人教版八年级数学下册第十六章《二次根式》单元通关试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学下册第十六章《二次根式》单元通关试卷（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-20 17:40:09 | ||
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文档简介
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人教版八年级数学下册第十六章《二次根式》单元通关试卷（含解析）
选择题（本大题共有12个小题，每小题3分，共36分）
1．计算×的结果是（ ）
A． B．8 C．4 D．±4
2．下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4． 已知，则以下对的估算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列各组二次根式中，能进行合并的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
6．下列各式，化简后能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ）
A．1 B． C． D．
8．若＝a﹣2，则a与2的大小关系是（ ）
A．a＝2 B．a＞2 C．a≤2 D．a≥2
9．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ）
A．x<-3 B．x≥-3 C．x>2 D．x≥-3，且x≠2
10．化简二次根式的结果为（ ）
A．﹣2a B．2a C．2a D．﹣2a
11．计算的结果是（ ）
A．1 B．-1 C． D．
12．的整数部分是（ ）
A．3 B．5 C．9 D．6
填空题（本大题共有8个小题，每小题3分，共24分）
13．计算：＝ ．
14．比较大小： （填入“＜”或“＞”）．
15．如果实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么＝ ．
16．使代数式有意义的x取值范围是 ．
17．计算若，那么a2023 ＋b2024= ．
18．已知x，y为实数，且 ，则 的值为 .
19．化简 ．
观察下列各式：请你找出其中规律，
，，，
并将第个等式写出来 ．
三、解答题（本大题共有6个小题，共40分）
21．计算：
22．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，
化简.
23．计算：
(1)－4＋÷；
(2)(1－)(1＋)＋(1＋)2.
24．阅读理解题.
；
；
.
试求：（1） .
（2）= .
（3）= .（n为正整数）
25 .课堂上老师讲解了比较和的方法，观察发现11-10=15-14=1，
于是比较这两个数的倒数：
，
，
因为>，所以>，
则有<.
请你设计一种方法比较与的大小.
26 .阅读材料：小明在学习二次根式后，
发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，
如3+2＝(1+)2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝(m+n)2(其中a、b、m、n均为整数)，则有a+b＝m2+2n2+2mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝(m+n)2，
用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
利用探索的结论，找一组正整数a、b、m、n (a、b都不超过20)
填空： + ＝( + )2；
若a+6＝(m+n)2，且a、m、n均为正整数，求a的值？
人教版八年级数学下册第十六章《二次根式》单元通关试卷 解析
一、选择题（本大题共有12个小题，每小题3分，共36分）
1．计算×的结果是（ ）
A． B．8 C．4 D．±4
【答案】C
【分析】根据二次根式乘法法则进行计算即可.
【详解】原式=
=
=4，
故选：C.
2．下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
【详解】A．2，故本选项错误；
B．4，故本选项错误；
C．，故本选项错误；
D．，故本选项正确．
故选D．
3．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】（A）＝2，是4的算术平方根，为正2，故A错；
（B）由平方差公式，可得：＝3，正确．
（C）＝2，故错；
（D）、没有意义，故错；
选C．
4．已知，则以下对的估算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查无理数的估算，掌握二次根式的性质化简，二次根式大小的估算方法是解题的关键．根据，即可求解．
【详解】解：∵，即，
∴，即，
故选：．
5．下列各组二次根式中，能进行合并的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】B
【分析】将各选项的二次根式化成最简二次根式后，根据被开方数相同的是同类二次根式，即可以合并，判断即可．
【详解】解：A、和不能合并，不符合题意；
B、和能合并，符合题意；
C、和不能合并，不符合题意；
D、和不能合并，不符合题意．
故选：B．
6．下列各式，化简后能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同类二次根式的定义即可求出答案．
【详解】解：与是同类二次根式即可合并，
由于=2，2与是同类二次根式，
∴2与可以合并，
故选C．
7．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】从数轴上可以看出，0＜a＜1，所以1-a＞0，
进一步根据绝对值的意义和二次根式的运算化简即可．
【详解】解：由数轴可得：0＜a＜1，
∴1-a＞0，
∴
=1-a+a
=1．
故选：A．
8．若＝a﹣2，则a与2的大小关系是（ ）
A．a＝2 B．a＞2 C．a≤2 D．a≥2
【答案】D
【分析】由==，可知0，即2.
