(共26张PPT)
5.1.2（2） 垂线
人教版 七年级下册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
教材分析
垂线是平面几何所要研究的基本内容之一，垂线的概念，画法和性质是重要的基础知识，是进一步学习平面直角坐标系、三角形的高、切线的性质和判定、以及空间里的垂直关系等知识的基础，与其他数学知识一样，它在现实生活中有着广泛的应用。垂线的概念和性质，蕴含着“从一般到特殊”的认识规律，是培养学生思维能力的重要内容之一。
教学目标
1.理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离
2.掌握垂线的两个性质
新知导入
在灌溉时，要把河中的水引到农田 P 处，如何挖掘能使渠道最短？请转化成数学问题并找出最短的位置.
新知讲解
一、点到直线的距离
挖渠问题可转化为数学问题，如图，寻找点P到直线l最短线段
P
l
新知讲解
一、点到直线的距离
(1)如图,连接直线l外一点P与直线l上各点O,A1, A2,A3,…,其中PO⊥l(我们称PO为点P到直线l的垂线段).比较线段PO,PA1,PA2,PA3,…的长短,你有什么发现
【提问】
解:(1)所连线段的长度有长有短.
P
A1
A2
A3
A4
O
A5
A6
新知讲解
一、点到直线的距离
(2)点P与直线l上的点所连的线段中,最短的是 .为什么
【提问】
解: (2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.
PO=1.8cm
PA1=1.9cm
PA2=2.1cm
PA3=2.6cm
P
l
O
A1
A2
A3
…
新知讲解
在灌溉时，要把河中的水引到农田 P 处，如何挖掘能使渠道最短？请转化成数学问题并找出最短的位置.
垂线段最短
新知讲解
一、点到直线的距离
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
简单说成：垂线段最短．
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.
P
A1
A2
A3
A4
O
A5
A6
线段PO的长度，叫做点到直线的距离
新知讲解
二、垂线、垂线段和点到直线的距离这三个概念的区别与联系
区别:垂线是一条直线;垂线段是一条线段;点到直线的距离是垂线段的长度,是一个数量,不能说垂线段是点到直线的距离。
联系:它们都与垂直有关。
典例分析
例1：
如图，三角形ABC 中，∠C＝90°.
（1）分别指出点 A 到直线 BC，点 B 到直线 AC 的距离是哪些线段的长；
（2）三条边AB，AC，BC中哪条边最长 为什么
解：（1）点A到直线BC的距离、点B到直线 AC的距离分别是线段AC，BC的长;
（2）根据“垂线段最短”，可知线段AB最长.
A
C
B
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1. 下列图形中线段PQ的长度表示点P到直线a的距离的是( )
C
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
2. 如图，BC⊥AC，CD⊥AB，AB＝m，CD＝n，则AC长的取值范围是( )
A．AC
n C．n≤AC≤m D．nD
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是( )
A．运动会上裁判员测量跳远成绩时，其中数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
B．两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短
C．把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线
D．从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
A
课堂练习
【知识技能类作业】
选做题：
4. 如图，点 A 表示小明家，点 B 表示外婆家，小明想去河边 l 钓鱼，需要先到外婆家拿渔具，请你帮小明规划出最短的行走路线，并说明理由．
解：如图，连接AB，过点B作BC⊥ l ，垂足为C，则A—B—C即为最短的行走路线.
理由：①两点之间，线段最短；②垂线段最短.
A
B
l
C
课堂练习
【综合实践类作业】
5. 如图，要把水渠中的水引到C点，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由．
解：如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，
在D处开沟，则沟最短．
因为直线外一点与直线上各点连线的所有线段中，垂线段最短．
课堂总结
1.点到直线距离的意义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.
2.垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．
3.垂线、垂线段和点到直线的距离这三个概念的区别与联系：区别:垂线是一条直线;垂线段是一条线段;点到直线的距离是垂线段的长度,是一个数量,不能说垂线段是点到直线的距离。联系:它们都与垂直有关。
板书设计
5.1.2（2） 垂线
垂线
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的 长度,叫做点到直线的距离.
