【2024春人教七下数学精品教案】6_2 立方根 教案
文档属性
| 名称 | 【2024春人教七下数学精品教案】6_2 立方根 教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-22 13:58:26 | ||
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文档简介
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6.2 立方根 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书 数学》七年级下册（以下统称“教材”）第六章“实数”6.2 立方根，内容包括：立方根的概念、会用立方运算求一个数的立方根、立方根的性质.
2.内容解析
本章是学习二次根式、一元二次方程以及解三角形的基础，因此在中学数学中占有重要的地位.通过本章的学习，学生对数的范围的认识就由有理数扩大到实数，而无理数的概念正是由数的平方根和立方根引入的.在此之前，学生已学习了数的平方根，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：了解立方根的概念，会用立方运算求一个数的立方根.
二、目标和目标解析
1.目标
(1)了解立方根的概念，会用立方运算求一个数的立方根.
(2)了解立方根的性质，并学会用计算器计算一个数的立方根或立方根的近似值．
2.目标解析
了解立方根的概念，初步学会用根号表示一个数的立方根；了解开立方与立方万.为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根；体会立方根与平方根的区别和联系；会用计算器求立方根，让学生亲身体会到利用计算器不仅能给运算带来很大方便，也给探求数量间的关系与变化带来方便；在探究立方根的概念和有关知识的过程中，体会类比数学思想，并且发展推理能力和有条理的语言表达能力；经历运用计算器探求数学规律的过程，发展合情合理的推理能力；通过学习立方根，认识数学与人类生活的密切联系；通过探究活动，磨练克服困难的意志，建立自信心，提高学习数学的热情.
三、教学问题诊断分析
在学方根的概念和性质”掌握的较好的情况下，来探讨本节课的内容是知识的延续和创新，学生积极主动地投入实验、讨论、交流、建构中，自主探索、动手操作、协作交流，全班学生具有较扎实的知识和创新能力，通过自学、小组讨论大部分学生能够达到教学目标，部分学生基础差、白学能力有限，因此要提供赏识性评价教学策略，给予个别关照、心理暗示以及适当的精神激励，克服自卑心理，让他们逐步树立自尊心与自信心，从而完成自己的学习任务.
基于以上学情分析，确定本节课的教学难点为：立方根与平方根的联系及区别.
四、教学过程设计
自学导航
问题：制作一种容积为27m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的棱长应该是多少？
设这种包装箱的棱长为xm，则x3=27
因为33=27，所以x=3.
因此这种包装箱的棱长为3m.
一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做 a 的立方根或三次方根. 这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根.
求一个数的立方根的运算，叫做开立方.正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算.
探究：据立方根的意义填空.你能发现正数、0和负数的立方根各有什么特点吗？
因为23=8，所以8的立方根是( )；
因为( )3=0.064，所以0.064的立方根是( )；
因为( )3=0，所以0的立方根是( )；
因为( )3=-8，所以-8的立方根是( )；
因为，所以的立方根是( ).
正数的立方根是______；负数的立方根是______；0的立方根是______.
类似于平方根，一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”，其中a 是被开方数，3是根指数.
例如，表示8的立方根，=2； 表示-8的立方根，=-2.中的根指数3不能省略.
注：算术平方根的符号，实际上省略了中的根指数2.因此，也可读作“二次根号a”.
你能说说数的平方根与数的立方根有什么不同吗？
平方根与立方根的区别和联系：
探究：
因为=___，-=___，所以___-；
因为=___，-=___，所以___-.
一般地，=_____.
考点解析
考点1：立方根的定义
类型1：利用立方根的定义求一个数的立方根
例1.求下列各式的值：
(1)27； (2)3； (3)-0.125.
解：(1)因为33=27，所以27的立方根是3，即=3；
(2)因为3=，=，所以3的立方根是，；
(3)因为(-0.5)3=-0.125，所以-0.125的立方根是-0.5，即=-0.5.
