处和B处所受力的大小(绳子的质量忽略不计).
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课堂巩固 自测
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2．已知向量a，b均为非零向量，则下列说法不正确的是( )
A．若a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与a同向
B．若a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与b同向
C．若a与b同向，则a＋b与a同向
D．若a与b同向，则a＋b与b同向
解析：a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与a同向，所以B错；a与b同向，则a＋b与a同向，也与b同向．
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解析：由向量加法的平行四边形法则，知a＋b＝c成立，故|a＋b|＝|c|也成立；由向量加法的三角形法则，知a＋d＝b成立，b＋d＝a不成立．
√
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8．已知非零向量a，b，|a|＝8，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为______．
解析：|a＋b|≤|a|＋|b|，所以|a＋b|的最大值为13.
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与水流方向成60°
8 km/h
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10．如图所示，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列各式：
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解析：A错误，若a＋b＝0，其方向是任意的；
B正确；C错误，A，B，C三点共线时也可满足；
D错误，|a＋b|≤|a|＋|b|.
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120°
14．如图，已知 ABCD，O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点(靠近D点)，求作：
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6．2 平面向量的运算
6．2.1 向量的加法运算
学习指导 核心素养
借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法运算及运算法则，理解其几何意义． 1.数学抽象：向量加法的概念及几何意义． 2.直观想象：向量加法的三角形法则与平行四边形法则． 3.数学运算、逻辑推理：向量加法的运算法则及运算律．
知识点一 向量的加法
1．向量加法的定义
(1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
(2)对于零向量与任意向量a，规定0＋a＝a＋0＝a．
2．向量求和的法则
三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝
平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作 OACB，则以O为起点的向量(OC是 OACB的对角线)就是向量a与b的和
3.|a＋b|与|a|、|b|之间的关系
一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立．
(1)向量加法的三角形法则要“首尾相接”．
(2)应用平行四边形法则的前提是两向量“共起点”．
1．已知平面四边形ABCD，则＋＋＝( )
A． B．
C． D．0
解析：选A.＋＋＝＋＝.
2．下面各图中，已知向量a，b，求作向量a＋b.
解：(1)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图①.
(2)作＝a，＝b，则＝a＋b，如图②.
知识点二 向量加法的运算律
(1)交换律：a＋b＝b＋a．
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
(多选)下列等式成立的是( )
A．＋＝0
B．＝＋＋
C．＋＋＋＝0
D．＋＋＋＝0
【解析】 由向量加法的三角形法则可知A对；
＋＋＝＋＝＋＝，B对；
＋＋＋＝＋＋＝，C错；
＋＋＋＝＋＋＝＋＝0，D对．
【答案】 ABD
向量加法运算中化简的两种方法
(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量．
(2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简．
已知正方形ABCD的边长等于1，则|＋＋＋|＝________．
解析：|＋＋＋|＝|(＋)＋(＋)|＝|＋|＝2||＝2.
答案：2
考点一 向量加法的几何意义
如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c.
【解】 方法一(三角形法则)：如图①所示，
首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，
则得向量＝a＋b，
然后作向量＝c，
则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．
方法二(平行四边形法则)：如图②所示，
首先在平面内任取一点O，
作向量＝a，＝b，＝c，
以OA，OB为邻边作 OADB，连接OD，
则＝＋＝a＋b.
再以OD，OC为邻边作 ODEC，连接OE，
则＝＋＝a＋b＋c即为所求．
三角形法则与平行四边形法则的适用条件
法则 三角形法则 平行四边形法则
两向量位置关系 两向量共线或不共线均可 只适用于两向量不共线的情况
两向量起点、终点的特点 一个向量的终点为另一个向量的起点 两向量起点相同
[提醒] (1)使用三角形法则求两个向量的和时，应注意“首尾相连，起点指终点”．
(2)向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量．
如图，已知正方形ABCD，＝a，＝b，＝c，试作向量a＋b＋c.
解：由已知得a＋b＝＋＝，又＝c，
所以延长AC至点E，使||＝||，
则a＋b＋c＝.即为所求，如图．
考点二 向量加法的实际应用
在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．
【解】 作出图形，如图．设船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件可知，四边形ABCD为平行四边形，
在Rt△ACD中，
||＝||＝|v水|＝10 m/min，
||＝|v船|＝20 m/min，
所以cos α＝＝＝，
所以α＝60°，从而船与水流方向成120°的角．
故船行进的方向是与水流的方向成120°的角的方向．
1．(变设问)若本例条件不变，求经过3小时，该船的实际航程是多少千米？
解：由本例解图可知||＝||＝×20
＝10(m/min)＝(km/h)，
则经过3小时，该船的实际航程是3×＝(km).
2．(变条件、变设问)若本例改为若船沿垂直于水流的方向航行，其他条件不变，求船实际行进的方向(相当于与河岸的夹角)的正切值．
解：如图所示，||＝||＝|v船|＝20 m/min，
||＝|v水|＝10 m/min，则tan ∠BAC＝2，即为所求．
应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤
(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．
(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行运算，解答向量问题．
(3)还原：根据向量的运算结果，结合共线向量、相等向量等概念回答原问题．
如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平木杆AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A处和B处所受力的大小(绳子的质量忽略不计).
解：如图，设，分别表示A，B处所受的力，
10 N的重力用表示，
则＋＝.
易得∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°，
||＝||×cos 30°＝10×＝5.
||＝||×cos 60°＝10×＝5.
