【2024春人教七下数学精品教案】6_1_3 平方根（第三课时） 教案
文档属性
| 名称 | 【2024春人教七下数学精品教案】6_1_3 平方根（第三课时） 教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-22 13:22:01 | ||
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文档简介
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6.1.3 平方根 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书 数学》七年级下册（以下统称“教材”）第六章“实数”6.1.3 平方根，内容包括：平方根的概念、理解平方与开平方的关系、会求非负数的平方根.
2.内容解析
平方根及其相关概念是在学生已经掌握了有理数、有理数的乘方、用字母表示数等知识的基础上，正式进入实数知识学习的起始内容．在介绍平方根及其相关概念的同时，将首次出现用根号形式表示的无理数，以及无限不循环小数，并引入开平方运算等．这些知识是对前面所学知识的深化和发展，其中有的知识是学习实数、二次根式的预备知识，有的知识是用直接开平方法、公式法解一元二次方程的重要依据．因此，平方根的学习处于非常重要的地位，起着承前启后的作用.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：了解平方根的概念和开平方的概念，掌握平方根的特征；会求非负数的平方根.
二、目标和目标解析
1.目标
(1)了解平方根的概念和开平方的概念，掌握平方根的特征.
(2)能利用开平方与平方互为逆运算的关系，会求非负数的平方根.
(3）能正确区分算术平方根与平方根.
2.目标解析
学生了解如果一个数的平方根等于a，那么这个数叫a的平方根或二次方根，并会归纳出平方根的特征．即正数的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根.学生知道开平方运算与平方运算互为逆运算，给一个非负数a，能找出所有满足x2=a的x.学生知道怎样表示一个非负数的平方根与算术平方根，会正确读出并理解一个非负数的平方根与算术平方根的意义.
三、教学问题诊断分析
学生对于平方根与算术平方根的概念容易混淆，经常出现“=±2”的错误.在刚开始接触平方根时，可能还有两点不太习惯，一是正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果，这与过去学生遇到的运算结果唯一的情况有所不同；二是负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算，这种对运算对象有限定要求的情况以前一般不会遇到.
基于以上学情分析，确定本节课的教学难点为：平方根与算术平方根的区别与联系.
四、教学过程设计
复习回顾
1.什么叫一个数的算术平方根？怎样表示？
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.
a的算术平方根表示为：(a≥0)，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根.
2.25的算术平方根是_____，13的算术平方根是_____.
自学导航
思考：如果一个数的平方等于9，这个数是多少？由于(±3)2=9，所以这个数是3或-3.
3是前面学习过的9的算术平方根，-3与9的算术平方根有什么关系？(与算术平方根互为相反数.)
归纳平方根的概念
填表：
如果我们把±1，±4，±6，±7，±分别叫做1，16，36，49，的平方根，你能类比算术平方根的概念，给出平方根的概念吗？
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根. 这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.
例如，3和-3是9的平方根，简记为±3是9的平方根.
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.
观察下图，你发现了什么？
平方与开平方互为逆运算
考点解析
考点1：平方根的定义
例1.求下列各数的平方根：
(1) 121； (2) 0.0036； (3) ； (4) 3； (4)104.
解：(1)因为(±11)2=121，所以121的平方根是±11；
(2)因为(±0.06)2=0.0036，所以0.0036的平方根是±0.06；
(3)因为 = ，所以的平方根是±；
(4)因为3==，所以3的平方根是±；
(5)因为104=10000，(±100)2=10000，所以104的平方根是±11；
【迁移应用】
1.4的平方根是( )
A.2 B.-2 C.+2 D.16
2.“36的平方根是±6”用数学式子表示正确的是( )
A.=6 B.=6 C. =±6 D. =±6
3.下列说法正确的是( )
A.10的平方根是100 B.100的平方根是10
C.100的平方根是-10 D.100的平方根是±10
4.的平方根是______.
5.求下列各数的平方根：
(1) 64； (2) 0.0025； (3) ； (4)(-4)2； (4)5.