【迁移应用】
1.-8的立方根是( )
A.-2 B.±2 C.2 D.-2
2.下列说法正确的是( )
A.16的算术平方根是±4 B.-3是27的立方根
C.的立方根是± D.(-1)2的立方根是1
3.的立方根是_____.
4.若a-2的立方根为-6，则a=______.
5.如果x2=1，那么下的值是_____.
6.求下列各数的立方根：
(1)-216； (2)； (3) 133； (4) -0.008.
解：(1) =-6； (2)； (3)=13； (4) =-0.2.
类型2：利用立方根的定义化简
例2.求下列各式的值：
(1)； (2)； (3)； (4)
解：(1) =-5； (2)； (3)=； (4) =.
【迁移应用】
求下列各式的值：
(1)； (2)； (3)×； (4) - +.
解：(1)-0.6；(2)；(3)-12；(4)- .
考点2：立方根的性质
例3.下列式子正确的是( )
A. B.11 C.=- D.-
解析： ，A错误； =11 ，B错误； =-，C正确； ，D错误；
【迁移应用】
1.0的立方根是( )
A.0没有立方根 B.0 C.3 D.-3
2.下列各数中，立方根一定是负数的是( )
A.-b B.-b2 C.-b2+1 D.-b2-1
3.下列说法正确的是( )
A.负数没有立方根 B.8的立方根是±2
C./-8=- D.立方根等于本身的数只有±1
4.数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：-______.
自学导航
实际上，很多有理数的立方根是无限不循环小数.例如，等都是无限不循环小数.我们可以用有理数近似地表示它们.
一些计算器设有健，用它可以求出一个数的立方根(或其近似值).
例如，用计算器求，可以按照下面的步骤进行：依次按键1845 =，显示：12.2649408147445.这样就得到的近似值12.2649408147445.
有些计算器需要用第二功能键求一个数的立方根.例如用这种计算器求，可以依次按键2ndF 1845 =，显示：12.2649408147445.
考点3：用计算器求立方根
类型1：用计算器求立方根
例4.用计算器求下列各数的立方根(精确到0.01)：
(1)1800； (2)-2356； (3)-13.27.
解：(1)依次按键1800 显示：12.16440399.
所以≈12.16；
(2)依次按键2356显示：-13.30633425.
所以≈-13.31；
(3)依次按键 13.27显示：-2.367501744.
所以≈-2.37.
【迁移应用】
用计算器求下列各式的值：(精确到0.001)
(1)； (2)； (3)-； (4)±.
解：(1)原式≈2.351；(2)原式≈4.177；(3)原式≈-10.700；(4)原式≈±21.002.
类型2：估算立方根的大小
例5.比较下列各组数的大小：
(1)与3； (2)与0.5.
解：(1)因为<，所以<3；
(2)因为<<，所以2<<3，即-1>1，
所以 >，即 >
【迁移应用】
1.估计58的立方根的大小在( )
A.2与3之间 B.3与4之间 C.4与5之间 D.5与6之间
2.比较2，，的大小，正确的是( )
A.<2< B.2<< C. <<2 D.2< <
3.的整数部分是_____，小数部分是________.
4.由103=1000，1003=1000000，能确定是两位数，请确定是_____位数.
考点4：利用立方根解方程(求值)
例6.求下列各式中x的值：
(1)x3=； (2)x3+1=-； (3)3(2x+1)3=192.
解：(1)因为x3=，所以x=；
(2)因为x3+1=-，所以x3=-所以，x=-；
(3)因为3(2x+1)3=192，所以(2x+1)3=64，所以2x+1=4，所以x=.
【迁移应用】
求下列各式中x的值：
(1)3x3+81=0； (2)8(x-1)3= ； (3)(2x+1)3-=0.
解：(1)原式可化为x3=-27，所以x=-3；
(2)原式可化为(x-1)3=，所以x-1=，即x-1=.所以x=；
(3)原式可化为(2x+1)3=，所以2x+1=，即2x+1=，所以x=-.
