2024年2月1日高一数学周测单元测试（含解析）

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2024年2月1日高中数学周测/单元测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．（2023下·广东深圳·高一校考期中）在中，已知角所对边长分别为，且满足，为的中点，，则（ ）
A． B．3 C． D．4
2．（2023下·广东深圳·高一校考期中）平面四边形是边长为4的菱形，且．点N是DC边上的点，满足．点M是四边形内或边界上的一个动点，则的最大值为（ ）
A．13 B．7 C．14 D．
3．（2023下·广东深圳·高一翠园中学校考期中）如图，在△ABC中，点P在边BC上，且，过点P的直线l与射线AB，AC分别交于不同的两点M，N，若，，则实数的值是（ ）

A． B． C． D．
4．（2023下·广东深圳·高一深圳市高级中学校考期中）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（ ）.

B． C． D．
5．（2023下·广东深圳·高一深圳市罗湖高级中学校考期中）如图，扇形中，点是上一点，且.若，则的最大值为（ ）

A． B． C． D．1
6．（2023下·广东深圳·高一深圳市高级中学校考期中）已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023下·广东深圳·高一校联考期中）在锐角三角形分别为内角所对的边长，，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2023下·广东深圳·高一校考期中）已知单位向量，则下列命题正确的是（ ）
A．向量不共线
B．若，且，则
C．若，记向量，的夹角为，则的最小值为
D．若，则向量在向量上的投影向量是
评卷人得分
二、多选题
9．（2023下·广东深圳·高一深圳市龙华中学校考期中）一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东方向上，距离为12海里，灯塔C在A的北偏西30°方向上，距离为6海里，该轮船从A处沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东方向上，下面结论正确的有（ ）
A．海里 B．海里
C．或 D．灯塔C在D的南偏西方向上
10．（2021下·广东深圳·高一红岭中学校考期中）中，.以下结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．面积
11．（2023下·广东深圳·高一校联考期中）对于△ABC，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A．若，则△ABC为等腰三角形
B．若，，，则符合条件的△ABC有两个
C．若，则△ABC为等腰直角三角形
D．若，则△ABC是钝角三角形
12．（2023下·广东深圳·高一校考期中）在△中，角所对的边分别为，，是△的外接圆圆心，下列结论正确的是（ ）
A．的最大值是
B．的取值范围是
C．若，则△是等腰三角形
D．的最大值是3
13．（2023下·广东深圳·高一校考期中）已知向量，，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若在上的投影向量的模为，则向量与的夹角为
C．存在，使得
D．的最大值为
评卷人得分
三、填空题
14．（2023下·广东深圳·高一翠园中学校考期中）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点D为AC边的中点，已知，则当角C取到最大值时等于 .
15．（2023下·广东深圳·高一校考期中）在中，角A，，的对边分别是，，，且面积为，若，则角 ．
16．（2023下·广东深圳·高一校考期中）青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是 ．

17．（2023下·广东深圳·高一统考期末）四边形中，点分别是的中点，，，，点满足，则的最大值为 .
评卷人得分
四、解答题
18．（2023下·广东深圳·高一深圳市罗湖高级中学校考期中）在中，已知，，在线段上，且，，设，.
(1)用向量，表示；
(2)若，求.
19．（2023下·广东深圳·高一校联考期中）已知的内角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)从下列①②③中选择两个作为条件，证明另外一个条件成立：
①；②；③.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
20．（2023下·广东深圳·高一校考期中）某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口北偏西且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以海里/时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇．试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最短，则小艇航行速度为多少？
(2)若保证小艇在30分钟内（含30分钟）与轮船相遇，试求小艇航行速度的最小值．
21．（2023下·广东深圳·高一校考期中）在锐角中，内角、、所对的边分别为、、，已知.
(1)求的值；
(2)若，求的面积.
22．（2021下·广东深圳·高一校考阶段练习）在中，过重心的直线与边交于，与边交于，点不与重合.设面积为，面积为.
（1）求；
（2）求证：；
（3）求的取值范围.
23．（2022下·广东深圳·高一校考阶段练习）如图，，分别是矩形的边和的中点，与交于点N.
(1)设，，试用，表示；
(2)若，，H是线段上的一动点，求的最大值.
参考答案：
1．C
【分析】在和中，利用余弦定理求出和，再利用建立关系式即可求出结果.
【详解】因为，为的中点，，如图，
在中，根据余弦定理可得，，
在中，根据余弦定理可得，，
又因为，所以
故有，得到，即，所以，
故选：C.
2．C
【分析】当在点时，在上的投影向量与同向，且长度最长，所以此时最大，由，，求可得答案.
【详解】如图，
由数量积的几何意义：两向量的数量积等于其中一个向量的模与另一个向量在这个向量的方向上的投影的乘积，及点M是四边形内或边界上的一个动点，则当在点时，在上的投影向量与同向，且长度最长，所以此时最大，
因为，
又，
所以
，
所以的最大值为.
故选：C.
3．B
【分析】结合向量的运算可得，然后由三点共线得，可得答案.
【详解】由题意知：，
又，，即，
由三点共线，可得，即.
故选：B.
4．C
【分析】由P、C、D三点共线及，可求m的值，再用、作基底表示，进而求即可.
【详解】∵，，
即且，
∴，
又C、P、D共线，有，即，
即，而，
∴
∴=.
故选：C
5．A
【分析】由平面向量的数量积运算，结合两角和的正弦公式，求三角函数的最值即可．
【详解】由题意，建立如图所示的坐标系，设扇形半径为，
由，可得，，
设，，
由，可得，，，
所以，整理得：，
则，其中，
所以当时，有最大值．
故选：A．