【详解】由==，可知0，即2，故选D.
【点睛】此题主要考查去绝对值的运算.
9．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ）
A．x<-3 B．x≥-3 C．x>2 D．x≥-3，且x≠2
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得到x+3≥0且x-2≠0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】根据题意得x+30且x 2≠0，
所以x的取值范围为x 3且x≠2.
故答案选D.
10．化简二次根式的结果为（ ）
A．﹣2a B．2a C．2a D．﹣2a
【答案】A
【分析】利用根式化简即可解答.
【详解】解：∵﹣8a3≥0，
∴a≤0
∴＝2|a|
＝﹣2a
故选A．
11．计算的结果是（ ）
A．1 B．-1 C． D．
【答案】C
【分析】由题意根据二次根式有意义的条件得到x≤2，根据二次根式的性质即可求出答案．
【详解】解：由题意得：2-x≥0，
解得：x≤2，
=2-x+|x-3|
=2-x-（x-3）
=2-x-x+3
=5-2x
故选：C．
12．的整数部分是（ ）
A．3 B．5 C．9 D．6
【答案】C
【详解】解：∵=﹣1，=﹣…=﹣+，
∴原式=﹣1+﹣+…﹣+=﹣1+10=9．
故选C．
填空题（本大题共有8个小题，每小题3分，共24分）
13．计算：＝ ．
【答案】3
【分析】直接利用二次根式乘法法则进行计算即可.
【详解】＝=3，
故答案为3.
14．比较大小： （填入“＜”或“＞”）．
【答案】＞
【分析】根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可判断.
【详解】解：∵＝，＝，，
∴>，
即>；
故答案为：>．
15．如果实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么＝ ．
【答案】2b-a
【分析】由数轴知a＜0＜b且|a|＜|b|，据此得a-b＜0，再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简可得．
【详解】由数轴知a＜0＜b，且|a|＜|b|，
则a-b＜0，
∴+=|a-b|+|b|
=b-a+b
=2b-a，
故答案为2b-a．
16．使代数式有意义的x取值范围是 ．
【答案】且
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，
分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案．
【详解】解：，，
且．
故答案为：且．
17．计算若，那么a2023 ＋b2024= ．
【答案】0
【分析】根据二次根式和绝对值的非负数性质可求出a、b的值，进而可得答案.
【详解】∵，
∴(a+1)2=0，b-1=0，
解得：a=-1，b=1，
∴a2023+b2024=-1+1=0，
故答案为：0
18．已知x，y为实数，且 ，则 的值为 .
【答案】
【详解】由题意得，x=1,y=2,所以.
故答案为
19．化简 ．
【答案】+1
【分析】先将用完全平方式表示,再根据进行化简即可.
【详解】因为,
所以,
故答案为:.
20 .观察下列各式：请你找出其中规律，
，，，
并将第个等式写出来 ．
【答案】
【分析】根据等式的左边，根号内为加上，等式的右边，
根号外的数字为，根号内的数字为，找到规律即可求解．
【详解】解：由，，，
则第个等式为：，
故答案为：
三、解答题（本大题共有6个小题，共40分）
21．计算：
【答案】
【分析】根据绝对值的性质、二次根式的乘法法则、负整数指数幂的性质、
零指数幂的性质分别计算各项后，再化简合并即可．
【详解】解：原式=，
，
．
22．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，
化简.
【答案】b-a+2c
【分析】根据数轴得出a-b＜0，b+c＜0，b-c>0，进而化简得出即可．
【详解】解：
=
=b-a+b+c-b+c
=b-a+2c
23．计算：
(1)－4＋÷；
(2)(1－)(1＋)＋(1＋)2.
【答案】(1) 3；(2) 2＋2.
【分析】（1）先利用二次根式的除法法则计算，再把各二次根式化为最简二次根式，
然后合并即可;(2)利用平方差公式和完全平方公式化简合并即可.
