8.6.1 空间直线、平面的垂直 同步练习--高一下数学（人教A版（2019） 必修第二册（含答案）

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8.6.1　空间直线、平面的垂直
基础训练
1.分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是(　　)
A.异面 B.平行
C.相交 D.以上都有可能
2.已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，l 平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列一定不可能的是(　　)
A.l与AD平行
B.l与AB异面
C.l与CD所成的角为30°
D.l与BD垂直
3.设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线(　　)
A.有无数条 B.有两条
C.至多有两条 D.有一条
4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　)
A. B. C. D.
5.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线B1D1与CD所成角的大小是________.
6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与A1B1所成角的余弦值为________.
7.在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝，则异面直线A1C与B1C1所成的角为________.
8.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；
②AB与CM所成的角为60°；
③EF与MN是异面直线；
④MN∥CD.
以上结论正确的为________.(填序号)
9.P是平面ABC外一点，PA＝4，BC＝2，D，E分别为PC，AB的中点，且DE＝3.求异面直线PA与BC所成的角的大小.
10.如图，已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点.证明：CD1⊥EF.
提升训练
11.已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面正方形边长为1，AA1＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)
A.－ B.
C. D.－
12.空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝，则异面直线AD与BC所成角的大小为________.
13.如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥DA，PD⊥DC，在底面ABCD中，AB∥DC，AB⊥AD，又CD＝6，AB＝AD＝PD＝3，E为PC的中点.
(1)求证：BE∥平面ADP；
(2)求异面直线PA与CB所成角的大小.
14.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1与AC，AB所成的角均为60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，E是B1C1的中点，则直线AE与BC所成角的大小为________，直线A1B与AC1所成角的余弦值为______.
8.6.1　空间直线、平面的垂直
基础训练
1.分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是(　　)
A.异面 B.平行
C.相交 D.以上都有可能
答案　D
解析　当两个平面平行时，这两条直线的位置关系为平行或异面，当两个平面相交时，这两条直线的位置关系有可能相交或异面或平行.
2.已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，l 平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列一定不可能的是(　　)
A.l与AD平行
B.l与AB异面
C.l与CD所成的角为30°
D.l与BD垂直
答案　A
解析　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
l 平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行.
由于AD∥B1C1，∴l必与直线AD不平行.
3.设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线(　　)
A.有无数条 B.有两条
C.至多有两条 D.有一条
答案　A
解析　如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角，除去两条与l共面的母线，其余都符合要求.
4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　如图，连接BE，∵AB∥CD，
∴异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角，即∠EAB.
不妨设正方体的棱长为2，则CE＝1，BC＝2，由勾股定理得BE＝，AC＝2，AE＝3.
∴AB2＋BE2＝AE2，∴AB⊥BE，
∴tan∠EAB＝＝.
5.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线B1D1与CD所成角的大小是________.
答案　45°
6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与A1B1所成角的余弦值为________.
答案　
解析　设棱长为1，∵A1B1∥C1D1，
∴∠AED1(或其补角)就是异面直线AE与A1B1所成的角.
在△AED1中，cos∠AED1＝＝＝.
7.在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝，则异面直线A1C与B1C1所成的角为________.
答案　60°
解析　因为几何体是棱柱，BC∥B1C1，
则直线A1C与BC所成的角就是异面直线A1C与B1C1所成的角.
在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC，连接BA1，
∵AB＝AC＝AA1＝1，∴BA1＝，CA1＝.
∴△BCA1是等边三角形，
∴异面直线A1C与B1C1所成的角为60°.
8.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；
②AB与CM所成的角为60°；
③EF与MN是异面直线；
④MN∥CD.
以上结论正确的为________.(填序号)
答案　①③
解析　把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确.
9.P是平面ABC外一点，PA＝4，BC＝2，D，E分别为PC，AB的中点，且DE＝3.求异面直线PA与BC所成的角的大小.
解　如图，取AC的中点F，连接DF，EF，在△PAC中，
∵D是PC的中点，F是AC的中点，∴DF∥PA.
同理可得EF∥BC.
∴∠DFE为异面直线PA与BC所成的角(或其补角).