解：(1)因为(±8)2=64，所以64的平方根是±8；
(2)因为(±0.05)2=0.0025，所以0.0025的平方根是±0.05；
(3)因为 = ，所以的平方根是；
(4)因为(-4)2=16，(±4)2=16，所以(-4)2的平方根是±4；
(5)因为5==，所以3的平方根是±；
能力提升
数的平方根的特征：
1.正数的平方根有什么特点？(正数有两个平方根，它们互为相反数)
2.0的平方根是多少？(0的平方根是0)
3.负数有平方根吗？(负数没有平方根)
平方根的表示
我们已经学过一个正数的算术平方根的表示方法，你能表示一个正数的平方根吗？
正数a的算术平方根可以表示为，正数a的负的平方根，可以表示为-.
正数a的平方根可以用±表示，读作“正、负根号a”．
例如，±=±3，±=±5.
平方根与算术平方根的联系与区别：
考点解析
考点2：平方根的性质
例2.已知一个正数的两个平方根分别是2a-1和a-5，求这个正数.
解：根据题意，得(2a-1)+(a-5)=0，解得a=2.
所以2a-1=3，32=9，所以这个正数为9.
【迁移应用】
1.若数a-2有平方根，则a可以取( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
2.平方根等于它自己的数是( )
A.0 B.1 C.-1 D.4
3.已知a-1与3-2a是某正数的两个平方根，则数a的值是_____.
4.如果3x-2和5x+6都是一个非负数的平方根，那么这个数是__________.
考点3：算术平方根与平方根的关系
例3.求下列各式的值：
(1)； (2)-； (3)±.
解：(1)因为192=361，所以=19；
(2)因为12.25=，=，所以-=-；
(3)因为4=，=，所以±=±.
【迁移应用】
1.下列叙述中正确的是( )
A.-3是9的平方根 B.9的平方根是-3
C.-3是(-3)2的算术平方根 D.±3是(-3)2的算术平方根
2.下列计算错误的是( )
A. =±2 B. =3 C.± =±4 D.-=-5
3.144的算术平方根是_____，平方根是_____.
4.已知正数a的算术平方根为，则a的平方根是______，a=_____.
5.求下列各式的值：
(1)-； (2) (3)±； (4).
解：(1)-=-9； (2) (3)±=±1.5； (4)=7.
考点4：平方根与算术平方根的综合应用
例4. 已知2a+1的平方根是±3，5a+2b-2的算术平方根是4，求3a-4b的平方根.
解：依题意，得2a+1=(±3)2=9，可得a=4.
所以5a+2b-2=5×4+2b-2=2b+18.
所以2b+18=42=16，可得b=-1.
所以3a-4b=3×4-4×(-1)=16.
因为(±4)2=16,
所以3a-4b的平方根是±4.
【迁移应用】
1.一个自然数的算术平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是( )
A.± B.a+1 C.a2+1 D.±
2.若2x+1的平方根是±5，则5x+4的算术平方根是_____.
3.一个数的算术平方根为2a-6，平方根为±(a-1)，求a的值与这个数.
解：分两种情况：①当2a-6=a-1时，可得a=5，此时2a-6=4，42=16；
②当2a-6=-(a-1)时，可得a=，此时2a-6=-，不符合题意，此种情况不存在.
所以a的值为5，这个数为16.
考点5：利用平方根解形如x2=a(a≥0)的方程
例5.求下列各式中x的值：
(1)3x2=48； (2) (x+1)2=4； (3)2(x-1)2-18=0.
解：(1)原式可变形为x2=16.
因为(±4)2= 16，
所以x=4或x=-4.
(2)因为(±2)2=4，
所以x+1=2或x+1=-2，
解方程，得x=1或x=-3.
所以x=1或x=-3.
(3)原式可变形为(x-1)2=9.
因为(±3)2=9，
所以x-1=3或x-1=-3
解方程，得x=4或x=-2.
所以x=4或x=-2.
【迁移应用】
求下列各式中x的值：
(1)4x2-1=0； (2) (x+1)2=81； (3)9(x-1)2=4； (4)(2x-3)2-64=0.
解：(1)原式可变形为x2= ，
因为(±)2=，
所以x=或x=-.
(2)因为(±9)2=81，
所以x+1=9或x+1=-9，
解方程，得x=8或x=-10.
所以x=8或x=-10.
(3) 原式可变形为(x-1)2=.
因为(±)2=.
所以x-1=或x-1=-.
解方程，得x=或x=.
所以x=或x=.
(4)原式可变形为(2x-3)2= 64.