【详解】(1)原式＝3－2＋
＝3－2＋2
＝3；
(2)原式＝1－5＋1＋2＋5
＝2＋2.
24．阅读理解题.
；
；
.
试求：（1） .
（2）= .
（3）= .（n为正整数）
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】观察算式可以发现，用平方差公式完成分母有理化，
即相邻两数平方根的和的倒数等于这两个数的平方根的差，
根据这个规律即可得出各个算式的值.
【详解】（1）；
（2）；
（3）.
25 .课堂上老师讲解了比较和的方法，观察发现11-10=15-14=1，
于是比较这两个数的倒数：
，
，
因为>，所以>，
则有<.
请你设计一种方法比较与的大小.
【答案】方法见解析.
【详解】【分析】观察可知8+3=6+5，因此可以利用两数平方进行比较进而得出答案．
【详解】 ，
，
∵，
∴，
∵， ，
∴ .
26 .阅读材料：小明在学习二次根式后，
发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，
如3+2＝(1+)2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝(m+n)2(其中a、b、m、n均为整数)，则有a+b＝m2+2n2+2mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝(m+n)2，
用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
利用探索的结论，找一组正整数a、b、m、n (a、b都不超过20)
填空： + ＝( + )2；
若a+6＝(m+n)2，且a、m、n均为正整数，求a的值？
【答案】（1）；（2）8，2，1，1（答案不唯一）；（3）12或28.
【分析】（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；
（2）首先确定好m、n的正整数值，然后根据（1）的结论即可求出a、b的值；
（3）根据题意，6=2mn，首先确定m、n的值，
通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a的值．
【详解】(1)∵a+b=(m+n)2，
∴a+b=m2+5n2+2mn，
∴a=m2+5n2，b=2mn.
故答案为m2+5n2，2mn.
(2)设m=1，n=1，
∴a= m2+7n2=61，b=2mn=2.
故答案为8、2、1、1.
(3)由题意，得：
a=m2+3n2，b=2mn，
∵6=2mn，且m、n为正整数，
∴m=3，n=1或者m=1，n=3，
∴a=32+3×12=12，或a=12+3×32=28.
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人教版八年级数学下册第十六章《二次根式》单元通关试卷（含解析）
选择题（本大题共有12个小题，每小题3分，共36分）
1．计算×的结果是（ ）
A． B．8 C．4 D．±4
2．下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4． 已知，则以下对的估算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列各组二次根式中，能进行合并的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
6．下列各式，化简后能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ）
A．1 B． C． D．
8．若＝a﹣2，则a与2的大小关系是（ ）
A．a＝2 B．a＞2 C．a≤2 D．a≥2
9．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ）
A．x<-3 B．x≥-3 C．x>2 D．x≥-3，且x≠2
10．化简二次根式的结果为（ ）
A．﹣2a B．2a C．2a D．﹣2a
11．计算的结果是（ ）
A．1 B．-1 C． D．
12．的整数部分是（ ）
A．3 B．5 C．9 D．6
填空题（本大题共有8个小题，每小题3分，共24分）
13．计算：＝ ．
14．比较大小： （填入“＜”或“＞”）．
15．如果实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么＝ ．
16．使代数式有意义的x取值范围是 ．
17．计算若，那么a2023 ＋b2024= ．
18．已知x，y为实数，且 ，则 的值为 .
19．化简 ．
观察下列各式：请你找出其中规律，
，，，
并将第个等式写出来 ．
三、解答题（本大题共有6个小题，共40分）
21．计算：
22．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，
化简.
23．计算：
(1)－4＋÷；
(2)(1－)(1＋)＋(1＋)2.
24．阅读理解题.
；
；
.
试求：（1） .
（2）= .
（3）= .（n为正整数）
25 .课堂上老师讲解了比较和的方法，观察发现11-10=15-14=1，
于是比较这两个数的倒数：
，
，
因为>，所以>，
则有<.
请你设计一种方法比较与的大小.