6．D
【分析】由题设得为正三角形，数形结合及投影向量定义即可得答案.
【详解】由得：为中点，的外接圆圆心为，

则，又，所以，为正三角形，
由投影向量的定义，得向量在向量上的投影向量为.
故选：D
7．B
【分析】对已知等式利用余弦定理统一成边的形式，化简可得，然后同角三角函数的关系和正余弦定理化简可得结果.
【详解】因为，
所以由余弦定理可得，即，
所以
故选：B
8．C
【分析】根据共线向量、向量的模、夹角、投影向量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，是单位向量，方向可能相同或相反，所以可能共线，A选项错误；
B选项，，
而，或，且，
或， B选项错误；
C选项，，
，且，，
的最小值为，C选项正确；
D选项，在上的投影向量为，D选项错误.
故选：C
9．ABD
【分析】画出示意图，由题意确定相应角大小、边长度，利用正余弦定理求、，进而判断各项的正误.
【详解】由题设，，，则，
所以，则海里，A正确；
所以海里，B正确；
由，则，故，灯塔C在D的南偏西方向上，C错误，D正确；
故选：ABD
10．ABC
【分析】由余弦定理求出中的三个角，并结合二倍角公式、正弦定理、面积公式逐一判断各选项.
【详解】由余弦定理，
， ，
对于A，，故A正确；
对于B，，则，又为锐角，
则，故B正确；
对于C，已知，则，由正弦定理，故C正确
对于D，因为，所以，则面积，故错误；
故选：ABC.
11．ABD
【分析】对于A，由余弦函数的性质判断，对于B，由正弦定理分析判断，对于C，由正弦定理统一成角的形式，再化简判断，对于D，利用正弦定理和余弦定理分析判断.
【详解】对于A，因为，，所以，所以为等腰三角形，故正确
对于B，由正弦定理得：，
因为，所以，即，所以或，则三角形有两解，故B正确；
对于C，在中，，由正弦定理得，即，
因为，所以或，即或，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于D，若，由正弦定理得，由余弦定理得，所以为钝角，所以是钝角三角形，故D正确；
故选：ABD．
12．ACD
【分析】由余弦定理、基本不等式可得，进而求最大值，注意取值条件，由已知条件和构成三角形条件有求范围，若为中点，由外心的性质、向量线性关系可得且，即得三角形形状，将化为，根据对应线段位置关系、长度及正弦边角关系、三角恒等变换、正弦函数性质求最值.
【详解】由题设，△的外接圆直径，如下图，过作于，
由，则，
所以，仅当时等号成立，A正确；
由题意，，则，B错误；
若为中点，由，故共线，
又，所以且，故为中垂线，
所以△是等腰三角形，C正确；
由
，
又，则上式，
原式，
由，故时最大值为3，D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：D选项注意应用数量积运算律、及线性关系转化为，进而在三角形中正弦边角关系、得到关于B的函数式，根据其范围求最值.
13．AD
【分析】若 ，可求得,即 ，从而可得的值，故A正确；若 在 上的投影模为 ，且 ，则 或 ，故 B 不正确；对化简运算即可计算得当向量与的夹角为时，结合角的范围可判断C；可得的最大值为 ，故D正确.
【详解】若 ，则 ，则 ，可知，再由，解得，故A正确；
若 在 上的投影向量的模为 ，且 ，则 或，故 B 不正确；
若 ，若 ，则 ，即 ，此时，
但，所以不成立，C错误；
，因为 ，则当 时， 的最大值为 ，故 D 正确，
故选: AD.
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算和应用，考查数量积的运算律，意在考查学生对这些知识的理解与掌握水平，属于较难题.
14．/
【分析】利用向量的数量积求解得到，用余弦定理和基本不等式得到的最小值，此时角C取到最大值，求解得出结果.
【详解】点D为AC边的中点，，
则，即，
因为，所以，
由知，角C为锐角，故，
因为，所以由基本不等式得：，
当且仅当，即时等号成立，此时角C取到最大值，
所以，
故答案为：.
15．＃＃60°
【分析】由余弦定理以及三角形面积公式求解即可.
【详解】由题可知，，
由余弦定理可知，
，，
∵，﹒
故答案为：.
16．
【分析】根据平面向量的数量积运算将问题转化为关于范围的问题，数形结合即可求得结果.
【详解】连接，如图所示：