垂线性质2：垂线段最短
垂线、垂线段和点到直线的距离这三个概念的区别与联系
作业布置
【知识技能类作业】
1.如图,P是直线l外一点,从点P向直线l引PA,PB,PC,PD四条线段,其中PB与直线l垂直,这四条线段中长度最短的是( )
A.PA B.PB
C.PC D.PD
B
作业布置
【知识技能类作业】
2. P为直线m外一点,A,B,C为直线m上三点,PA=4 cm,PB=5cm, PC=6 cm,则点P到直线m的距离 ( )
A.等于5 cm B.等于4 cm
C.小于4 cm D.不大于4 cm
D
作业布置
【知识技能类作业】
3.如图,点P到一条笔直的公路MN共有四条路径,若要用相同速度从点P走到公路,则最快到达的路径是线段PB,这一选择用到的数学知识是 .
垂线段最短
作业布置
【综合实践类作业】
4. 如图①，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池.
（1）不考虑其他因素，请你画图
确定蓄水池 H 的位置，使它到四
个村庄距离之和最小；
（2）计划把河水引人蓄水池 H 中，
怎样开渠最短？请说明依据.
作业布置
【综合实践类作业】
解:（1）如图，因为“两点之间，线段最短”，所以连接 AD，BC 交于点 H ，则点 H 为蓄水池的位置，它到四个村庄的距离之和最小.
（2）如图，过点 H 作 HG ⊥ EF ，垂足为 G，沿线段 GH 开渠最短，依据是“垂线段最短”.
H
G
谢谢
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分课时教学设计
第二课时《5.1.2（2）垂线》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 垂线是平面几何所要研究的基本内容之一，垂线的概念，画法和性质是重要的基础知识，是进一步学习平面直角坐标系、三角形的高、切线的性质和判定、以及空间里的垂直关系等知识的基础，与其他数学知识一样，它在现实生活中有着广泛的应用。垂线的概念和性质，蕴含着“从一般到特殊”的认识规律，是培养学生思维能力的重要内容之一。
学习者分析 七上学习了“直线、射线、线段”，“角”的有关知识，在上一节课学会了垂线的概念及垂线的画法，并知道了垂线的第一个性质，为继续学习垂线第二个性质准备了必要的知识。 七年级的学生是由儿童期向青少年期过渡的阶段，他具有年龄小、好动、思维简单、求知欲强的特点。
教学目标 1.理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离 2.掌握垂线的两个性质
教学重点 “垂线段最短”的性质,点到直线的距离
教学难点 对点到直线的距离的概念的理解
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 在灌溉时，要把河中的水引到农田 P 处，如何挖掘能使渠道最短？请转化成数学问题并找出最短的位置. 学生活动1： 学生观察图片，使用已有经验解决问题。活动意图说明： 数学与实际相结合可激发学生学习兴趣，使之快速进入课堂，集中注意力。以此引出本节课课题。环节二：新知讲解教师活动2： 一、点到直线的距离 挖渠问题可转化为数学问题，如图，寻找点P到直线l最短线段 提问：(1)如图,连接直线l外一点P与直线l上各点O,A1, A2,A3,…,其中PO⊥l(我们称PO为点P到直线l的垂线段).比较线段PO,PA1,PA2,PA3,…的长短,你有什么发现 (2)点P与直线l上的点所连的线段中,最短的是 .为什么 概念：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 简单说成：垂线段最短． 直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离. 学生活动2： 学生动手操作探究点P到直线l最短线段 学生独立思考，根据以往经验，可知(1)所连线段的长度有长有短.(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短. 组织学生进行讨论，并选小组代表发言，其他小组补充。 学生总结 学生掌握垂线性质活动意图说明： 在本活动通过学生独立思考，可提高学生自信心，掌握知识更深刻。通过小组讨论，可提高学生分析问题、解决问题的能力，以及提高团队合作的意识环节三：新知讲解教师活动3： 垂线、垂线段和点到直线的距离这三个概念的区别与联系 区别:垂线是一条直线;垂线段是一条线段;点到直线的距离是垂线段的长度,是一个数量,不能说垂线段是点到直线的距离。 联系:它们都与垂直有关。学生活动3： 组织学生小组讨论，学生作答并总结。老师补充。 对学生进行多元化评价活动意图说明： 本活动通过小组讨论，使学生认识到团队合作的重要性，提高合作意识与语言表达能力，逻辑整合能力。环节四：典例分析教师活动4： 例1如图，三角形ABC 中，∠C＝90°. （1）分别指出点 A 到直线 BC，点 B 到直线 AC 的距离是哪些线段的长； （2）三条边AB，AC，BC中哪条边最长 为什么 解：（1）点A到直线BC的距离、点B到直线 AC的距离分别是线段AC，BC的长; （2）根据“垂线段最短”，可知线段AB最长.学生活动4： 学生完成此题的解答，加深点到直线距离的理解。 学生熟练掌握垂线性质应用活动意图说明： 培养学生应用数学的能力，加深记忆。
板书设计 5.1.2（2） 垂线 垂线