考点5：开立方运算在实际中的应用
例7.已知一个正方体的体积是1000cm3，现要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体，使余下的体积是488cm3，那么截去的每个小正方体的棱长是多少？
分析：根据8个小正方体的体积之和=原体积-剩余体积列方程求解.
解：设截去的每个小正方体的棱长是xcm.
根据题意，得8x3=1000-488，即x3=64.
所以x=，即x=4.
答：截去的每个小正方体的棱长是4cm.
【迁移应用】
1.一个正方体的体积变为原来的64倍，则它的棱长变为原来的_____倍.
2.要生产一种容积为80 L( 1 L=1dm3)的圆柱形容器，使它的高等于底面直径的2倍，这种容器的底面直径应为多少分米？ (用计算器计算，结果保留小数点后一位)
解：设这种容器的底面直径为d dm，则高为2d dm.
由圆柱的体积公式，得V=π()·2d，则π()·2d =80，
所以d 3=，所以d=≈3.7.
答：这种容器的底面直径应为3.7 dm.
考点6：利用“=”解决问题
例8.对于结论：当a+b=0时，a3+b3=0也成立.若将a看成是a3的立方根，b看成是b3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两数也互为相反数”.
(1)试举一个符合上述结论的例子.
(2)若与的值互为相反数，求1-的值.
解：(1)答案不唯一.如+=2+(-2)=0，8与-8互为相反数.
(2)根据题意，得(3-2x) +(x+5)=0，解得x=8，所以1-=1-=1-4=-3.
【迁移应用】
1.若+=0，则x和y的关系是( )
A.x=y=0 B.x-y= 0 C.xy=1 D.x+y=0
2.已知与互为相反数，求2a-3b+3的值.
解：因为与互为相反数，
所以2a+1+1-3b=0，即2a-3b=-2.
所以2a-3b+3=-2+3=1.
考点7：利用算术平方根、平方根与立方根解决问题
例9.已知x+1的平方根是±2，2x-y+1的立方根是2，求x-y的算术平方根.
解：由x+1的平方根是±2，得x+1=(±2)2，所以x=3.
由2x-y+1的立方根是2，得2×3-y+1=23，
所以y=-1.
所以===2.
故x-y的算术平方根为2.
【迁移应用】
1.正数x的两个平方根分别为2-a和2a-1，则a的立方根为( )
A.-1 B.1 C.-3 D.3
2.若5x+19的立方根是4，则3x+9的平方根是_______.
3.若=，则a=________.
4.已知y的立方根是2，2x-y是16的算术平方根，求：(1)x，y的值；(2)x2+y2的平方根.
解：(1)由于y的立方根是2，2x-y是16的算术平方根，所以y=23=8，2x-y=4，所以x=6，y= 8.
(2)由(1)知x=6，y=8，所以x2+y2=62+82= 100，所以x2+y2的平方根为±=±10.
合作探究
探究：计算器计算…，=_____，=____，=____，=____，…，你能发现什么规律？
规律：______________________________________________________.
用计算器计算≈____，(精确到0.001)，并利用你发现的规律求≈_______，≈_________，≈______.
考点解析
考点8：立方根的规律探究
例10. 【从特殊到一般的思想】 (1)利用计算器计算：=____，=____，=______.
(2)已知≈0.716，≈1.542，≈3.323，直接写出下列各式的值：
①≈________；②≈________；③≈__________.
思路分析：(1) 利用计算器计算，对比被开方数小数点的变化与它的立方根小数点的变化，从而发现规律.
【迁移应用】
1.已知≈6. 882，若≈68.82，则x的值约为( )
A.326000 B.32600 C.3.26 D.0.326
2.先观察下列等式：
=2，=3，=4.
经过观察，写出满足上述各式规律的一般化公式：____________________________ .(用字母n表示)
3.已知≈1.038，≈2.237，≈4. 820，求下列各式的值：
(1)； (2).
解：(1)1120是1.12的小数点向右移动3位后的数，故它的立方根的小数点相应地向右移动1位，即≈10.38.
