湖南省常德市临澧县2023-2024学年高三下学期第七次阶段性考试数学试题（含答案）

临澧县2023-2024学年高三下学期第七次阶段性考试
数学（试题卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下：85，87，88，89，89，90，91，91，92，93，93，93，94，96，98，则这组数据的40%分位数为（ ）
A.90 B.91 C.90.5 D.92
2.已知双曲线的离心率，则b的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3.已知数列，均为等差数列，且，，，则的值为（ ）
A.760 B.820 C.780 D.860
4.已知直线a，m，n，l，且m，n为异面直线，平面，平面.若满足，，则下列说法中正确的是（ ）
A. B. C. D.若，则
5.甲、乙、丙等七人相约到电影院看电影《长津湖》，恰好买到了七张连号的电影票.若甲、乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（ ）
A.240 B.192 C.96 D.48
6.已知，则（ ）
A. B. C.1 D.
7.已知圆及点，则下列说法正确的是（ ）
A.直线与圆C始终有两个交点
B.圆C与x轴相切
C.若点在圆C上，则直线的斜率为
D.若M是圆C上任一点，则的取值范围为
8.已知，是双曲线的焦点，圆，直线经过点，直线经过点，，与圆C均相切，若，则双曲线的离心率为（ ）
A.2 B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.设复数（a，且），则下列结论正确的是（ ）
A.z可能是实数 B.恒成立
C.若，则 D.若，则
10.已知函数，且，在区间上有最小值，无最大值，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C.若，则 D.若，则
11.已知函数定义域为，满足，且，则（ ）
A. B.为奇函数
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.的展开式中的系数为______.
13.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.则角______.
14.记表示x、y、z中的最小值.若x，，，则M的最大值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知函数.
（1）求的值；
（2）求函数的极值.
16.（15分）
已知有五个大小相同的小球，其中3个红色，2个黑色.现在对五个小球随机编为1，2，3，4，5号，红色小球的编号之和为A，黑色小球的编号之和为B，记随机变量.
（1）求时的概率；
（2）求随机变量X的概率分布列及数学期望.
17.（15分）
由各棱长均相等的四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，底面为正方形，点O为线段与的交点，点E为线段中点，平面.
（1）证明：平面；
（2）若点M为线段（包含端点）上一点，求与平面所成角的正弦值的最大值.
18.（17分）
在平面直角坐标系中，已知抛物线和点.点P在C上，且.
（1）求C的方程；
（2）若过点R作两条直线与，与相交于A，B两点，与C相交于E，D两点，线段和中点的连线的斜率为k，直线，，，的斜率分别为，，，，证明：，且为定值.
19.（17分）
对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量.特别地，称为零向量.
设，，，定义加法和数乘：
，.
对一组向量，，…，，若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关.否则，称为线性无关.
（1）对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由.
①，；
②，，.
（2）已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由.
（3）已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明：
①如果存在等式（，，2，3，…，m），则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零；
②如果两个等式，（，，，2，3，…，m）同时成立，其中，则.
临澧县2023-2024学年高三下学期第七次阶段性考试
数学（参考答案+评分标准）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.C 2.A 3.B 4.D 5.B 6.A 7.D 8.B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9.BCD 10.AB 11.ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 13. 14.
【解析】
6.解：
.∴ ∴，故选A.
8.解：如图，设直线，交于点P，且与圆C的切点为A，B，
根据题意可得圆，∴四边形是边长为的正方形，
∵在中，，在中，，
又，∴，∴，
∴，化简可得：，，又，
∴解得.故选：B.
9.解：对于A：若是实数，则，与已知矛盾，故A错误；
对于B：由A项知，所以，
，故B正确；
对于C：若，则，因为，所以，故C正确；
对于D：，
则，因为，所以，所以，故D正确.
故选：BCD.
10.解：区间中点为，
又在上有最小值，无最大值，所以，A正确；
，，两式相减得，故B正确；
若，则，则或，考虑到，可得或，则C错误；
若，则，即且，不妨取，
所以，故D错误.故选AB.
11.解：对A：令，，则，因为，所以，故A正确；
对B：令得：，结合可得，
所以为偶函数，故B错误；
对C：令可得：，因为，
所以，
进一步可得：，
又，，故，故，
依次有，
所以，故C正确；
对D：令可得：；
用代替x，y得：，
结合C结果，可得：，
故D正确.故选ACD
14.，又得当时等号成立
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.解：（1）依题意，，令，
则，解得；……5分
（2）由（1）可知，，
令，则，解得，
当x变化时，，变化情况如下表：
x
0
单调递减 单调递增
……10分
故的极小值为，无极大值.……10分
16.解：（1）从1，2，3，4，5这5个编号中，随机选3个分配给红色小球，共有种选法，
∵，即，
∴当时，则，或，
当时，黑球的编号为1和5或者2和4，共2种情况，
当时，黑球的编号为4或5，共1种情况，
∴.……5分
（2）∵为奇数，
∴A，B必然一奇一偶，故X为奇数，
∴，，
即X所有可能取值为1，3，5，7，9，
当时，或或，；
由（1）知，；
当时，或，；
当时，，；
当时，，，……12分
故随机变量X的分布列为：
X 1 3 5 7 9
P
故.……15分
17.解：（1）证明：取中点，连接，，∵，且，
故四边形为平行四边形，故得：，且，
∵，∴，，故四边形为平行四边形，∴，
且平面，平面，∴平面.……6分
（2）由题意，易证，，两两垂直，所以分别以，，为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，不妨设棱长为2，则易得以下点坐标：，，，，，；∴，，……8分
设为平面的法向量，则有，
取，则，所以，……10分
设，，
因为点M在线段上，则，……12分
设与平面所成角为，
∴
当且仅当时取等号.故与平面所成角的正弦值的最大值为.……15分
18.解：（1）设点，则，因为，，
所以，，所以点，
代入方程中，得，所以C的方程为.……5分
（2）设点，，，，
则直线的斜率，同理得直线的斜率，
直线的斜率，直线的斜率，
所以，
，从而得.……10分
由消去x得，
所以，由，得或.
设和的中点分别为M，N，
则，，同理，，
所以，即，
所以得……17分
19.解：（1）对于①，设，则可得，所以，线性相关；
对于②，设，则可得，所以，，所以，，线性相关；……4分
（2）设，则，
因为向量，，线性无关，所以，解得，
所以向量，，线性无关，……8分
（3）①，如果某个，，2，…，m，
则，
因为任意个都线性无关，所以，，…，，，…，都等于0，
所以这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零，……11分
②因为，所以，，…，全不为零，
所以由可得，
代入可得，
所以，
所以，…，，所以.……17分