因为(±8)2=64，
所以2x-3=8或2x-3=-8.
解方程，得x=或x=-.
所以x=或x=-.
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6.1.3 平方根 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书 数学》七年级下册（以下统称“教材”）第六章“实数”6.1.3 平方根，内容包括：平方根的概念、理解平方与开平方的关系、会求非负数的平方根.
2.内容解析
平方根及其相关概念是在学生已经掌握了有理数、有理数的乘方、用字母表示数等知识的基础上，正式进入实数知识学习的起始内容．在介绍平方根及其相关概念的同时，将首次出现用根号形式表示的无理数，以及无限不循环小数，并引入开平方运算等．这些知识是对前面所学知识的深化和发展，其中有的知识是学习实数、二次根式的预备知识，有的知识是用直接开平方法、公式法解一元二次方程的重要依据．因此，平方根的学习处于非常重要的地位，起着承前启后的作用.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：了解平方根的概念和开平方的概念，掌握平方根的特征；会求非负数的平方根.
二、目标和目标解析
1.目标
(1)了解平方根的概念和开平方的概念，掌握平方根的特征.
(2)能利用开平方与平方互为逆运算的关系，会求非负数的平方根.
(3）能正确区分算术平方根与平方根.
2.目标解析
学生了解如果一个数的平方根等于a，那么这个数叫a的平方根或二次方根，并会归纳出平方根的特征．即正数的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根.学生知道开平方运算与平方运算互为逆运算，给一个非负数a，能找出所有满足x2=a的x.学生知道怎样表示一个非负数的平方根与算术平方根，会正确读出并理解一个非负数的平方根与算术平方根的意义.
三、教学问题诊断分析
学生对于平方根与算术平方根的概念容易混淆，经常出现“=±2”的错误.在刚开始接触平方根时，可能还有两点不太习惯，一是正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果，这与过去学生遇到的运算结果唯一的情况有所不同；二是负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算，这种对运算对象有限定要求的情况以前一般不会遇到.
基于以上学情分析，确定本节课的教学难点为：平方根与算术平方根的区别与联系.
四、教学过程设计
复习回顾
1.什么叫一个数的算术平方根？怎样表示？
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.
a的算术平方根表示为：(a≥0)，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根.
2.25的算术平方根是_____，13的算术平方根是_____.
自学导航
思考：如果一个数的平方等于9，这个数是多少？由于(±3)2=9，所以这个数是3或-3.
3是前面学习过的9的算术平方根，-3与9的算术平方根有什么关系？(与算术平方根互为相反数.)
归纳平方根的概念
填表：
如果我们把±1，±4，±6，±7，±分别叫做1，16，36，49，的平方根，你能类比算术平方根的概念，给出平方根的概念吗？
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根. 这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.
例如，3和-3是9的平方根，简记为±3是9的平方根.
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.
观察下图，你发现了什么？
平方与开平方互为逆运算
考点解析
考点1：平方根的定义
例1.求下列各数的平方根：
(1) 121； (2) 0.0036； (3) ； (4) 3； (4)104.
解：(1)因为(±11)2=121，所以121的平方根是±11；
(2)因为(±0.06)2=0.0036，所以0.0036的平方根是±0.06；
(3)因为 = ，所以的平方根是±；
(4)因为3==，所以3的平方根是±；
(5)因为104=10000，(±100)2=10000，所以104的平方根是±11；
【迁移应用】
1.4的平方根是( )
A.2 B.-2 C.+2 D.16
2.“36的平方根是±6”用数学式子表示正确的是( )
A.=6 B.=6 C. =±6 D. =±6
3.下列说法正确的是( )
A.10的平方根是100 B.100的平方根是10
C.100的平方根是-10 D.100的平方根是±10
4.的平方根是______.
5.求下列各数的平方根：
(1) 64； (2) 0.0025； (3) ； (4)(-4)2； (4)5.
解：(1)因为(±8)2=64，所以64的平方根是±8；
(2)因为(±0.05)2=0.0025，所以0.0025的平方根是±0.05；
(3)因为 = ，所以的平方根是；
(4)因为(-4)2=16，(±4)2=16，所以(-4)2的平方根是±4；
(5)因为5==，所以3的平方根是±；
能力提升
数的平方根的特征：
1.正数的平方根有什么特点？(正数有两个平方根，它们互为相反数)
2.0的平方根是多少？(0的平方根是0)
3.负数有平方根吗？(负数没有平方根)
平方根的表示
我们已经学过一个正数的算术平方根的表示方法，你能表示一个正数的平方根吗？
正数a的算术平方根可以表示为，正数a的负的平方根，可以表示为-.
