河南省新郑市重点中学2023-2024学年高三上学期期末阶段测试数学试题（含解析）

新郑市重点中学2023-2024学年高三上学期期末阶段测试
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2．设,则( )
A. B. C. D.
3．若数列满足,且,,,则( )
A. B. C. D.
4．已知函数,为的零点,为图象的对称轴,且在单调,则的最大值为( )
A.11 B.9 C.7 D.5
5．函数的大致图象为( )
A. B.
C. D.
6．已知,且,则与夹角为( )
A. B. C. D.
7．已知双曲线：,M和N分别为实轴的右端点和虚轴的上端点,过右焦点F的直线l交C的右支于A,B两点.若存在直线l使得点M为的重心,则C的离心率为( )
A. B. C.2 D.
8．成语“运筹帷幄之中,决胜千里之外”,意思是在小小的军帐之内作出正确的部署,决定了千里之外战场上的胜利,说的是运筹的重要性.“帷幄”是古代打仗必备的帐篷,又称“幄帐”,如图是一种幄帐示意图,帐顶采用“五脊四坡式”,四条斜脊的长度相等,一条正脊平行于底面.若各斜坡面与底面所成二面角的正切值均为,底面矩形的长与宽之比为,则正脊与斜脊长度的比值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．下列命题中是假命题的有( )
A.函数和为同一函数
B.若函数是奇函数,则
C.命题“,”的否定是“,”
D.函数在区间上的图象是一段连续曲线,如果,则函数在上没有零点
10．已知奇函数的定义域为R,且在上单调递减,若,则下列命题中正确的是( )
A.有两个零点 B. C. D.
11．某校1500名学生参加数学竞赛,随机抽取了40名学生的竞赛成绩（单位：分）,成绩的频率分布直方图如图所示,则( )
A.频率分布直方图中a的值为0.005
B.估计这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为75
C.估计这40名学生的竞赛成绩的众数为80
D.估计总体中成绩落在内的学生人数为225
12．已知圆锥SO的侧面积为,母线,底面圆的半径为r,点P满足,则( )
A.当时,圆锥SO的体积为
B.当时,过顶点S和两母线的截面三角形的最大面积为
C.当时,从点A绕圆锥一周到达点P的最短长度为
D.当时,棱长为的正四面体在圆锥SO内可以任意转动
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量,的夹角为,与垂直,,则________.
14．若直线与平行,则直线与之间的距离为____________．
15．若表示整数n的个位数字,,数列的前n项和为,则______.
16．为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣,学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上,学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式（二维）;当向量,时,有,即,当且仅当时等号成立;学生乙从这个结论出发．作一个代数变换,得到了一个新不等式：,当且仅当时等号成立,并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当时,的最小值是___________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）记的三个内角分别为A,B,C,其对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为,,,已知,.
（1）求的面积;
（2）若,求b.
18．（12分）已知是各项均为正数的数列的前n项和,是与的等比中项.
（1）求数列的通项公式;
（2）已知,求数列的前n项和.
19．（12分）如图,C,D分别是以AB为直径的半圆O上的点,满足,为等边三角形,且与半圆O所成二面角的大小为90°,E为PA的中点.
（1）求证：平面PBC;
（2）求二面角的余弦值.
20．（12分）已知双曲线过,,,四个点中的三个点.
（1）求双曲线C的方程;
（2）若直线l与双曲线C交于A,B两点,且,求证：直线l经过一个不在双曲线C上的定点,并求出该定点的坐标.
21．（12分）杭州第19届亚运会后,多所高校掀起了体育运动的热潮．为了深入了解学生在“艺术体操”活动中的参与情况,随机选取了10所高校进行研究,得到数据绘制成如下的折线图：
（1）若“艺术体操”参与人数超过35人的学校可以作为“基地校”,现在从这10所学校中随机选出3所,记可作为“基地校”的学校个数为,求的分布列和数学期望;
（2）现有一个“艺术体操”集训班,对“支撑、手倒立、手翻”这3个动作技巧进行集训,且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中,这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”,则该轮测试记为“优秀”．在集训测试中,某同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为,每个动作及每轮测试互不影响．如果该同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到8次,那么理论上至少要进行多少轮测试？
22．（12分）已知函数.