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1. 下列图形中线段PQ的长度表示点P到直线a的距离的是( C ) 22. 如图，BC⊥AC，CD⊥AB，AB＝m，CD＝n，则AC长的取值范围是( D ) A．ACn C．n≤AC≤m D．n作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图,P是直线l外一点,从点P向直线l引PA,PB,PC,PD四条线段,其中PB与直线l垂直,这四条线段中长度最短的是( B ) A.PA B.PB C.PC D.PD 2. P为直线m外一点,A,B,C为直线m上三点,PA=4 cm,PB=5cm, PC=6 cm,则点P到直线m的距离 ( D ) A.等于5 cm B.等于4 cm C.小于4 cm D.不大于4 cm 选做题： 3. 如图,点P到一条笔直的公路MN共有四条路径,若要用相同速度从点P走到公路,则最快到达的路径是线段PB,这一选择用到的数学知识是垂线段最短 . 【综合拓展类作业】 4. 如图①，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池. （1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池 H 的位置，使它到四个村庄距离之和最小； （2）计划把河水引入蓄水池 H 中，怎样开渠最短？请说明依据. 解:（1）如图，因为“两点之间，线段最短”，所以连接 AD，BC 交于点 H ，则点 H 为蓄水池的位置，它到四个村庄的距离之和最小. （2）如图，过点 H 作 HG ⊥ EF ，垂足为 G，沿线段 GH 开渠最短，依据是“垂线段最短”.
教学反思 有效的数学学习过程不能是单纯的依赖模仿与记忆，因此在教学过程中，教师引导学生主动地从事猜想、观察、试验、验证、交流等数学活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略，使学生学会探索，学会学习。 在教学中有意识、有计划地设计教学活动，引导学生体会数学间的内在联系，感受数学的整体性，丰富学生的知识体系，提高学生解决问题的能力。
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学 科 数学 年 级 七 设计者
教材版本 人教版 册、章 下册第五单元
课标要求 1.理解补角、余角、对顶角、等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等；2.理解垂线、垂线段等概念，能用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线；3.能用尺规作图：作一条线段的垂直平分线，过一点作已知直线的垂线；4.掌握基本事实：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；5.理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离；6.识别同位角、内错角、同旁内角；7.理解平行线的概念；8.掌握平行线基本事实Ⅰ:过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。9.掌握平行线基本事实Ⅱ:两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。10.探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等(或同旁内角互补)，那么这两条直线平行。11.掌握平行线的性质定理Ⅰ:两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。12.探索并证明平行线的性质定理Ⅱ:两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等(或同旁内角互补)。13.能用尺规作图：用三角尺和直尺过已知直线外一点 画这条直线的平行线；14.通过具体实例理解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件（题设）和结论；15.知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可以用不同的形式表述证明的过程；16.了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的；17.通过具体实例认识平移，探索它的基本性质: 一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等。18.认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用。19.运用图形的平移进行图案设计。
内容分析 相交线与平行线在现实生活中随处可见，构成了两条直线的位置关系，本章重点学习两条直线的垂直和平行关系，以及有关平移变换的内容。是之前学习直线、线段角的知识延续，又是以后学习几何知识的基础。
学情分析 七年级学生的观察力、想象力迅速提高，充满了好奇心和求知欲，但运用数学意识的思想比较薄弱，因此在教学中从学生认知角度出发，重视学生自主探究、合作交流、创新意识的培养，所以要充分利用七年级学生的心理特点，形成勤动手、勤动脑、勤交流的气氛。
