2024年新高考联考协作体高二2月收心考试
高二数学试卷
考试时间：2024年2月20日下午15：00-17：00
试卷满分：150分
注意事项」
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准
考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.
选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写
在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签宇笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸
和答题卡上的非答题区城均无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合要求的
1.已知直线：x+(m+1y+m-2=0与直线l2:mx+2y+8=0则m=1是1∥12的()
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
2在数别6}中，若4=-1aa之2).则a=《)
A.2
B.-1
c
D.1
3.从2至6的5个整数中随机取两个不同的数，则这两个数的和是质数的概率为()
c
D.
4.如图，M为四面体OABC的棱BC的中点，N为OM的中点，点P在线段AN上，且AP=2PN,
设OA=a,OB=i,OC=c,则O=()
3
C.P
湖北省新高考联考协作体*数学试卷（共4页）第1页
5.
已知两圆C:(x+5+y2=9,C,:(x-5}+y2=9,动圆C与圆C外切，且和圆C2内切，则
动圆C的圆心C的轨迹方程为()
人后号=)B号
=1
916
6。已知R,R是椭圆C:+上=1的两个焦点，点M在C上，则MRM的最大值为()
4
A.1
B.4
C.9
D.6
7.正方体ABCD-4B,CD,中，P为BD,的中点，则直线DP与B,C所成的角的正切值为()
A.5
B.-
C.
3
3
D.1
8.
已知等差数列包，}与色}的前n项和分别为3，工，且号-2+3，
”+,则的值为()
13
13
A.1i
C.22
D.20
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.一个袋子中有红、黄、蓝、紫四种颜色的球各一个，除颜色外无其他差异，从中任意摸出一
个球，设事件A=“摸出红色球或蓝色球”，事件B=“摸出紫色球或蓝色球”，事件C=“摸
出黄色球或蓝色球”，则下面结论正确的是：()
A.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
B.A与B相互独立
C,A与C相互独立
D.B与C相互独立
10.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，
推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美。平面直角坐标系中，曲
线C:x2+y=冈+川就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下面结论正确的是：()
A.直线(2m-4)x+(2m-2)y-2m+3=0与曲线C一定有交点
B.曲线C围成的图形的周长是√2π
C,曲线C围成的图形的面积是π+2
D.曲线C上的任意两点间的距离不超过2
11,已知抛物线y2=8x的焦点为F,直线x=m+2交抛物线于A,B两点，以线段AB为直径的
圆交y轴于M,N两点，交准线1于点，则下面结论正确的是：()
A,以AF为直径的圆与y轴相切
C.A0-B0=0
D.MW的最小值为4W3
湖北省新高考联考协作体*数学试卷（共4页）第2页2024年新高考联考协作体高二 2月收心考试
高二数学试卷答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
B C C A C B C D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全
部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9 10 11 12
BCD AC ACD ABC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
9 3
13． 14． 0， ， 2 4 4
15．5或 6 16． 2
四、解答题：本题共6小题，共70分．第17题10分，其他每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．
17.【解析】（1）设C m,n ，由 AC中点在 x 2y 5 0上可得
m 4
2 n 2 5 0,即m 2n 10 0，---------------------2分
2 2
n 2m m 2n 10 0 m 2又 ，联立 ，解得 .
n 2m
n 4
即顶点C的坐标为 2,4 . ---------------------4分
（2）设 A 4,2 关于直线 y 2x的对称点为 A a,b ，
b 2
2 1 a 4 a 4
则有 ，解得 ，即 A 4, 2 ， ---------------------7分
b 2
2
a 4 b 2
2 2
所以 BC边所在的方程为： y 4
4 2
x 2 ，
2 4
即直线 BC的方程为：3x y 10 0 . ---------------------10分
18.【解析】（1）设 Ai=“甲第 i(i 1,2,3,4)轮猜对成语”，
B =“甲在 4轮活动中，恰有 3轮连续猜对成语”，
则 B A1A2A3 A4 A1A2A3A4，且 A1A2A3A4 与 A1A2A3A4是互斥事件，
因为 A1, A2 , A3, A4之间相互独立，
湖北省新高考联考协作体*数学答案(共 5 页)第 1 页
{#{QQABRQSEggCAAgBAAQgCAw2qCEAQkBECCIoOQBAMoAABSBNABAA=}#}
所以 Ai与 A j (i, j 1,2,3,4, i j)之间也相互独立，---------------------2分
P(B) P(A1A2A3A4 A1A2A3A4 )
P(A1)P(A2 )P(A3)P(A4 ) P(A1)P(A2 )P(A3)P(A4 )
2 3 3
1 2 2 2 16 1
3 3 3 3 81
16
因此，甲在 4轮活动中，恰有 3轮连续猜对成语的概率是 ---------------------5分
81
（2）设Ci =“甲两轮猜对 i(i 1,2)个成语”，Di =“乙两轮猜对 i(i 1,2)个成语”
由题意可知 P(C ) 2 2 1 4
2
1 ， P(C2 )
2 4
.
