【2024春人教七下数学精品教案】7.1.2 平面直角坐标系

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7.1.2 平面直角坐标系 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书 数学》七年级下册（以下统称“教材”）第七章“平面直角坐标系”7.1.2 平面直角坐标系，内容包括：平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念、坐标轴上点的坐标特征.
2.内容解析
本节课是《平面直角坐标系》的第二课，主要内容是：让学生认识平面直角坐标系，了解点与坐标的对应关系，掌握坐标轴及各象限点的坐标的符号特征.平面直角坐标系是在学生学习了数轴和有序数对后的一次概念性教学，它的建立架起了数与形之间的桥梁，是数形结合的具体体现.它不仅强化了平面直角坐标系的意义，还将其应用于现实生活中，并为今后函数和解析几何的学习打下基础，它在整个初中数学教材体系中有着举足轻重的作用.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解平面直角坐标系的有关概念，由点的位置写出坐标，由坐标描出点的位置，并掌握坐标轴及象限内点的坐标符号特征.
二、目标和目标解析
1.目标
(1)理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念，认识并能画出平面直角坐标系；
(2)理解各象限内及坐标轴上点的坐标特征；
(3)会用象限或坐标轴说明直角坐标系内点的位置，能根据横、纵坐标的符号确定点的位置．
2.目标解析
理解平面直角坐标系的有关概念，能正确地画出平面直角坐标系，并会由点确定坐标、由坐标描点，准确知道各象限的点的符号特征，初步感受数形结合的思想.通过实例、活动与实践，让学生经历从实际生活中的具体问题抽象出数学模型平面直角坐标系的过程；体验数学来源于生活，并服务于生活.培养学生合作意识，感受学习的快乐，让不同层次的学生得到不同的收获，感受成功，建立自信.
三、教学问题诊断分析
七年级的学生活泼好动，好奇心强，他们正处于独立思维发展的重要阶段，对数学的求知欲较强，具有初步的自主、合作探究的学习能力，对数轴有一定的认识，因此，对于平面直角坐标系的构成和建立较为容易理解.学习本节内容之前，学生已经具有使用数轴的经验，了解了直线上的点与有理数之间的对应关系.
平面内点的坐标概念以及山坐标描点和山点写出坐标.山于“对应”的概念比较抽象，所以认识点与坐标D对应是本节课教学的难点，在教学设计中利用具体的例子对该问题进行说明，加深学生的理解.
基于以上学情分析，确定本节课的教学难点为：理解建立平面直角坐标系的必要性，体会平面直角坐标系中点与坐标的一一对应关系.
四、教学过程设计
复习回顾
1.在平面内，确定物体的位置一般需要几个数据？有哪些方法？
在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据.
常用的方法：用有序数对来确定，如：(排，列)，(组，排)，(排，号)，(角度，距离)，(经度，纬度)等.
2.什么是数轴？
规定了原点、正方向、单位长度的直线就构成了数轴.
数轴上的点A表示数1. 反过来，数1就是点A的位置. 我们说数1是点A在数轴上的坐标.
同理可知，点B在数轴上的坐标是____；点C在数轴上的坐标是____；点D在数轴上坐标是____.
数轴上的点与实数之间存在着__________的关系.
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思考：类似于利用数轴确定直线上点的位置，能不能找到一种方法来确定平面内的点的位置呢？(例如：下图中A、B、C、D各点)
如图，我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系. 水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点.
有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示了.
例如，由点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足M在x轴上的坐标是3，垂足N在y轴上的坐标是4，我们说点A的横坐标是3，纵坐标是4，有序数对(3，4)就叫做点A的坐标，记作A(3，4).
类似地，请你写出点B，C，D的坐标：
思考：原点O的坐标是什么？x轴和y轴上的点的坐标有什么特点？
原点O的坐标为(0，0)；x 轴上的点的纵坐标为0，例如(1，0)，(-1，0)，…；y 轴上的点的横坐标为0，例如(0，1)，(0，-1)，….如右上图A(3，0)，B(-2，0) ，C(0，2)，D(0，-3).
建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，每个部分称为象限，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限. 坐标轴上的点不属于任何象限.
考点解析
考点1：平面直角坐标系及点的坐标
例1. 如图，写出平面直角坐标系中点A，B，C，D，E，F，G，O的坐标.
解：A(3,4)，B(-6,4)，C (-5,-2)，D (-5,2)，E(0,3)，F(2,0)，G(-4,0)，O(0,0).