单元目标 （一）教学目标1.结合具体情境，理解邻补角、对顶角、垂线（段）概念。2.平行线的概念、性质及判定方法、识别几种角。3.通过具体实例认识平行、解决简单问题。（二）教学重点、难点教学重点：对顶角性质及垂线概念。平行线的判定、性质应用。教学难点：对垂线性质的理解。同位角、内错角、同旁内角的辨认。平行线的判定方法和性质的区别与联系。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排课时编号单元主要内容课时数5.1相交线45.2平行线及其判定35.3平行线的性质35.4平移2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务5.1 相交线1.理解对顶角、邻补角、垂线、垂线段等的概念2.识别同位角、内错角、同旁内角3.掌握对顶角的性质特点4.理解点到直线的距离的意义，垂线的基本事实学生通过理解相关概念，掌握对顶角与邻补角特征，能进行识别，通过相关性质的掌握能综合运用于练习和实际问题。任务1：学生能将余角、补角、角平分线等知识综合，用代数的方法解决几何综合题，解决实际生活中的相关问题任务2：（1）学生能将垂线的性质应用到实际问题中；（2）学生会用三角尺或量角器或直尺过已知直线上或直线外一点画已知直线的垂线；（3）学生弄清垂线段、垂线段长及点到直线距离的关系。任务3：学生能够准确识别同位角、内错角、同旁内角5.2 平行线及其判定1.理解平行线概念，能用三角尺和直尺过直线外一点画这条直线的平行线。2.了解平行于同一条直线的两条直线平行。3.掌握基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。4.探索并证明平行线的判定定理。学生通过理解相关概念，掌握平行线的画法，并能运用平行线的判定定理解题。任务1：学生理解同一平面内，两直线的位置关系只有两种：相交与平行；可以用直尺和三角板画平行线。任务2：会用三种基本方法判定两条直线平行，并尝试着进行简单的推理；会用平行线的判定方法解决一些简单的实际问题。 5.3 平行线的性质1.探索并证明平行线的性质定理。2.通过具体实例了解命题、定理、证明的意义，会区分命题的题设和结论。3.知道证明的意义和必要性。4.了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的。学生通过理解平行线的性质定理，可运用其进行解题。懂得证明的必要性，会进行简单证明。任务1：利用平行线的性质求出实际问题中相关的角度或者判断相关角之间的关系。任务2：平行线性质与判定的综合应用；会添加适当的辅助线补足“三线八角”的基本图形。任务3：知道命题的有真有假，能够进行判断真假。了解命题的概念以及命题的构成（如果……那么……的形式）。会判定一个命题的题设和结论。5.4 平移1.通过具体实例认识平移，探索它的基本性质。2.认识并欣赏平移在自然界和现实生活的应用。3.运用图形的平移进行图案设计。学生通过理解平移的概念、基本特征，能画出简单平面图形平移后的图形。能利用平移相关知识解决简单问题。任务1：理解“对应点的连线平行且相等”等平移变换的基本特征。能够按照要求画出简单平面图形平移后的图形。任务2：渗透图形变换的思想，体会平行线的应用。
《第五章》单元教学设计
任务1：通过例子引出相交线、邻补角和内错角的概念
5.1.1相交线
任务2：例题求证对顶角的性质
任务3：归纳对顶角的性质
任务1：探究俩木条夹角引出垂直、垂线、垂足的概念
5.1.2（1）垂线
任务2：通过动手操作掌握垂线的画法及基本事实
任务3：例题解析
任务1：掌握点到直线的距离的意义
任务2：度量点与直线的各条线段引出“垂线段最短”
5.1.2（2）垂线
任务3：例题解析
相交线与平行线
任务1：探究两直线被第三条直线所截总结“三线八角”
任务2：探究夹角的关系掌握同位角、内错角、同旁内角的概念及基本特征
5.1.3同位角、内错角、同旁内角
任务3：例题解析
任务1：通过三根木条的位置变化总结平行线定义及表示
任务2：动手操作掌握平行线的画法、平行公理及推论
5.2.1平行线
任务3例题解析
任务1通过三角尺和直尺画平行线引出“同位角相等，两直线平行。”
5.2.2（1）平行线的判定
任务2：通过例题推出“内错角相等，两直线平行”“同旁内角互补，两直线平行。”
任务3：例题解析
任务1：通过做例题掌握平行线的综合运用
任务2：例题解析
5.2.2（1）平行线的判定
任务3：做例题理解“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”
任务1：根据“三线八角”中的同位角的关系归纳“两直线平行，内错角相等。”
5.3.1（1）平行线的性质
任务2：掌握“两直线平行，内错角相等”“两直线平行，同旁内角互补。”
任务3：例题解析
任务1：做例题掌握平行线的性质和判定的综合运用
任务2：总结“角之间的关系判定平行性质角之间的关系”
5.3.1（2）平行线的性质
任务3：例题解析
5.3.2命题、定理、证明
任务1：探究例题归纳命题的定义与结构
任务2：通过找不同判断真命题和假命题
任务3：例题解析
任务1：掌握平移的概念
任务2：做例题归纳平移的性质
5.4（1）平移
任务3：例题解析
任务1：熟练掌握平移的性质的实际运用
任务2：动手左图掌握画出平移后的图形
5.4（2）平移
任务3：例题解析
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