3 3 9 3 9
2
P(D ) 3 1 3 3 9 2 ， P(D ) .---------------------9 分1 4 4 8 2 4 16
设 E “两轮活动中“星队”至少猜对 3个成语”，则E C1D2 C2D1 C2D2 ，且C1D2、C2D1、C2D2是互
斥事件，由题意可得
P(E) P(C1D2 C2D1 C2D2 ) P(C1)P(D2 ) P(C2 )P(D1) P(C2 )P(D2 )
4 9 4 3 4 9 2
9 16 9 8 9 16 3
因此，“星队”在两轮活动中至少猜对 3个成语的概率是 2 .---------------------12分
3
19.【解析】（1）依题意，设圆C的圆心坐标为 a,3a ,a 0，半径为3a，
a 3aa,3a 到直线 x y 0的距离为 d 2a ，---------------------3分
2
2
所以 2 7 2 3a 2 2a ，解得a=1，
C x 2 2所以圆 的方程为 1 y 3 9 . ---------------------5分
（2）PA 2 PB2 （x 4)2 (y 2)2 (x 2)2 (y 2)2 2x2 4x 2y2 28
2(x2 2x y 2 ) 28
2 x 1 2 y 2 26
x 1 2 y 2 表示 P(x, y)与点Q( 1,0)距离的平方，---------------------9分
因为 P(x, y)是圆C上任意一点，
2
所以 PQ 2 2 2max (CQ 3） 1 1 3 0 2 3
( 13 3)2 22 6 13
所以 PA 2 PB2的最大值为 2 22 6 13 26 70 12 13 . ---------------------12分
20.【解析】（1）因为 an 2 Sn 1，令 n 1得 a1 2 a1 1，解得 a1 1，
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{#{QQABRQSEggCAAgBAAQgCAw2qCEAQkBECCIoOQBAMoAABSBNABAA=}#}
则 4S 2 2n an 2an 1,4Sn 1 an 1 2an 1 1(n 2)，
两式相减得 4an a
2 a2n n 1 2 an an 1 (n 2)，
即 an an 1 an an 1 2 0(n 2) ， ---------------------4分
因为 an 各项均为正数的数列，故 an an 1 2(n 2)，
因此数列 an 是以 a1 1为首项，2为公差的等差数列，
所以 an 1 2(n 1) 2n 1 . ---------------------6分
（2）因为 a nn 1 2 log3 bn ，由（1）可得bn 3 ，
c 1n ( 1)
nb 1n ( 1)n 3nanan 1 (2n 1)(2n 1)
，
1 1 1
( 3)
n
， ---------------------9分
2 2n 1 2n 1
所以Tn c1 c2 cn
1
1 1 1 1 1 1 ( 3) ( 3) 2 ( 3)
n
2 3 3 5 2 n 1 2 n 1
1 1 1 ( 3)[1 ( 3)
n ]
2 2n 1 1 ( 3)
n 3
[1 ( 3) n] ---------------------12分
2n 1 4
21.【解析】（1）因为 AB BC，D是 AC的中点，所以 BD⊥AC，
因为 AB1 BD， AB1 AC A， AB1,AC 平面 AB1C，
所以 BD⊥平面 AB1C ---------------------2 分
又 B1D 平面 AB1C，所以 BD B1D，因为B1A B1C，D是 AC的中点，所以 B1D AC，BD AC D，
BD, AC 平面 ABC，
所以 B1D⊥平面 ABC． ---------------------4分
（2）法一: 取 A1C1的中点D1，连接DD1，B1D1可得四边形 BB1D1D是平行四边形，
因为 BD AC ,B1D AC ,BD B1D D , BD,B1D 平面 BB1D1D，
所以，AC⊥平面 BB1D1D，又 AC 平面 ACC1A1，
所以平面 BB1D1D 平面 ACC1A1， ---------------------6分
过点 B1作 B1H DD1于点 H， B1H 平面 BB1D1D，
平面 BB1D1D 平面 ACC1A1 DD1，则 B1H ⊥平面 ACC1A1，
所以点 B1到平面 ACC1A1的距离即为 B1H ，---------------------8分