在△DEF中，DE＝3，
又DF＝PA＝2，EF＝BC＝，
∴DE2＝DF2＋EF2，
∴∠DFE＝90°，即异面直线PA与BC所成的角为90°.
10.如图，已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点.证明：CD1⊥EF.
证明　如图，取CD1的中点G，连接EG，DG.
∵E是BD1的中点，
∴EG∥BC，EG＝BC，
∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴EG∥DF，EG＝DF，∴四边形EFDG是平行四边形，
∴EF∥DG，
∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.
又∵A1A＝AB，
∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，
又G为CD1的中点，
∴DG⊥CD1，∴∠D1GD＝90°，
∴异面直线CD1与EF所成的角为90°，
∴CD1⊥EF.
提升训练
11.已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面正方形边长为1，AA1＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)
A.－ B.
C. D.－
答案　B
解析　连接D1C，AC，如图所示，
在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，易知A1B∥D1C，
∴∠AD1C是异面直线A1B与AD1所成的角(或补角)，
在△AD1C中，易知AD1＝D1C＝，AC＝.
由余弦定理，得
AC2＝AD＋D1C2－2AD1·D1C·cos ∠AD1C.
∴cos ∠AD1C＝＝.
12.空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，EF＝，则异面直线AD与BC所成角的大小为________.
答案　60°
解析　如图取AC的中点为H，连接EH，HF，则易得EH∥BC，FH∥AD.
所以∠EHF就是异面直线AD，BC所成的角(或所成角的补角).
因为AD＝BC＝2，所以EH＝HF＝1，则△EHF是等腰三角形.又EF＝，所以∠EHF＝120°，
则异面直线AD，BC所成的角为60°.
13.如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥DA，PD⊥DC，在底面ABCD中，AB∥DC，AB⊥AD，又CD＝6，AB＝AD＝PD＝3，E为PC的中点.
(1)求证：BE∥平面ADP；
(2)求异面直线PA与CB所成角的大小.
(1)证明　取PD的中点为F，连接EF，AF，
则在△PCD中，EF∥CD且EF＝CD，
由已知AB∥CD且AB＝CD，
所以AB∥EF且AB＝EF，
所以四边形ABEF为平行四边形，
所以BE∥AF，而AF 平面ADP，BE 平面ADP，
所以BE∥平面ADP.
(2)解　取CD中点G，连接AG，PG，
所以AB∥GC且AB＝GC，
所以四边形ABCG为平行四边形，
所以BC∥AG，所以∠PAG(或其补角)为PA与CB所成角，由题意得PA＝AG＝PG＝3，
所以∠PAG＝60°，所以PA与CB所成角为60°.
14.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1与AC，AB所成的角均为60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，E是B1C1的中点，则直线AE与BC所成角的大小为________，直线A1B与AC1所成角的余弦值为______.
答案　90°　
解析　如图所示，连接AB1，由三棱柱的性质可得AC1＝AB1.
又因为E是B1C1的中点，所以AE⊥B1C1.
又BC∥B1C1，所以AE⊥BC，
即直线AE与BC所成的角为90°.
如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABDC－A1B1D1C1，连接BD1，A1D1，AD，由四棱柱的性质知BD1∥AC1，则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角.设AB＝a，
∵AA1与AC，AB所成的角均为60°，且AB＝AC＝AA1，
∴A1B＝a，BD1＝AC1＝2AA1·cos 30°＝a.
又∠BAC＝90°，∴在矩形ABDC中，AD＝a，
∴A1D1＝a，
∴A1D＋A1B2＝BD，∴∠BA1D1＝90°，
∴在Rt△BA1D1中，cos ∠A1BD1＝＝＝.
由中位线的性质，
得EF綉BD，FG綉AC，
则∠EFG为BD与AC所成的角(或其补角)，
又EH∥BC，HG∥AD，且AD⊥BC，所以EH⊥HG，
所以EG2＝EH2＋HG2＝2＋2＝×()2＋×12＝1.
在△EFG中，EF2＝BD2＝，FG2＝AC2＝，EG2＝EF2＋FG2＝1，所以∠EFG＝90°，
即AC与BD所成的角为90°.
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