(2)0.112是112的小数点向左移动3位后的数，故它的立方根的小数点相应地向左移动1位，即=-≈-0.482.
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6.2 立方根 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书 数学》七年级下册（以下统称“教材”）第六章“实数”6.2 立方根，内容包括：立方根的概念、会用立方运算求一个数的立方根、立方根的性质.
2.内容解析
本章是学习二次根式、一元二次方程以及解三角形的基础，因此在中学数学中占有重要的地位.通过本章的学习，学生对数的范围的认识就由有理数扩大到实数，而无理数的概念正是由数的平方根和立方根引入的.在此之前，学生已学习了数的平方根，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：了解立方根的概念，会用立方运算求一个数的立方根.
二、目标和目标解析
1.目标
(1)了解立方根的概念，会用立方运算求一个数的立方根.
(2)了解立方根的性质，并学会用计算器计算一个数的立方根或立方根的近似值．
2.目标解析
了解立方根的概念，初步学会用根号表示一个数的立方根；了解开立方与立方万.为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根；体会立方根与平方根的区别和联系；会用计算器求立方根，让学生亲身体会到利用计算器不仅能给运算带来很大方便，也给探求数量间的关系与变化带来方便；在探究立方根的概念和有关知识的过程中，体会类比数学思想，并且发展推理能力和有条理的语言表达能力；经历运用计算器探求数学规律的过程，发展合情合理的推理能力；通过学习立方根，认识数学与人类生活的密切联系；通过探究活动，磨练克服困难的意志，建立自信心，提高学习数学的热情.
三、教学问题诊断分析
在学方根的概念和性质”掌握的较好的情况下，来探讨本节课的内容是知识的延续和创新，学生积极主动地投入实验、讨论、交流、建构中，自主探索、动手操作、协作交流，全班学生具有较扎实的知识和创新能力，通过自学、小组讨论大部分学生能够达到教学目标，部分学生基础差、白学能力有限，因此要提供赏识性评价教学策略，给予个别关照、心理暗示以及适当的精神激励，克服自卑心理，让他们逐步树立自尊心与自信心，从而完成自己的学习任务.
基于以上学情分析，确定本节课的教学难点为：立方根与平方根的联系及区别.
四、教学过程设计
自学导航
问题：制作一种容积为27m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的棱长应该是多少？
设这种包装箱的棱长为xm，则x3=27
因为33=27，所以x=3.
因此这种包装箱的棱长为3m.
一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做 a 的立方根或三次方根. 这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根.
求一个数的立方根的运算，叫做开立方.正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算.
探究：据立方根的意义填空.你能发现正数、0和负数的立方根各有什么特点吗？
因为23=8，所以8的立方根是( )；
因为( )3=0.064，所以0.064的立方根是( )；
因为( )3=0，所以0的立方根是( )；
因为( )3=-8，所以-8的立方根是( )；
因为，所以的立方根是( ).
正数的立方根是______；负数的立方根是______；0的立方根是______.
类似于平方根，一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”，其中a 是被开方数，3是根指数.
例如，表示8的立方根，=2； 表示-8的立方根，=-2.中的根指数3不能省略.
注：算术平方根的符号，实际上省略了中的根指数2.因此，也可读作“二次根号a”.
你能说说数的平方根与数的立方根有什么不同吗？
平方根与立方根的区别和联系：
探究：
因为=___，-=___，所以___-；
因为=___，-=___，所以___-.
一般地，=_____.
考点解析
考点1：立方根的定义
类型1：利用立方根的定义求一个数的立方根
例1.求下列各式的值：
(1)27； (2)3； (3)-0.125.
解：(1)因为33=27，所以27的立方根是3，即=3；
(2)因为3=，=，所以3的立方根是，；
(3)因为(-0.5)3=-0.125，所以-0.125的立方根是-0.5，即=-0.5.
【迁移应用】
1.-8的立方根是( )
A.-2 B.±2 C.2 D.-2
2.下列说法正确的是( )
A.16的算术平方根是±4 B.-3是27的立方根
C.的立方根是± D.(-1)2的立方根是1
3.的立方根是_____.