AB BC B A BC π因为 1 1 ，所以 BD B1D = B1D1，又 D1B1D B1DB ，2
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B 1 1所以 1H DD1 BB
2
1 ，2 2 2
2
故点 B1到平面 ACC1A1的距离为 ． ---------------------9分
2
法二：由（1）知 B1D⊥平面 ABC，BD AC，所以DB,DC,DB1两两垂直，以D为原点，以DB,DC,DB1
所在直线分别为 x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为 AB BC B1A B1C，所以 BD B1D，又 BD B1D，B1B 2，所以 B1D BD 1，
AB BC 2， BD AC，所以DA DC 1，
所以D 0,0,0 , A 0, 1,0 ,B 1,0,0 ,C 0,1,0 ， B1 0,0,1 ， ---------------------6分
AC 0,2,0 , AA1 BB1 1,0,1 ，设平面 ACC1A1的一个法向量为m a,b,c ，则
m AC 0 b 0
，即 ，令 a 1，
m AA 0 a c 01
则m 1,0,1 为平面 ACC1A1的一个法向量，
m DB1
又DB 0,0,1 ，所以点B1到平面 ACC
1 2
1 1
A1的距离 d ，
m 2 2
2
故点 B1到平面 ACC1A1的距离为 ． ---------------------9分
2
（3）由（2）法二得CB1 0, 1,1 ,A1B1 AB 1,1,0 ，设平面 A1B1C的一个法向量为 n x, y, z ，则
n CB 0 y z 0
1 得 ，令 x 1，则 y 1, z 1，
n A1B1 0 x y 0
所以 n 1, 1, 1 为平面 A1B1C的一个法向量，
又 BD⊥平面 AB1C，所以DB 1,0,0 是平面 AB1C的一个法向量，------------------- 10分
cos n,DB n DB 1 3
n DB 3 1 3 ，
3
故平面 A1B1C与平面 AB1C的夹角的余弦值为 . ------------------- 12分3
22. 【解析】（1）由椭圆的焦距为得： 2c 4，故 c 2，
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4 9
因为点 2,3 在椭圆C上，所以 2 2 1， ---------------------2 分a b
c 2
4 9
联立 2 2 1 ，解得a
2 16,b2 12，
a b
2 2 2 a b c
x2 y 2
所以椭圆C的方程为 1 . -------------------- 4分
16 12
（2）由题得 F 2，0 ，设直线 AB：x my 2(m R)， A(x1, y1),B x2 , y2 ,D(8, y1)，
x my 2
联立方程 x2 y2 得 (3m2 4) y2 12my 36 0，
1 16 12
144m2 4 36 3m2 4 144 4 m2 1 0，
12m 36
所以有 y1 y2 2 ， y y3m 4 1 2
3m2
且my1y2 3 y1 y2 ，-------------------- 6分 4
k y2 y1 y y y2 y BD 1因为 BD x 8 ，所以直线 的方程为 1
x 8
2 x2 8
y x 8 y my
y 0 x 8 1 2 8 1 2 6 8 my1y2 6 y令 ，得 1
y2 y1 y2 y1 y2 y1
3( y y ) 6y
将my1y2 3 y1 y2 代入上式，则 x 8 1 2 1 8 3 5y2 y1
故直线 BD过定点 E 5,0 ， --------------------9分
24 m2 1
又 y 21 y2 y1 y2 4y1y2 3m2 4
2
S S S 1 OE y y 5 24 m 1 60 m
2 1
所以 OBD OED OEB 2 1 2 2 3m2 4 3m2 4
S 60t 60
令 t m2 1 1，则 OBD
3t 2 1 1在 t [1， )3t 上单调递减，
t
故当 t 1,m 0时， (S OBD )max 15 . ------------------- 12分
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