26 .阅读材料：小明在学习二次根式后，
发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，
如3+2＝(1+)2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝(m+n)2(其中a、b、m、n均为整数)，则有a+b＝m2+2n2+2mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝(m+n)2，
用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
利用探索的结论，找一组正整数a、b、m、n (a、b都不超过20)
填空： + ＝( + )2；
若a+6＝(m+n)2，且a、m、n均为正整数，求a的值？
人教版八年级数学下册第十六章《二次根式》单元通关试卷 解析
一、选择题（本大题共有12个小题，每小题3分，共36分）
1．计算×的结果是（ ）
A． B．8 C．4 D．±4
【答案】C
【分析】根据二次根式乘法法则进行计算即可.
【详解】原式=
=
=4，
故选：C.
2．下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质化简即可．
【详解】A．2，故本选项错误；
B．4，故本选项错误；
C．，故本选项错误；
D．，故本选项正确．
故选D．
3．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】（A）＝2，是4的算术平方根，为正2，故A错；
（B）由平方差公式，可得：＝3，正确．
（C）＝2，故错；
（D）、没有意义，故错；
选C．
4．已知，则以下对的估算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查无理数的估算，掌握二次根式的性质化简，二次根式大小的估算方法是解题的关键．根据，即可求解．
【详解】解：∵，即，
∴，即，
故选：．
5．下列各组二次根式中，能进行合并的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】B
【分析】将各选项的二次根式化成最简二次根式后，根据被开方数相同的是同类二次根式，即可以合并，判断即可．
【详解】解：A、和不能合并，不符合题意；
B、和能合并，符合题意；
C、和不能合并，不符合题意；
D、和不能合并，不符合题意．
故选：B．
6．下列各式，化简后能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同类二次根式的定义即可求出答案．
【详解】解：与是同类二次根式即可合并，
由于=2，2与是同类二次根式，
∴2与可以合并，
故选C．
7．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】从数轴上可以看出，0＜a＜1，所以1-a＞0，
进一步根据绝对值的意义和二次根式的运算化简即可．
【详解】解：由数轴可得：0＜a＜1，
∴1-a＞0，
∴
=1-a+a
=1．
故选：A．
8．若＝a﹣2，则a与2的大小关系是（ ）
A．a＝2 B．a＞2 C．a≤2 D．a≥2
【答案】D
【分析】由==，可知0，即2.
【详解】由==，可知0，即2，故选D.
【点睛】此题主要考查去绝对值的运算.
9．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（ ）
A．x<-3 B．x≥-3 C．x>2 D．x≥-3，且x≠2
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得到x+3≥0且x-2≠0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】根据题意得x+30且x 2≠0，
所以x的取值范围为x 3且x≠2.
故答案选D.
10．化简二次根式的结果为（ ）
A．﹣2a B．2a C．2a D．﹣2a
【答案】A
【分析】利用根式化简即可解答.
【详解】解：∵﹣8a3≥0，
∴a≤0
∴＝2|a|
＝﹣2a
故选A．
11．计算的结果是（ ）
A．1 B．-1 C． D．
【答案】C
【分析】由题意根据二次根式有意义的条件得到x≤2，根据二次根式的性质即可求出答案．
【详解】解：由题意得：2-x≥0，
解得：x≤2，
=2-x+|x-3|
=2-x-（x-3）
=2-x-x+3
=5-2x
故选：C．
12．的整数部分是（ ）
A．3 B．5 C．9 D．6
【答案】C
【详解】解：∵=﹣1，=﹣…=﹣+，
∴原式=﹣1+﹣+…﹣+=﹣1+10=9．
故选C．
填空题（本大题共有8个小题，每小题3分，共24分）
13．计算：＝ ．
【答案】3
【分析】直接利用二次根式乘法法则进行计算即可.
【详解】＝=3，
故答案为3.
14．比较大小： （填入“＜”或“＞”）．
【答案】＞
【分析】根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可判断.