．
根据图形可知，当点位于正六边形各边的中点时，有最小值为，此时，
当点位于正六边形的顶点时，有最大值为2，此时，
故，即的取值范围是．
故答案为：.
17．
【分析】利用向量加法运算及数量积定义得，然后利用数量积的运算律得，设出向量夹角，从而，利用余弦函数求解最值即可.
【详解】因为，，又点分别是的中点，
所以，所以，
，
又，所以，又点分别是的中点，所以，
因为，所以，
即，设，，则，所以，
所以，
所以当即时，有最大值1，即有最大值为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时注意数量积运算律的应用.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的线性运算直接计算；
（2）利用基底法求向量的数量积.
【详解】（1）由题得,；
（2）已知，,,得
由已知得，
.
19．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由正弦定理边角互化即可求解，
（2）利用余弦定理以及三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）由正弦定理得
；
（2）选①②：，由（1）知：，
由，
又，则，
所以，故.
选②③：，由①知：，
由，则，
由，
故.
选①③：，
，
，
，
由（1）知：，则.
20．(1)海里/时
(2)海里/小时
【分析】（1）利用余弦定理，结合二次函数的性质求解；
（2）利用余弦定理求得的表达式，根据，结合二次函数的性质，求得结果.
【详解】（1）设小艇与轮船在处相遇，相遇时小艇航行的距离为海里，，
则由余弦定理得 ．
当时，（海里），此时（海里/时）．
∴小艇以海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最短．

（2）由题意可知，，
化简得：，
由于，即，所以当时，取得最小值，
即小艇航行速度的最小值为海里/小时．
21．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理化简已知条件，由此求得的值.
（2）利用余弦定理以及三角恒等变换的知识判断出三角形的形状，由此求得的面积.
【详解】（1）依题意，，
由余弦定理得，
整理得，
由于三角形是锐角三角形，所以，则.
（2）由，
得，
，当且仅当时等号成立，
则，所以，
由于为锐角，所以，此时，
所以三角形是等边三角形，所以.
22．（1）；（2）证明见解析；（3）.
【分析】（1）利用三角形重心的性质，又，即可求.
（2）设、，由题设得、，而共线则有，由，列方程确定的关系，进而求证结论；
（3）由，结合（2）的结论及二次函数的性质，即可求范围.
【详解】
（1）为的重心，若延长交于，则是的中点，
∴，而，即，
∴.
（2）设，，又，
∴，，由共线，则有，
∵，，
∴，又，
综上，，
∴，即，可得，
∴，则得证.
（3）由（2）知：，而，
∴.
23．(1)
(2)
【分析】（1）引入，重新整理得出和这组基底的关系；
（2）以A为原点，AB，AD分别为x， y轴，建立平面坐标系，借助的方程，化为关于的表达式，从而利用二次函数性质求最值.
【详解】（1）取AC的中点O，连OE，OF则，
因为，
所以.
（2）以A为原点，AB，AD分别为x， y轴，建立直角坐标系，
则，，，，
直线的方程为：，
设，
则，，
所以，
当时等号成立.
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