6.1.2向量的几何表示同步练习--高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含解析）

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人教A版（2019）高中数学必修二同步练习6.1.2向量的几何表示
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知单位向量 ，满足.若常数 的取值集合为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法错误的是（ ）
A．若，则
B．零向量是没有方向的
C．零向量与任一向量平行
D．零向量的方向是任意的
3．在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是（ ）
A．单位圆 B．一段弧
C．线段 D．直线
4．已知向量，则与方向相反的单位向量是（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线经过点和点，则直线的单位方向向量为（ ）
A． B． C． D．
6．已知两个非零单位向量的夹角为，则下列结论不正确的是（ ）
A．不存在，使 B．
C．， D．在方向上的投影为
二、填空题
7．如图所示，已知AD=3，B，C是线段AD的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点，模长度大于1的向量有___________.
8．已知向量,则向量的夹角为______．
9．已知向量，，满足，，，则的取值范围为_________.
10．把所有单位向量的起点平移到一点,则其终点构成的图形是_____________.
11．在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，﹣1），B（﹣3，﹣4）两点，若点C在∠AOB的平分线上，且，则点C的坐标是_____．
12．已知点分别是圆及直线上的动点，是坐标原点则最小值为_____.
三、解答题
13．已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向．
14．如图所示，是正六边形的中心，且，，，若，求正六边形的边长.
15．已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）若，，求的值．
16．已知，，与的夹角是，计算
（1）；
（2）.
17．在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且．
（1）当λ，求||；
（2）求的最小值．
18．已知平面直角坐标系中有三点、、，其中为坐标原点.
（1）求与同向的单位向量的坐标；
（2）若点是线段（包括端点）上的动点，求的取值范围.
参考答案
1．B
【分析】
由条件，化简为，再根据条件判断和的取值，再根据，求的最大值.
【详解】
由条件得，
和的取值只有三种可能，分别为 ，
但二者不可能同时一个取，另一个取，
∴的化简结果只有四种形式： ，
而，故所有可能取值只有或两种结果，
∴的最大值为.
故选：B
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是判断和的取值，从而利用，求的最大值.
2．B
【分析】
由零向量的性质：长度为0，方向是任意的，与任何向量都平行，即可判断各项正误.
【详解】
A：由零向量的模为0，故正确；而由零向量的长度为0，方向是任意的，与任何向量都平行，故B错误，C、D正确；
故选：B
3．A
【分析】
根据单位向量的概念，以及圆的定义，即可得出结果.
【详解】
平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆，所以将所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是单位圆．
故选：A.
4．C
【分析】
求出，计算即得．
【详解】
由题意，．
故选：C．
5．D
【分析】
求出直线的一个方向向量为，再求出向量的模，根据单位向量即可求解.
【详解】
由题意得，直线的一个方向向量为，
则，因此直线的单位方向向量为，
故选：D.
【点睛】
本题考查了直线的方向向量以及单位向量的求法，考查了基本运算，属于基础题.
6．D
【分析】
A中，由平面向量数量积的定义，判断即可；B中，由平面向量模长的定义，判断即可；C中，根据平面向量数量积与垂直的定义，判断即可；D中，根据单位向量以及向量投影的定义，计算即可；
【详解】
对于A，因为两个非零单位向量所以 ＝1×1×cosθ＝cosθ≤1，∴A正确．
对于B，因为两个非零单位向量＝1，B正确；
对于C，因为两个非零单位向量且 ，所以∴C正确；
对于D，因为两个非零单位向量，所以 在方向上的投影为||cosθ＝cosθ，D错误；
故选D．
【点睛】
本题考查了平面向量的数量积与单位向量的定义和应用问题，也考查了模长与投影问题，属于基础题．
7．
【分析】
结合图形，分模长为2或3的向量求解.
【详解】
满足条件的向量有以下几类：
模长为2的向量有：.
模长为3的向量有：.
故答案为：
8．
【分析】
根据题意，设向量，向量，向量的夹角为，由变形可得①，由可得②，将①②联立可得的值，由的范围分析可得答案．
【详解】
解：根据题意，设向量，向量，向量的夹角为，
向量，则，则有，变形可得，即，①，
，则，则有，变形可得，②
将①②联立可得：，
解可得，
又由，则
则，
则；
故答案为．
【点睛】
本题考查向量夹角的计算，涉及向量数量积的运算，属于一般题．
9．
【分析】
设，，，，根据，，，得到A点轨迹为以O为圆心、1为半径的圆，C点轨迹为以B为圆心、1为半径的圆，即的距离求解.