故A处所受的力的大小为5 N，B处所受的力的大小为5 N．
1.化简：＋＋＝( )
A． B．
C．0 D．
解析：选D.＋＋＝＋＝.
2．在 ABCD中，＝a，＝b，则＋＝( )
A．a B．b
C．0 D．a＋b
解析：选B.＋＝＋＝＝＝b，
即＋＝b.故选B.
3．如图，D，E，F分别为△ABC三边的中点，试画出＋，＋，＋.
解：如图，
连接DA，＋＝＋＝，因为四边形DEAF和四边形CDFE分别为平行四边形，所以＋＝，＋＝＋＝.
[A 基础达标]
1．若正方形ABCD的边长为1，则|＋|为( )
A．1 B．
C．3 D．2
解析：选B.在正方形ABCD中，AB＝1，易知AC＝，
所以|＋|＝||＝AC＝.
2．已知向量a，b均为非零向量，则下列说法不正确的是( )
A．若a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与a同向
B．若a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与b同向
C．若a与b同向，则a＋b与a同向
D．若a与b同向，则a＋b与b同向
解析：选B.a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与a同向，所以B错；a与b同向，则a＋b与a同向，也与b同向．
3．如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则＋＋＋＝( )
A． B．
C． D．
解析：选B.＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝.故选B.
4．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a＋b表示( )
A．向东北方向航行2 km
B．向北偏东30°方向航行2 km
C．向北偏东60°方向航行2 km
D．向东北方向航行km
解析：选B.如图，易知tan α＝，所以α＝30°.故a＋b的方向是北偏东30°.
又|a＋b|＝2 km.故选B.
5．若在△ABC中，＝a，＝b，且|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝，则△ABC的形状是( )
A．正三角形 B．锐角三角形
C．斜三角形 D．等腰直角三角形
解析：选D.由于||＝|a|＝1，||＝|b|＝1，||＝|a＋b|＝，所以△ABC为等腰直角三角形．故选D.
6．(多选)在 ABCD中，设＝a，＝b，＝c，＝d，则下列等式中成立的是( )
A.a＋b＝c B．a＋d＝b
C．b＋d＝a D．|a＋b|＝|c|
解析：选ABD.由向量加法的平行四边形法则，知a＋b＝c成立，故|a＋b|＝|c|也成立；由向量加法的三角形法则，知a＋d＝b成立，b＋d＝a不成立．
7．化简：(＋)＋(＋)＋＝________．
解析：原式＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＝＋＝.
答案：
8．已知非零向量a，b，|a|＝8，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为______．
解析：|a＋b|≤|a|＋|b|，所以|a＋b|的最大值为13.
答案：13
9．某人在静水中游泳，速度为4 km/h.如果此人沿垂直于水流的方向游向河对岸，水流的速度为4 km/h，则此人实际沿________的方向前进，速度为________．
解析：如图所示，因为||＝4，||＝4，
所以||＝8.所以∠COA＝60°.
即他实际沿与水流方向成60°的方向前进，速度为8 km/h.
答案：与水流方向成60° 8 km/h
10．如图所示，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列各式：
(1)＋＋；
(2)＋＋；
(3)＋＋.
解：(1)＋＋＝＋＝.
(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
(3)＋＋＝＋＋＝＋＝.
[B 能力提升]
11．下列说法中正确的是( )
A．如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同
B．在△ABC中，必有＋＋＝0
C.若＋＋＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点
D．若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等
解析：选B.A错误，若a＋b＝0，其方向是任意的；B正确；C错误，A，B，C三点共线时也可满足；D错误，|a＋b|≤|a|＋|b|.
12.
如图所示，设O为正六边形ABC DEF的中心，则：
(1)＋＝________；
(2)＋＝________．
解析：(1)由题图可知，四边形OABC为平行四边形．由向量加法的平行四边形法则，得＋＝.
(2)由题图可知，＝＝＝，
所以＋＝＋＝.
答案：(1) (2)
13．如图所示，若P为△ABC的外心，且＋＝，则∠ACB＝________．
解析：因为P为△ABC的外心，所以PA＝PB＝PC，因为＋＝，由向量加法的几何意义可得四边形PACB是菱形，且∠PAC＝60°，所以∠ACB＝120°.
答案：120°
14．如图，已知 ABCD，O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点(靠近D点)，求作：
(1)＋；(2)＋.
解：(1)延长AC，在延长线上截取CF＝AO，则向量即为所求．
(2)在AB上取点G，使AG＝AB，则向量即为所求．
[C 拓展冲刺]
15．设|a|＝2，e为单位向量，则|a＋e|的最大值为________．
解析：在平面内任取一点O，作＝a，＝e，
则a＋e＝＋＝，
因为e为单位向量，
所以点B在以点A为圆心的单位圆上(如图所示)，
由图可知当点B在点B1时，O，A，B1三点共线，
|1|即|a＋e|最大，最大值是3.
答案：3
16．雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是4.0 m/s，现在有风，风使雨滴以 m/s的速度水平向东移动，求雨滴着地时的速度大小和方向．
解：如图，用表示无风时雨滴下落的速度，表示风使雨滴水平向东移动的速度．
以，为邻边作四边形OACB，就是雨滴下落的实际速度．
在Rt△OAC中，||＝4，
||＝，
所以||
＝ ＝ ＝，
又tan ∠AOC＝＝＝，
所以∠AOC＝30°.
故雨滴着地时的速度大小是 m/s，方向为下偏东30°.
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