4.若a-2的立方根为-6，则a=______.
5.如果x2=1，那么下的值是_____.
6.求下列各数的立方根：
(1)-216； (2)； (3) 133； (4) -0.008.
解：(1) =-6； (2)； (3)=13； (4) =-0.2.
类型2：利用立方根的定义化简
例2.求下列各式的值：
(1)； (2)； (3)； (4)
解：(1) =-5； (2)； (3)=； (4) =.
【迁移应用】
求下列各式的值：
(1)； (2)； (3)×； (4) - +.
解：(1)-0.6；(2)；(3)-12；(4)- .
考点2：立方根的性质
例3.下列式子正确的是( )
A. B.11 C.=- D.-
解析： ，A错误； =11 ，B错误； =-，C正确； ，D错误；
【迁移应用】
1.0的立方根是( )
A.0没有立方根 B.0 C.3 D.-3
2.下列各数中，立方根一定是负数的是( )
A.-b B.-b2 C.-b2+1 D.-b2-1
3.下列说法正确的是( )
A.负数没有立方根 B.8的立方根是±2
C./-8=- D.立方根等于本身的数只有±1
4.数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：-______.
自学导航
实际上，很多有理数的立方根是无限不循环小数.例如，等都是无限不循环小数.我们可以用有理数近似地表示它们.
一些计算器设有健，用它可以求出一个数的立方根(或其近似值).
例如，用计算器求，可以按照下面的步骤进行：依次按键1845 =，显示：12.2649408147445.这样就得到的近似值12.2649408147445.
有些计算器需要用第二功能键求一个数的立方根.例如用这种计算器求，可以依次按键2ndF 1845 =，显示：12.2649408147445.
考点3：用计算器求立方根
类型1：用计算器求立方根
例4.用计算器求下列各数的立方根(精确到0.01)：
(1)1800； (2)-2356； (3)-13.27.
解：(1)依次按键1800 显示：12.16440399.
所以≈12.16；
(2)依次按键2356显示：-13.30633425.
所以≈-13.31；
(3)依次按键 13.27显示：-2.367501744.
所以≈-2.37.
【迁移应用】
用计算器求下列各式的值：(精确到0.001)
(1)； (2)； (3)-； (4)±.
解：(1)原式≈2.351；(2)原式≈4.177；(3)原式≈-10.700；(4)原式≈±21.002.
类型2：估算立方根的大小
例5.比较下列各组数的大小：
(1)与3； (2)与0.5.
解：(1)因为<，所以<3；
(2)因为<<，所以2<<3，即-1>1，
所以 >，即 >
【迁移应用】
1.估计58的立方根的大小在( )
A.2与3之间 B.3与4之间 C.4与5之间 D.5与6之间
2.比较2，，的大小，正确的是( )
A.<2< B.2<< C. <<2 D.2< <
3.的整数部分是_____，小数部分是________.
4.由103=1000，1003=1000000，能确定是两位数，请确定是_____位数.
考点4：利用立方根解方程(求值)
例6.求下列各式中x的值：
(1)x3=； (2)x3+1=-； (3)3(2x+1)3=192.
解：(1)因为x3=，所以x=；
(2)因为x3+1=-，所以x3=-所以，x=-；
(3)因为3(2x+1)3=192，所以(2x+1)3=64，所以2x+1=4，所以x=.
【迁移应用】
求下列各式中x的值：
(1)3x3+81=0； (2)8(x-1)3= ； (3)(2x+1)3-=0.
解：(1)原式可化为x3=-27，所以x=-3；
(2)原式可化为(x-1)3=，所以x-1=，即x-1=.所以x=；
(3)原式可化为(2x+1)3=，所以2x+1=，即2x+1=，所以x=-.
考点5：开立方运算在实际中的应用
例7.已知一个正方体的体积是1000cm3，现要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体，使余下的体积是488cm3，那么截去的每个小正方体的棱长是多少？
分析：根据8个小正方体的体积之和=原体积-剩余体积列方程求解.