【详解】解：∵＝，＝，，
∴>，
即>；
故答案为：>．
15．如果实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么＝ ．
【答案】2b-a
【分析】由数轴知a＜0＜b且|a|＜|b|，据此得a-b＜0，再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简可得．
【详解】由数轴知a＜0＜b，且|a|＜|b|，
则a-b＜0，
∴+=|a-b|+|b|
=b-a+b
=2b-a，
故答案为2b-a．
16．使代数式有意义的x取值范围是 ．
【答案】且
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，
分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案．
【详解】解：，，
且．
故答案为：且．
17．计算若，那么a2023 ＋b2024= ．
【答案】0
【分析】根据二次根式和绝对值的非负数性质可求出a、b的值，进而可得答案.
【详解】∵，
∴(a+1)2=0，b-1=0，
解得：a=-1，b=1，
∴a2023+b2024=-1+1=0，
故答案为：0
18．已知x，y为实数，且 ，则 的值为 .
【答案】
【详解】由题意得，x=1,y=2,所以.
故答案为
19．化简 ．
【答案】+1
【分析】先将用完全平方式表示,再根据进行化简即可.
【详解】因为,
所以,
故答案为:.
20 .观察下列各式：请你找出其中规律，
，，，
并将第个等式写出来 ．
【答案】
【分析】根据等式的左边，根号内为加上，等式的右边，
根号外的数字为，根号内的数字为，找到规律即可求解．
【详解】解：由，，，
则第个等式为：，
故答案为：
三、解答题（本大题共有6个小题，共40分）
21．计算：
【答案】
【分析】根据绝对值的性质、二次根式的乘法法则、负整数指数幂的性质、
零指数幂的性质分别计算各项后，再化简合并即可．
【详解】解：原式=，
，
．
22．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，
化简.
【答案】b-a+2c
【分析】根据数轴得出a-b＜0，b+c＜0，b-c>0，进而化简得出即可．
【详解】解：
=
=b-a+b+c-b+c
=b-a+2c
23．计算：
(1)－4＋÷；
(2)(1－)(1＋)＋(1＋)2.
【答案】(1) 3；(2) 2＋2.
【分析】（1）先利用二次根式的除法法则计算，再把各二次根式化为最简二次根式，
然后合并即可;(2)利用平方差公式和完全平方公式化简合并即可.
【详解】(1)原式＝3－2＋
＝3－2＋2
＝3；
(2)原式＝1－5＋1＋2＋5
＝2＋2.
24．阅读理解题.
；
；
.
试求：（1） .
（2）= .
（3）= .（n为正整数）
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】观察算式可以发现，用平方差公式完成分母有理化，
即相邻两数平方根的和的倒数等于这两个数的平方根的差，
根据这个规律即可得出各个算式的值.
【详解】（1）；
（2）；
（3）.
25 .课堂上老师讲解了比较和的方法，观察发现11-10=15-14=1，
于是比较这两个数的倒数：
，
，
因为>，所以>，
则有<.
请你设计一种方法比较与的大小.
【答案】方法见解析.
【详解】【分析】观察可知8+3=6+5，因此可以利用两数平方进行比较进而得出答案．
【详解】 ，
，
∵，
∴，
∵， ，
∴ .
26 .阅读材料：小明在学习二次根式后，
发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，
如3+2＝(1+)2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝(m+n)2(其中a、b、m、n均为整数)，则有a+b＝m2+2n2+2mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝(m+n)2，
用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
利用探索的结论，找一组正整数a、b、m、n (a、b都不超过20)
填空： + ＝( + )2；
若a+6＝(m+n)2，且a、m、n均为正整数，求a的值？
【答案】（1）；（2）8，2，1，1（答案不唯一）；（3）12或28.
【分析】（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；
（2）首先确定好m、n的正整数值，然后根据（1）的结论即可求出a、b的值；
（3）根据题意，6=2mn，首先确定m、n的值，
通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a的值．
【详解】(1)∵a+b=(m+n)2，
∴a+b=m2+5n2+2mn，
∴a=m2+5n2，b=2mn.
故答案为m2+5n2，2mn.
(2)设m=1，n=1，
∴a= m2+7n2=61，b=2mn=2.
故答案为8、2、1、1.
(3)由题意，得：
a=m2+3n2，b=2mn，
∵6=2mn，且m、n为正整数，
∴m=3，n=1或者m=1，n=3，
∴a=32+3×12=12，或a=12+3×32=28.
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