【迁移应用】
1.下列选项中，平面直角坐标系的画法正确的是( )
2.如果点P的坐标是(-1,2)，那么点Р的横坐标是_____，纵坐标是_____.
3.如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是_______，点D的坐标是______，坐标为(-1,-2)的点是______.
例2.在如图所示的平面直角坐标系中，描出下列各点：
A(2,3)，B(0,3)，C(-2,-2)，D(2,-1).
解：描出A，B，C，D四个点的位置如图所示.
【迁移应用】
1.点A(-1,2)到x轴的距离是( )
A.-1 B.1 C.-2 D.2
2.在如图所示的平面直角坐标系中，描出A(-2,2)，B(3,2)，C(-2,-1)，D (3,-1)四个点，并顺次连接，你认为它像什么？
解：点A，B，C，D的位置如图所示，顺次连接后的图形像字母“Z”.
合作探究
我们知道，数轴上的点与实数是一一对应的.我们还可以得出：对于坐标平面内任意一点M，都有唯一的一对有序实数(x，y)(即点M的坐标)和它对应；反过来，对于任意一对有序实数(x，y)，在坐标平面内都有唯一的一点M(即坐标为(x，y)的点)和它对应.也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的.
探究：如图，正方形ABCD的边长为6，如果以点A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，那么y轴是哪条线？写出正方形的顶点A、B、C、D的坐标.
请另建立一个平面直角坐标系，这时正方形的顶点A、B、C、D的坐标又分别是多少？与同学们交流一下.
【总结提升】由上得知，建立的平面直角坐标系不同，则各点的坐标也不同．你认为怎样建立直角坐标系才比较适当？
建立平面直角坐标系，一般要使图形上的点的坐标容易确定，例如以正方形的两条边所在的直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，又如以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系．需要说明的是，虽然建立不同的平面直角坐标系，同一个点会有不同的坐标，但正方形的形状和性质不会改变．
考点解析
考点2：象限及象限内点的坐标特征
例3.已知点Р位于y轴右侧，x轴下方，距离y轴3个单位长度，距离x轴5个单位长度，则点Р的坐标为( )
A.(-3,5) B.(3,-5) C.(5,-3) D.(-5,3)
解析：设P(m,n).因为点Р位于y轴右侧，且距离y轴3个单位长度，所以m>0, |m|=3，所以m=3.
因为点P位于x轴下方，距离x轴5个单位长度，所以n<0， |n|=5，所以n=-5.所以点P的坐标为(3,-5).
【迁移应用】
1.在平面直角坐标系中，点A(-1,-2)落在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.在平面直角坐标系中，点A (a,2)在第一象限，则a的取值可以是( )
A.1 B.- C. D.4或-4
3.若点A (-3,y)在第三象限，则点B(-3,-y)在第_____象限.
4.已知点P的坐标为(a+3,b-1).
(1)若点Р在x轴上，则b=_____；
(2)若点Р在y轴上，则a=_____；
(3)若点Р在第二象限，且点P到y轴的距离为2，则a=_____；
(4)若点Р在第四象限，且点Р到x轴的距离为3，则b=_____.
5.点P(2-a,3a+6)到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是_______________.
考点3：平行于坐标轴的直线上的点的坐标
例4.如图，已知长方形ABCD的长为8，宽为6.
(1)若以BC所在的直线为x轴，以AB所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，四个顶点的坐标分别是什么？
(2)如果以平行于AD的直线为x轴，以平行于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，使点D的坐标为(3,1)，那么其他三个顶点的坐标分别是什么？
解：(1)建立平面直角坐标系如图所示，顶点A，B，C，D的坐标分别为(0,6)，(0,0)，( 8,0)，(8,6).
(2)因为AD//x轴，AD=8，D(3,1)，点A在点D左侧，所以点A与点D的纵坐标相同，所以点A(-5,1 ).
因为AB//y轴，AB=6，点B在点A下方，所以点B与点A的横坐标相同，所以点B(-5,-5).
因为BC// x轴，CD // y轴，
所以点C与点B的纵坐标相同，点C与点D的横坐标相同，所以点C( 3,-5).
