2024年高一数学第一章向量解答题专项训练卷1

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2024年高一数学第一章 向量 解答题专项1
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．（2023下·广东深圳·高一深圳市龙华中学校考期中）山顶有一座石塔，已知石塔的高度为.
(1)如图，若以，为观测点，在塔顶处测得地面上一点A的俯角为，在塔底处测得A处的俯角为，求山的高度.

(2)如图，若将观测点选在地面的直线上，其中是塔顶在地面上的正投影，当观测点在上满足时，看的视角（即点与点仰角的差）最大，求山的高度.

2．（2023下·广东深圳·高一校考期中）已知，.
(1)求；
(2)求在方向上的投影向量（用坐标表示）.
3．（2023下·广东深圳·高一校考期中）在锐角中，内角、、所对的边分别为、、，已知.
(1)求的值；
(2)若，求的面积.
4．（2023下·广东深圳·高一校考期中）某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口北偏西且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以海里/时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇．试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最短，则小艇航行速度为多少？
(2)若保证小艇在30分钟内（含30分钟）与轮船相遇，试求小艇航行速度的最小值．
5．（2023下·广东深圳·高一校考期中）如图，在中，，， ，.
(1)求
(2)求的面积.
6．（2023下·广东深圳·高一统考期末）在中，角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)若，，求的面积.
7．（2023下·广东深圳·高一校联考期中）已知的内角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)从下列①②③中选择两个作为条件，证明另外一个条件成立：
①；②；③.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
8．（2023下·广东深圳·高一深圳市光明区高级中学统考期中）已知锐角的内角的对边分别为，.
(1)求；
(2)若，求面积的取值范围.
9．（2023下·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期中）已知的内角的对边分别为，．
(1)求的大小；
(2)若且的面积为，求的值．
10．（2023下·广东深圳·高一翠园中学校考期中）如图所示，中，，，点、是线段（含端点）上的动点，始终保持不变，设.
(1)当时，求线段和的长以及的周长；
(2)问为何值时，的面积最小？最小面积是多少？
(3)求线段长的最小值.
参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）由已知条件可得，，利用正弦定理得到，再利用即可得出结果；
（2）设，先求出，，再利用两角差的正切公式得到，最后利用基本不等式即可得出结果.
【详解】（1）在中，，，
由正弦定理，
可得，
则，
又因为，
所以.
（2）设，
因为，，
则
，
当且仅当，即时，最大，从而最大，
由题意可得，解得.
2．(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的坐标运算以及向量模的计算公式，即可求得答案；
（2）求得以及，根据投影向量的定义即可求得答案.
【详解】（1）由题意知，，
故，则；
（2）由题意得，，
故在方向上的投影向量为.
3．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理化简已知条件，由此求得的值.
（2）利用余弦定理以及三角恒等变换的知识判断出三角形的形状，由此求得的面积.
【详解】（1）依题意，，
由余弦定理得，
整理得，
由于三角形是锐角三角形，所以，则.
（2）由，
得，
，当且仅当时等号成立，
则，所以，
由于为锐角，所以，此时，
所以三角形是等边三角形，所以.
4．(1)海里/时
(2)海里/小时
【分析】（1）利用余弦定理，结合二次函数的性质求解；
（2）利用余弦定理求得的表达式，根据，结合二次函数的性质，求得结果.
【详解】（1）设小艇与轮船在处相遇，相遇时小艇航行的距离为海里，，
则由余弦定理得 ．
当时，（海里），此时（海里/时）．
∴小艇以海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最短．

（2）由题意可知，，
化简得：，
由于，即，所以当时，取得最小值，
即小艇航行速度的最小值为海里/小时．
5．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理求解的长即可；
（2）利用正弦定理得计算得，，再利用为直角三角形，计算的长,结合面积公式求解即可.
【详解】（1）在中，由余弦定理有，
所以，即，
解得或（舍），所以.
（2）由（1）得，在中，
由正弦定理有，得，，
所以，，
又，则为直角三角形，
所以，即，故，
所以.
6．(1)
(2)
【分析】（1）首先根据正弦定理边角互化，再根据三角恒等变换，计算求得角；
（2）根据条件结合余弦定理计算边，再代入面积公式计算即可.
【详解】（1）因为中，，
由正弦定理可得，
得，
因为，所以，因为，所以.
（2）由余弦定理得，
因为，，所以，所以，
因为，所以，，
所以的面积为.
7．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由正弦定理边角互化即可求解，
（2）利用余弦定理以及三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）由正弦定理得
；
（2）选①②：，由（1）知：，
由，
又，则，
所以，故.
选②③：，由①知：，
由，则，
由，
故.
选①③：，
，
，
，
由（1）知：，则.
8．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和三角函数的基本关系式，化简得到，求得，即可求解；
（2）由（1）和是锐角三角形，求得，利用三角形面积公式和正弦定理，得到，结合正切函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：由正弦定理可得，
又由 ，
因为，可得，
因为，可得，所以，
又因为，所以.
（2）解：因为是锐角三角形，由（1）知且，可得，
因为，所以，
由三角形面积公式得
又由正弦定理且，
所以，
因为，所以，所以，
所以，即面积的取值范围为.
9．(1)；
(2).
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再借助和角的正弦化简求解.
（2）利用三角形面积公式求出，利用余弦定理求出，再利用正弦定理求解作答.
【详解】（1）在中，由正弦定理及，得，
即有，，
整理得，而，因此，又，
所以.
（2）因为，由（1）知，则，
由余弦定理得，即，
于是，由正弦定理得，，
所以.
10．(1)，，
(2)，
(3)
【分析】（1）在中，由正弦定理求得，在中，，可得，在中，由余弦定理求得，即可得出的周长；
（2）在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，利用三角形的面积公式得 ，结合三角函数的性质可得答案；
（3）在中求得边上的高，而，结合（2）中结论即可得出的最小值.
【详解】（1）在中，，，,
，
由正弦定理，得，所以，
在中，，
，所以，
在中，由余弦定理，得
，
，则的周长为 .
（2）在中，由正弦定理，得，所以，
在中，由正弦定理，得，所以，
在中，已知，
∴当时，取得最小值，此时
（3）在中，，，易求得边上的高，
，由（2）知，，
，当时取等号，所以的最小值为.
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