第六章 6.2.3向量的数乘运算
一．选择题
1．若点O为平行四边形ABCD的中心，＝2e1，＝3e2，则e2－e1＝( )
A． B．
C． D．
2．(多选)设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论错误的是( )
A．a与－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a的方向相同 D．|－λa|＝|λ|a
3．如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC上靠近点B的一个三等分点，那么＝( )
A．－ B．＋
C．＋ D．－
4．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于( )
A． B．
C．－ D．－
5．在四边形ABCD中，若＝3a，＝－5a，且||＝||，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．菱形
C．等腰梯形 D．非等腰梯形
6．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝( )
A．－ B．－
C．＋ D．＋
7．P是△ABC所在平面内一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在( )
A．△ABC内部 B．AC边所在的直线上
C．AB边所在的直线上 D．BC边所在的直线上
8．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是( )
A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0
C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)
D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b
9．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O，H分别是△ABC的外心、垂心，且M为BC中点，则( )
A．＋＝3＋3 B．＋＝3－3
C．＋＝2＋4 D．＋＝2－4
二．填空题
10．如图，设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC．若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
11．设a，b是两个不共线的向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________．
12．已知在△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是________．
13．如图，ABCD是一个梯形，∥且||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，用e1，e2表示下列向量：＝________；＝________．
三．简答题
14．化简：
(1)－2；
(2)4(a－b)－3(a＋b)－b．
15．设，不共线，且＝a＋b(a，b∈R)．
(1)若a＝，b＝，求证：A，B，C三点共线；
(2)若A，B，C三点共线，则a＋b是否为定值？并说明理由．第六章 6.2.3向量的数乘运算
一．选择题
1．若点O为平行四边形ABCD的中心，＝2e1，＝3e2，则e2－e1＝( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】＝－＝－＝3e2－2e1，＝＝e2－e1．
2．(多选)设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论错误的是( )
A．a与－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a的方向相同 D．|－λa|＝|λ|a
【答案】ABD
【解析】当λ取负数时，a与－λa的方向是相同的，选项A错误；当|λ|＜1时，|－λa|≥|a|不成立，选项B错误；因为λ≠0，所以λ2一定是正数，故a与λ2a的方向相同．|－λa|＝|λ|a中等号左边表示一个数，而等号右边表示一个向量，不可能相等，选项D错误；故选ABD．
3．如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC上靠近点B的一个三等分点，那么＝( )
A．－ B．＋
C．＋ D．－
【答案】D
【解析】＝＋＝＋＝－．
4．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于( )
A． B．
C．－ D．－
【答案】A
【解析】(方法一)由＝2，可得－＝2(－) ＝＋，所以λ＝．故选A．
(方法二)＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以λ＝．故选A．
5．在四边形ABCD中，若＝3a，＝－5a，且||＝||，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．菱形
C．等腰梯形 D．非等腰梯形
【答案】C
【解析】由条件可知＝－，所以AB∥CD．又因为||＝||，所以四边形ABCD为等腰梯形．
6．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝( )
A．－ B．－
C．＋ D．＋
【答案】A
【解析】如图，＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－．故选A．
7．P是△ABC所在平面内一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在( )
A．△ABC内部 B．AC边所在的直线上
C．AB边所在的直线上 D．BC边所在的直线上
【答案】B
【解析】∵＝λ＋，∴－＝λ．∴＝λ．∴P，A，C三点共线．∴点P一定在AC边所在的直线上．
8．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是( )
A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0
C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)
D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b
【答案】AB
【解析】对于A，可解得a＝e，b＝－e，故a与b共线；对于B，由于λ≠μ，故λ，μ不全为0，不妨设λ≠0，则由λa－μb＝0得a＝b，故a与b共线；对于C，当x＝y＝0时，a与b不一定共线；对于D，梯形中没有条件AB∥CD，可能AD∥BC，故a与b不一定共线．
9．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O，H分别是△ABC的外心、垂心，且M为BC中点，则( )
A．＋＝3＋3 B．＋＝3－3
C．＋＝2＋4 D．＋＝2－4
【答案】D
【解析】如图，Rt△ABC中，其中∠B为直角，则垂心H与B重合．∵O为△ABC的外心，∴OA＝OC，即O为斜边AC的中点．又∵M为BC的中点，∴＝2．∵M为BC的中点，∴＋＝2＝2(＋)＝2(2＋)＝4＋2＝2－4．故选D．
二．填空题
10．如图，设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC．若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
【答案】
【解析】由已知＝－＝－＝(－)＋＝－＋，∴λ1＝－，λ2＝，从而λ1＋λ2＝．
11．设a，b是两个不共线的向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________．
【答案】－4
【解析】因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，所以ka＋2b＝λ(8a＋kb) k＝8λ，2＝λk k＝－4(因为方向相反，所以λ＜0 k＜0)．
12．已知在△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是________．
【答案】2∶3
【解析】因为＋＋＝，所以＝－－＝＋＋＝2．所以点P在边CA上，且是靠近点A一侧的三等分点．所以△PBC和△ABC的面积之比为2∶3．
13．如图，ABCD是一个梯形，∥且||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，用e1，e2表示下列向量：＝________；＝________．
【答案】e2＋e1 e1－e2
【解析】因为∥，||＝2||，所以＝2，＝．＝＋＝e2＋e1．＝＋＋＝－－＋＝－e1－e2＋e1＝e1－e2．
三．简答题
14．化简：
(1)－2；
(2)4(a－b)－3(a＋b)－b．
解：(1)原式＝－a－b＝a＋b－a－b＝0．
(2)原式＝4a－4b－3a－3b－b＝a－8b．
15．设，不共线，且＝a＋b(a，b∈R)．
(1)若a＝，b＝，求证：A，B，C三点共线；
(2)若A，B，C三点共线，则a＋b是否为定值？并说明理由．
(1)证明：当a＝，b＝时，＝＋，所以(－)＝(－)，即2＝．所以与共线．又与有公共点C，所以A，B，C三点共线．
(2)解：a＋b为定值1．理由如下：
因为A，B，C三点共线，所以∥．
不妨设＝λ(λ∈R)，所以－＝λ(－)，即＝(1－λ)＋λ．
又＝a＋b，且，不共线，则
所以a＋b＝1(定值)．