（1）若,求曲线在点处的切线方程;
（2）若有两个极值点,(),且不等式恒成立,求实数的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：由,得,所以 ,
不等式 的解集为,
所以 ,
所以或,
所以.
故选：A.
2．答案：C
解析：设,则,则,
所以,,解得,因此,.
故选:C.
3．答案：A
解析：令,根据已知可得,
令,则,所以,
所以数列是首项和公比都为的等比数列,
所以是首项为,公比为的等比数列前1012项之和.
所以.
故选:A
4．答案：B
解析：为的零点,为图象的对称轴,
,即,
即,
即为正奇数,
在上单调,则,
即,解得:,
当时,,,
,
,
此时在不单调,不满足题意;
当时,,,
,
,
此时在单调,满足题意;
故的最大值为9,
故选B.
5．答案：A
解析：第一步：根据定义判断函数的奇偶性由题意得的定义域为R,,
所以为奇函数,其图象关于原点对称,排除选项B,D.
第二步：根据某一点处函数值的大小排除其他选项又,排除选项C,故选A.
6．答案：B
解析：,
,
得,
又,,
,
.
故选:B
7．答案：A
解析：依题意,,,,
设,,则AB的中点,
因为点M为的重心,则,,
所以AB中点,
因为,,
两式作差得：,化简得,即,
因为,又因为B,A,F,P四点共线,所以.
故,解得,故.
故选：A.
8．答案：B
解析：如图,多面体中,取AB的中点C,做交MN于Q,
做底面ABNM于E点,则E点在CQ上,且E点到BN,AM的距离相等,即,做于H点,连接EH,,则平面DHE,
所以,所以坡面与底面所成二面角为,又,则平面DCE,
所以,坡面与底面所成二面角为,
所以正切值,
不妨设,,
可得斜脊,因为矩形宽,
所以长为8,这样正脊,所以正脊与斜脊长度的比值为即.
故选：B.
9．答案：ABD
解析：对于A,函数的定义域为R,函数的定义域为,
所以函数和不是同一函数,故A错误;
对于B,若奇函数的定义域为,则不存在,故B错误;
对于C,命题“,”的否定是“,”,故C正确;
对于D,函数在区间上的图象是一段连续曲线,且,
但函数在区间上有零点0,故D错误.
故选：ABD.
10．答案：BD
解析:根据题意可得函数在上为减函数,上为减函数.,由可得.
对于A,由在上为减函数,且,,所以存在,,所以在上有一个零点,同理在上有一个零点,
又因为,所以有三个零点,故A错误;
对于B,因为函数在上为减函数.所以,故B正确;
对于C,因为函数在上为减函数,所以,故C错误;
对于D,,,所以,故D正确.
故选:BD.
11．答案：AD
解析：由,可得,故A正确;
前三个矩形的面积和为,
所以这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为80,故B错误;
由成绩的频率分布直方图易知,这40名学生的竞赛成绩的众数为75,故C错误;
总体中成绩落在内的学生人数为,故D正确.
故选：AD.
12．答案：AC
解析：由已知,
当时,,此时圆锥的高为,
此时圆锥的体积为,A正确;
当时,设圆锥轴截面为,
因为圆锥SO的侧面积为,所以,
即,,,
所以为钝角,
故截面三角形的最大面积为,B错误;
当时,,侧面展开图的弧长为,沿SA将侧面展开,得扇形,
所以圆心角为,
又,所以,
在中,由余弦定理得,C正确;
将正四面体放到正方体内,则正四面体的外接球与正方体的外接球相同,
若正四面体的棱长为,则正方体的棱长为1,则外接球半径为,
由题圆锥SO母线时,其侧面积为,
则圆锥的高,
设内切球半径为R,球心为N,球与母线SA相切于T,则,
易知,则,
解得,不可以任意转动,D错误．
故选：AC．
13．答案：6
解析：设,由已知可得,
因为与垂直,所以,即,所以.