解：设截去的每个小正方体的棱长是xcm.
根据题意，得8x3=1000-488，即x3=64.
所以x=，即x=4.
答：截去的每个小正方体的棱长是4cm.
【迁移应用】
1.一个正方体的体积变为原来的64倍，则它的棱长变为原来的_____倍.
2.要生产一种容积为80 L( 1 L=1dm3)的圆柱形容器，使它的高等于底面直径的2倍，这种容器的底面直径应为多少分米？ (用计算器计算，结果保留小数点后一位)
解：设这种容器的底面直径为d dm，则高为2d dm.
由圆柱的体积公式，得V=π()·2d，则π()·2d =80，
所以d 3=，所以d=≈3.7.
答：这种容器的底面直径应为3.7 dm.
考点6：利用“=”解决问题
例8.对于结论：当a+b=0时，a3+b3=0也成立.若将a看成是a3的立方根，b看成是b3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两数也互为相反数”.
(1)试举一个符合上述结论的例子.
(2)若与的值互为相反数，求1-的值.
解：(1)答案不唯一.如+=2+(-2)=0，8与-8互为相反数.
(2)根据题意，得(3-2x) +(x+5)=0，解得x=8，所以1-=1-=1-4=-3.
【迁移应用】
1.若+=0，则x和y的关系是( )
A.x=y=0 B.x-y= 0 C.xy=1 D.x+y=0
2.已知与互为相反数，求2a-3b+3的值.
解：因为与互为相反数，
所以2a+1+1-3b=0，即2a-3b=-2.
所以2a-3b+3=-2+3=1.
考点7：利用算术平方根、平方根与立方根解决问题
例9.已知x+1的平方根是±2，2x-y+1的立方根是2，求x-y的算术平方根.
解：由x+1的平方根是±2，得x+1=(±2)2，所以x=3.
由2x-y+1的立方根是2，得2×3-y+1=23，
所以y=-1.
所以===2.
故x-y的算术平方根为2.
【迁移应用】
1.正数x的两个平方根分别为2-a和2a-1，则a的立方根为( )
A.-1 B.1 C.-3 D.3
2.若5x+19的立方根是4，则3x+9的平方根是_______.
3.若=，则a=________.
4.已知y的立方根是2，2x-y是16的算术平方根，求：(1)x，y的值；(2)x2+y2的平方根.
解：(1)由于y的立方根是2，2x-y是16的算术平方根，所以y=23=8，2x-y=4，所以x=6，y= 8.
(2)由(1)知x=6，y=8，所以x2+y2=62+82= 100，所以x2+y2的平方根为±=±10.
合作探究
探究：计算器计算…，=_____，=____，=____，=____，…，你能发现什么规律？
规律：______________________________________________________.
用计算器计算≈____，(精确到0.001)，并利用你发现的规律求≈_______，≈_________，≈______.
考点解析
考点8：立方根的规律探究
例10. 【从特殊到一般的思想】 (1)利用计算器计算：=____，=____，=______.
(2)已知≈0.716，≈1.542，≈3.323，直接写出下列各式的值：
①≈________；②≈________；③≈__________.
思路分析：(1) 利用计算器计算，对比被开方数小数点的变化与它的立方根小数点的变化，从而发现规律.
【迁移应用】
1.已知≈6. 882，若≈68.82，则x的值约为( )
A.326000 B.32600 C.3.26 D.0.326
2.先观察下列等式：
=2，=3，=4.
经过观察，写出满足上述各式规律的一般化公式：____________________________ .(用字母n表示)
3.已知≈1.038，≈2.237，≈4. 820，求下列各式的值：
(1)； (2).
解：(1)1120是1.12的小数点向右移动3位后的数，故它的立方根的小数点相应地向右移动1位，即≈10.38.
(2)0.112是112的小数点向左移动3位后的数，故它的立方根的小数点相应地向左移动1位，即=-≈-0.482.
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