第六章 6.2.4向量的数量积
一．选择题
1．若向量a，b，c，满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )
A．0 B．2
C．3 D．4
【答案】A
【解析】∵a∥b，a⊥c，∴b⊥c．∴a·c＝0，b·c＝0，c·(a＋2b)＝a·c＋2b·c＝0＋0＝0．
2．已知平面向量满足a＋b＋c＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则a·b的值为( )
A．－ B．
C．－ D．
【答案】A
【解析】∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c．(a＋b)2＝c2，即1＋2a·b＋1＝1．∴a·b＝－．故选A．
3．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，点E满足＝＋，则·＝( )
A． B．
C．6 D．4＋2
【答案】C
【解析】如图，∵AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，＝＋，∴·＝·(＋)＝2＋2＋·＝×4＋×4＋2×2×＝6．故选C．
4．(多选)对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中错误的是( )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
【答案】ACD
【解析】A中，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，故A错；C中，若a2＝b2，则|a|＝|b|，C错；D中，若a·b＝a·c，则可能有a⊥b，a⊥c，但b≠c，D错．故只有选项B正确．故选ACD．
5．已知a，b均为单位向量，若a，b夹角为，则|a－b|＝( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝，∴(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×1×1×＋1＝3．∴|a－b|＝．故选D．
6．已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1且(2a－b)·(a＋2b)＝9，则向量a，b的夹角θ为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵|a|＝2，|b|＝1，∴(2a－b)·(a＋2b)＝2a2－2b2＋3a·b＝8－2＋3a·b＝9．∴a·b＝1．∴cos〈a，b〉＝＝．又∵0≤〈a，b〉≤π，∴〈a，b〉＝．故选C．
7．P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
【答案】D
【解析】由·＝·得·(－)＝0，即·＝0，∴PB⊥CA．同理PA⊥BC，PC⊥AB，∴P为△ABC的垂心．
8．在△ABC中，·＝0，||＝||＝3，＝2，则·＝( )
A．4 B．－6
C．6 D．－3
【答案】B
【解析】如图，由＝2得＝－＝＋＝(－)＋＝＋，＝－．又∵·＝0，||＝||＝3，∴·＝·(－)＝－2＋2＝－×18＋×18＝－6．故选B．
9．(多选)(2023年龙岩期末)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，则下列结论正确的是( )
A．a·c－b·c＝(a－b)·c B．(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直
C．|a|－|b|＜|a－b| D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
【答案】ACD
【解析】根据向量数量积的分配律知A正确；因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，所以(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误；因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形的三边，所以|a|－|b|＜|a－b|成立，C正确；D正确．
二．填空题
10．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为________．
【答案】
【解析】由a·b＝0得(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0．整理，得k－2＋(1－2k)cos＝0，解得k＝．
11．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________．
【答案】3
【解析】|2a－b|＝ (2a－b)2＝10 4＋|b|2－4|b|cos 45°＝10 |b|＝3．
12．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．
【答案】－
【解析】∵|a|＝3|b|＝|a＋2b|，∴|a|2＝9|b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b．∴a·b＝－|b|2．∴cos 〈a，b〉＝＝＝－．
13．已知向量a，b满足：|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则a与b的夹角为________；|2a－b|＝________．
【答案】 2
【解析】由于a·(b－a)＝a·b－a2＝a·b－1＝2，则a·b＝3．设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝．又因为θ∈[0，π]，所以θ＝．因为|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝28，所以|2a－b|＝2．
三．简答题
14．已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝，且a·b＝．
(1)求向量a，b的夹角；
(2)求|a－b|．
解：(1)因为(a－b)·(a＋b)＝，所以a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝．又因为|a|＝1，所以|b|＝．设向量a，b的夹角为θ，因为a·b＝，所以|a|·|b|cos θ＝，得cos θ＝．
因为0°≤θ≤180°，即θ＝45°，所以向量a，b的夹角为45°．
(2)因为|a－b|2＝(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝，
所以|a－b|＝．
15．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，＝2．
(1)若四边形ABCD是矩形，求·的值；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，且·＝6，求与夹角的余弦值．
解：(1)因为四边形ABCD是矩形，
所以·＝0，
由＝2，得＝，＝＝－．
所以·＝(＋)·(＋)＝·
＝2－·－2
＝36－×81＝18．
(2)由题意，＝＋＝＋＝＋，
＝＋＝＋＝－，
所以·＝·
＝2－·－2
＝36－·－18＝18－·．
又因为·＝6，
所以18－·＝6．
所以·＝36．
设与的夹角为θ，
又因为·＝||·||cos θ＝9×6×cos θ＝54cos θ，
所以54cos θ＝36，即cos θ＝．
所以与夹角的余弦值为．第六章 6.2.4向量的数量积
一．选择题
1．若向量a，b，c，满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝( )
A．0 B．2
C．3 D．4
2．已知平面向量满足a＋b＋c＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则a·b的值为( )
A．－ B．
C．－ D．
3．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，点E满足＝＋，则·＝( )
A． B．
C．6 D．4＋2
4．(多选)对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中错误的是( )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
5．已知a，b均为单位向量，若a，b夹角为，则|a－b|＝( )
A． B．
C． D．
6．已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1且(2a－b)·(a＋2b)＝9，则向量a，b的夹角θ为( )
A． B．
C． D．
7．P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
8．在△ABC中，·＝0，||＝||＝3，＝2，则·＝( )
A．4 B．－6
C．6 D．－3
9．(多选)(2023年龙岩期末)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，则下列结论正确的是( )
A．a·c－b·c＝(a－b)·c B．(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直
C．|a|－|b|＜|a－b| D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
二．填空题
10．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为________．
11．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________．
12．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．
13．已知向量a，b满足：|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则a与b的夹角为________；|2a－b|＝________．
三．简答题
14．已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝，且a·b＝．
(1)求向量a，b的夹角；
(2)求|a－b|．
15．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，＝2．
(1)若四边形ABCD是矩形，求·的值；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，且·＝6，求与夹角的余弦值．