故答案为:6.
14．答案：
解析：因为,则 ,解得 ,
所以,直线的方程为,
即,直线的方程为, 即,
所以,直线与之间的距离为.
故答案为：.
15．答案：1012
解析:由题意知表示正整数n的个位数字,
因为,20n与100的个位数字均为0,
所以,
因为,20的个位数字为0,
所以,
,
即数列为周期性数列,且周期为10,
所以,
因为,,,
,,,
,,,
,
则,
故,
故答案为:1012.
16．答案：-1
解析：由题意得,
则
,
当且仅当,即时,等号成立,
即,则,
所以,最小值为,此时．
故答案为：-1.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由,得,即,
又,所以.
由,得或（舍去）,
所以,
则的面积.（2）由,及正弦定理知,即,得.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为是与的等比中项,
所以①,当时,解得或（舍去）,
当时②,
①②得,即,
因为,则,所以,即,
所以是以3为首项,3为公差的等差数列,
所以.
（2）由（1）可知
,
所以
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）依题意,所以,
所以三角形AOD、三角形DOC、三角形COB是等边三角形,
所以,所以四边形OBCD是菱形,所以,
由于平面PBC,平面PBC,所以平面PBC.
由于E是PA的中点,O是AB的中点,所以,
由于平面PBC,平面PBC,所以平面PBC
由于,所以平面平面PBC,
所以平面PBC.
（2）设CD的中点为F,连接OF,则,
由于四边形OBCD是菱形,所以,则,
依题意平面平面OBCD且交线为AB,所以平面PAB.
连接OP,则,
由于三角形PAB是等边三角形,所以,
由于平面平面OBCD且交线为AB,所以平面OBCD,
则,
以O为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系,
设,则,,
平面PAB的法向量为.
,,
,
设平面DBE的法向量为,
则,故可设.
设二面角的平面角为,由图可知,为锐角,
所以.
20．答案：（1）
（2）直线l经过一个不在双曲线C上的定点,定点的坐标为
解析：（1）根据双曲线的对称性可知,关于y轴对称,
所以,必同时在双曲线上,而不可能在双曲线上.
则双曲线还经过点,则,
将点代入,可得.
所以双曲线C的方程为.
（2）（ⅰ）当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为,,,
联立,整理得,.
由,得（*）,
且,,
因为,所以,,
因为,所以,即,
所以,即,
所以,
化简,得,即,
所以或,且均满足（*）,
当时,直线l的方程为,直线l过定点,即点,不符合题意,舍去;
当时,直线l的方程为,直线l过定点,符合题意.
（ⅱ）当直线l的斜率不存在时,设l的方程为,
由,解得,
依题意,因为,,所以,即,
所以,即,
解得（舍）或,
所以直线l的方程为,直线l过点,
综上所述,直线l经过一个不在双曲线C上的定点,定点的坐标为.
21．答案：（1）
（2）理论上至少要进行23轮测试
解析：（1）参加“艺术体操”人数在35人以上的学校共5所,所有可能取值为0,1,2,3,
则,
,
所以的分布列为：
0 1 2 3
P
所以;
（2）由已知该同学在一轮测试中为“优秀”的概率为,
则该同学在n轮测试中获“优秀”次数X服从二项分布,即满足,
由,
所以理论上至少要进行23轮测试．
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）若,则,
,
则切线的斜率为,又,
所以曲线在点处的切线方程是,即.
（2）,由条件知,是方程的两个根,
所以,则.
所以.
设,可知t的取值范围是,则,
不等式恒成立,等价于恒成立.
设,则恒成立,
.
(i)若,则,所以,在上单调递增,
所以恒成立,所以符合题意;
(ii)若,令,得,令,得
则在上单调递增,在上单调递减,
所以当的取值范围是时,,不满足恒成立.
综上,实数的取值范围是.