【迁移应用】
1.已知点A (m+1,-2)和点B(3,m-1)，若直线AB// x轴，则m的值为( )
A.2 B.-4 C.-1 D.3
2.平面直角坐标系中，直线a经过点A(-2,3)，B (4,3)，则直线a还经过点( )
A.(-5,4) B.(3,-8) C.(0,3) D.(3,-3)
3.在平面直角坐标系中，AB//y轴，AB=5，点A的坐标为(-5,3)，则点B的坐标为( )
A.(-5,8) B.(0,3) C.(-5,8)或(-5,-2) D.(0,3)或(-10,3)
4.在平面直角坐标系中，已知点A(-3,2)，B(1,4)，经过点A 的直线l//x轴，C是直线l上的一个动点，则线段BC的长度最小时，点C的坐标为( )
A.(-1,4) B.(1,0) C.(1,2) D.(4,2)
5.如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点M，N的坐标分别为(3,9)，(12,9)，则顶点A 的坐标为_________.
考点4：求平面直角坐标系中的图形面积
例5.【数形结合思想】已知三角形ABC三个顶点的坐标分别为A(0,3)，B(9,3)，C(1,-1).求三角形ABC的面积.
解：如图，在平面直角坐标系中标出A，B，C三点.
因为A，B两点的纵坐标相等，所以AB//x轴，AB=|9-0|=9.
因为点C(1,-1)，所以点C到边AB的距离是|3-(-1 )|= 4.
所以三角形ABC的边AB=9，边AB上的高为4，所以三角形ABC的面积为×9×4=18.
【迁移应用】
1.在平面直角坐标系中，已知点A(3,2)和点B(3,4)，则三角形OAB的面积为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2. 若三角形ABC的三个顶点的坐标分别为A (-3,-1)，B (2,-1)，C(1,3)，则三角形ABC的面积为( )
A.7.5 B.10 C.15 D.20
3.如图，四边形ABCD所在的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位长度.
(1)建立以点B为原点，AB边所在直线为x轴的平面直角坐标系；
(2)写出点A，B，C，D的坐标；
(3)求出四边形ABCD的面积.
解：(1)如图所示：
(2)A(-4,0)，B(0,0)，C(2,2)，D(0,3 ).
(3)S四边形ABCD=S三角形ABD+S三角形BCD
=4×3+×3×2
=9.
例6. 已知点O (0,0)，B(1,2)，点A 在坐标轴上，且S三角形OAB=3，求满足条件的点A的坐标.
分析：结合三角形的面积公式，分点A在x轴上和点A在y轴上两种情况求解.
解：若点A在x轴上，则S三角形OAB=OA·2=3，
所以OA=3，故点A的坐标为(3,0)或(-3,0 ) .
若点A在y轴上，则S三角形OAB=OA· 1=3，
所以OA=6，故点A的坐标为(0,6)或(0,-6).
综上所述，满足条件的点A的坐标为(3,0)或(-3,0)或(0,6)或(0,-6).
【迁移应用】
1.已知点A (-1,0)，B(2,0)，在y轴上有一点C，使三角形ABC的面积为6，则点C的坐标为( )
A.(0,4) B.(0,2) C.(0,2)或(0,-2) D.(0,4)或(0,-4)
2.在平面直角坐标系中，已知点O(0,0)，B(1,2)，点A在x轴上，且S三角形ABO=2，求点A的坐标.
解：设点A的坐标为(x,0).
因为S三角形ABO=2，
所以××2=2，所以=2，所以x=2 或x =-2,
所以点A的坐标为(2,0)或(-2,0).
考点5：点的坐标的规律探究
例7.一只电子跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第1秒，它从原点跳到(0,1)，然后按图中箭头所示的方向以每秒1个单位长度的速度跳动，即(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0) →……那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是( )
A.(4,0) B.(5,0) C.(0,5) D.(5,5)
以此类推，到(0,5)用时25s，到(6,0 )用时36s，所以第35秒时电子跳蚤在(6,0)左侧1个单位长度处，故其坐标为(5,0).
【迁移应用】
1.如图，长方形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙由点A (2,0)同时出发，沿长方形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以每秒1个单位长度的速度运动，物体乙按顺时针方向以每秒2个单位长度的速度运动，则两个物体运动后的第2024次相遇的点的坐标是( )
A.(2,0) B.(-1,1) C.(-2,1) D.(-1,-1)
2.如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,2)，(3,1)，(3,0)……根据这个规律探究可得，第22个点的坐标为_________.
【解析】观察图形，可知：第n列点的个数为n.
因为1+2+3+4+5+6=21，所以第22个点为第7列从上往下的第1个.
所以第22个点的坐标为(7,6).
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