正数a的平方根可以用±表示，读作“正、负根号a”．
例如，±=±3，±=±5.
平方根与算术平方根的联系与区别：
考点解析
考点2：平方根的性质
例2.已知一个正数的两个平方根分别是2a-1和a-5，求这个正数.
解：根据题意，得(2a-1)+(a-5)=0，解得a=2.
所以2a-1=3，32=9，所以这个正数为9.
【迁移应用】
1.若数a-2有平方根，则a可以取( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
2.平方根等于它自己的数是( )
A.0 B.1 C.-1 D.4
3.已知a-1与3-2a是某正数的两个平方根，则数a的值是_____.
4.如果3x-2和5x+6都是一个非负数的平方根，那么这个数是__________.
考点3：算术平方根与平方根的关系
例3.求下列各式的值：
(1)； (2)-； (3)±.
解：(1)因为192=361，所以=19；
(2)因为12.25=，=，所以-=-；
(3)因为4=，=，所以±=±.
【迁移应用】
1.下列叙述中正确的是( )
A.-3是9的平方根 B.9的平方根是-3
C.-3是(-3)2的算术平方根 D.±3是(-3)2的算术平方根
2.下列计算错误的是( )
A. =±2 B. =3 C.± =±4 D.-=-5
3.144的算术平方根是_____，平方根是_____.
4.已知正数a的算术平方根为，则a的平方根是______，a=_____.
5.求下列各式的值：
(1)-； (2) (3)±； (4).
解：(1)-=-9； (2) (3)±=±1.5； (4)=7.
考点4：平方根与算术平方根的综合应用
例4. 已知2a+1的平方根是±3，5a+2b-2的算术平方根是4，求3a-4b的平方根.
解：依题意，得2a+1=(±3)2=9，可得a=4.
所以5a+2b-2=5×4+2b-2=2b+18.
所以2b+18=42=16，可得b=-1.
所以3a-4b=3×4-4×(-1)=16.
因为(±4)2=16,
所以3a-4b的平方根是±4.
【迁移应用】
1.一个自然数的算术平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是( )
A.± B.a+1 C.a2+1 D.±
2.若2x+1的平方根是±5，则5x+4的算术平方根是_____.
3.一个数的算术平方根为2a-6，平方根为±(a-1)，求a的值与这个数.
解：分两种情况：①当2a-6=a-1时，可得a=5，此时2a-6=4，42=16；
②当2a-6=-(a-1)时，可得a=，此时2a-6=-，不符合题意，此种情况不存在.
所以a的值为5，这个数为16.
考点5：利用平方根解形如x2=a(a≥0)的方程
例5.求下列各式中x的值：
(1)3x2=48； (2) (x+1)2=4； (3)2(x-1)2-18=0.
解：(1)原式可变形为x2=16.
因为(±4)2= 16，
所以x=4或x=-4.
(2)因为(±2)2=4，
所以x+1=2或x+1=-2，
解方程，得x=1或x=-3.
所以x=1或x=-3.
(3)原式可变形为(x-1)2=9.
因为(±3)2=9，
所以x-1=3或x-1=-3
解方程，得x=4或x=-2.
所以x=4或x=-2.
【迁移应用】
求下列各式中x的值：
(1)4x2-1=0； (2) (x+1)2=81； (3)9(x-1)2=4； (4)(2x-3)2-64=0.
解：(1)原式可变形为x2= ，
因为(±)2=，
所以x=或x=-.
(2)因为(±9)2=81，
所以x+1=9或x+1=-9，
解方程，得x=8或x=-10.
所以x=8或x=-10.
(3) 原式可变形为(x-1)2=.
因为(±)2=.
所以x-1=或x-1=-.
解方程，得x=或x=.
所以x=或x=.
(4)原式可变形为(2x-3)2= 64.
因为(±8)2=64，
所以2x-3=8或2x-3=-8.
解方程，得x=或x=-.
所以x=或x=-.
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