【详解】
设，，，，
如图所示：
因为，，，
所以A点轨迹为以O为圆心、1为半径的圆，
C点轨迹为以B为圆心、1为半径的圆，
则即的距离，
由图可知，.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查平面向量的应用以及向量模的几何意义的应用，属于基础题.
10．以O为圆心的单位圆
【分析】
设终点为，则，得到答案.
【详解】
设终点为，则，则终点构成的图形是以为圆心的单位圆.
故答案为：以为圆心的单位圆.
【点睛】
本题考查了单位向量，意在考查学生的推断能力.
11．（﹣1，﹣3）
【分析】
先求出方向上的单位向量（，），由题意 ，结合即可得解.
【详解】
由题意（0，﹣1），是一个单位向量，
由于（﹣3，﹣4），故方向上的单位向量（，），
∵点C在∠AOB的平分线上，
∴存在正实数λ使得 ＝）＝，
∵，
，解得
代入得得
故答案为：.
【点睛】
本题考查了平面向量线性运算的坐标表示和模的应用.考查了转化化归思想，属于中档题.
12．1
【分析】
因为，表示圆上的点到直线上点的距离，要求最小值，则转化为圆上的点到直线的距离，为此最小值即为圆心到直线的距离减去半径，所以再求圆心到直线的距离即可.
【详解】
因为，表示两点间的距离，
又因为分别是圆及直线上的动点，
所以的最小值为圆心到直线的距离减半径，
圆心到直线的距离
所以圆上的点到直线的最小值为
所以最小值为1
故答案为：1
【点睛】
本题主要考查了向量模的几何意义和直线与圆的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.
13．答案见解析.
【分析】
根据方向角及飞行距离可作出向量，然后在三角形中求向量的模和方向．
【详解】
以为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立直角坐标系．
由题意知点在第一象限，点在x轴正半轴上，点在第四象限，
向量如图所示，
由已知可得，
为正三角形，所以．
又，，
所以为等腰直角三角形，
所以，．
故向量的模为，方向为东南方向．
14．
【分析】
根据正六边形性质知，为等边三角形且，即可求解
【详解】
由题意，根据正六边形性质知，为等边三角形且，
所以正六边形的边长.
【点睛】
本题主要考查了正六边形的性质，以及向量的模的概念及其应用，其中解答中熟记正六边形的性质和向量的模的概念是解答的关键，属于容易题.
15．（1）；（2）或
【分析】
（1）由共线定理结合齐次式弦化切可求；
（2）由数量积运算性质结合三角函数的恒等变换得，再结合三角函数的性质可得到结果．
【详解】
解：（1），，，
，，
（2），，
，
，
，
，，
或，
或．
【点睛】
本题考查了平面向量的共线定理、数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．（1）（2）-3
【分析】
（1）转化，利用数量积的的分配律和数量积的定义，即得解；
（2）转化，即得解
【详解】
（1）；
（2）.
【点睛】
本题考查了数量积的模长公式、运算律和定义，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题
17．（1）（2）
【分析】
以等腰梯形的底所在的直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立如图所示的坐标系，根据向量的坐标运算求出，，
（1）当时，，即可求出答案；
（2）根据向量的数量积和基本不等式即可求出答案.
【详解】
以等腰梯形ABCD的底AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的坐标系，
∵AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，
∴A（﹣1，0），B（1，0），C（，），D（，），
∴（2，0）+λ（，）=2λ，λ），
（1）当λ时，（，），则||
（2）∵（，）（1，0）＝（，），
∴2，当且仅当λ时取得最小值．
【点睛】
本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；关键是正确表示所求，利用基本不等式求最小值，属于基础题.
18．（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由与同向的单位向量为，直接求解，即可
（2）由题意可知线段的方程为，则设，从而，求解关于的二次函数的值域即可.
【详解】
（1）
（2）平面直角坐标系中点、
线段的方程为，即
设，. 则，
则上式为关于的开口向上，对称轴为的二次函数.
当时取得最小值
当时取得最小值
所以
【点睛】
本题考查单位向量以及向量的数量积，属于中档题.
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