【2024春人教七下数学精品教案】8.1 二元一次方程组

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8.1 二元一次方程组 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书 数学》七年级下册（以下统称“教材”）第八章“二元一次方程组”8.1 二元一次方程组，内容包括：二元一次方程（组）及其解的定义.
2.内容解析
二元一次方程组是新人教版七年级数学(下)第八章第一节的内容. 在此之前，学生已学习了一元一次方程，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.本节内容主要学习和二元一次方程组有关的四个概念.本节内容既是前面知识的深化和应用，又是今后用二元一次方程组解决生活中的实际问题的预备知识，占据重要的地位，是学生新的方程建模的基础课，为今后学习一次函数以及其他学科(如：物理)的学习奠定基础，同时建模的思想方法对学生今后的发展有引导作用，因此本节课具有承上启下的作用.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：(1)了解二元一次方程（组）及其解的定义.(2)会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解.
二、目标和目标解析
1.目标
(1)了解二元一次方程（组）及其解的定义.
(2)会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解.
(3)能根据实际问题列出简单的二元一次方程组.
2.目标解析
掌握二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的概念，通过实例认识二元一次方程和二元一次方程组也是反映数量关系的重要数学模型；体会实际问题中二元一次方程组是 反映现实世界多个量之间相等关系的一种有效的数学模型，能感受二元一次方程(组) 的重要作用；通过对本节知识点的学习，提高分析问题、解决问题和逻辑思维能力；引导学生对情境问题的观察、思考，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心.
三、教学问题诊断分析
七年级学生思维活跃，好奇心强，希望平等交流研讨，厌烦空洞的说教.因此，在教学过程中，积极采用形象生动、形式多样的教学方法和学生广泛的、积极主动参与的学习方式，激发他们的兴趣.一方面通过学案与课件，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面创造条件和机会，让学生自主练习，合作交流，培养学生学习的主动性、与人合作的精神，激发学生的兴趣和求知欲，感受成功的乐趣.
基于以上学情分析，确定本节课的教学难点为：能解决简单的实际问题中二元一次方程(组)的数学建模问题.
四、教学过程设计
复习回顾
1.什么叫方程？
含有未知数的等式叫做方程.如：2x+3=5，x+y=8.
2.什么叫一元一次方程？
在一个方程中，只含有一个未知数(元)，并且未知数的指数是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程.如：2x+3=5，y+6=8.
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引言：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分.某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？
你会用已经学过的一元一次方程解决这个问题吗？
解：设胜的场数是x，则负的场数是(10﹣x)，根据题意得：
2x+(10﹣x)=16
解得，x=6
负的场数：10﹣6=4
答：这个队胜6场，负4场.
思考：上述问题包含了哪些必须同时满足的条件？设胜的场数是 x ，负的场数是 y ，你能用方程把这些条件表示出来吗？
胜的场数+负的场数=总场数 x+y=10
胜场积分+负场积分=总积分 2x+y=16
二元一次方程：
x+y=10；2x+y=16
这两个方程有什么特点？与一元一次方程有什么不同？
【归纳】上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数(x和y)，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.
注意：1.“一次”是指含未知数的项的次数是1，而不是未知数的次数；
2.方程的左右两边都是整式.
考点解析
考点1：二元一次方程
例1.下列各方程中，一定是二元一次方程的有________.(填序号)
①8x﹣y=3；②3x﹣z=y；③2x﹣z=3；④3x2+1=y；⑤xy=2；⑥+y=2；⑦x﹣y=；⑧ax+3y=5(a是常数).
解析：①③⑦满足二元一次方程的三个条件，是二元一次方程；②含有三个未知数，不是二元一次方程；④⑤含有未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程；⑥分母含有未知数，不是二元一次方程；⑧中若a=0，则只含有一个未知数，不是二元一次方程.
【迁移应用】
1.下列各式中是二元一次方程的是( )
A.2x=y B.xy+5=4 C.y+2=3y D.x2+y=2
2.方程“■x﹣2y=x+5”是二元一次方程，■是被弄污的常数，可以推断■的值不可能是( )
A.﹣1 B.﹣2 C.1 D.2
3.下列各式：①3x﹣y=2；②+7=6y；③y﹣=5；④xy=；⑤4x﹣3y；⑥﹣2y=4；⑦x+y+z=5；⑧5x+3=x﹣4y.其中是二元一次方程的有_______.(填序号)
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二元一次方程组
上述问题中包含了两个必须同时满足的条件，也就是未知数x，y必须同时满足方程x+y=10和2x+y=16.
把这两个方程合在一起，写成，就组成了一个方程组.这个方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.
注：(1) 2个未知数；(2) 未知数的项的次数是1； (3) 方程的左右两边都是整式.
考点解析
考点2：二元一次方程组
例2.下列方程组是二元一次方程组的有( )
① ② ③ ④
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【迁移应用】
1.下列方程组中，是二元一次方程组的是( )
A. B. C. D.
2.有下列方程组：① ② ③
④ ⑤其中不是二元一次方程组的有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
合作探究
探究：满足方程x+y=10，且符合问题的实际意义的x，y的值有哪些？把它们填在表中.
如果不考虑方程x+y=10与前面实际问题的联系，那么x=﹣1，y=11；x=0.5，y=9.5……也都是这个方程的解.
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
上表中哪对x，y的值还满足方程2x+y=16.
x=6，y=4既满足方程x+y=10，又满足方程2x+y=16.也就是说，x=6，y=4是方程x+y=10与方程2x+y=16的公共解. 我们把x=6，y=4叫做二元一次方程组的解，这个解通常记作.
联系前面的问题可知，这个队在10场比赛中胜6场、负4场.
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
考点解析
考点3：二元一次方程的解
例3.二元一 次方程2x+y=4有无数组解，下列各组x，y的值中，不是该方程的解的是( )
A. B. C. D.
解析：把各选项中x，y的值分别代入2x+y=4中，可以发现当x=1，y=1时，方程左边=2×1+1=3，右边=4，左边≠右边，所以不是该方程的解.
【迁移应用】
1.下列各组数中，是二元一次方程2x﹣y=﹣6的解的是 ( )
A. B. C. D.
2.若是关于x，y的二元一次方程ax﹣y=4的解，则a的值为( )
A.﹣2 B.2 C.3 D.﹣3
3.已知是方程ax+by=3的解，则2a+4b﹣5的值为______.
4.填表，使上下每对x，y的值是方程3x+2y= 6的解.
考点4：二元一次方程组的解
例4. 判断是不是二元一次方程组的解.
解：把x=2，y=﹣3代入方程①的左边，得左边=2×2﹣(﹣3)=7=右边，所以是方程①的解.把x=2，y=﹣3代入方程②的左边，得左边=2+2×(﹣3)=﹣4=右边，所以是方程②的解.
所以是二元一次方程组的解.
【迁移应用】
1.方程组，的解为( )
A. B. C. D.
2.已知方程组，的解是，则m+n的值为______.
3.若关于x，y的二元一次方程组的解为则多项式A可以是__________.(写一个即可)
考点5：二元一次方程组的解
例5.(1) 已知2xa﹣5﹣(b﹣2)y|b|﹣1=4是关于x，y的二元一次方程，则a﹣2b=_____.
(2)若是关于x，y的二元一次方程组，则a=_____，b=_____.
解析：(1)由题意得a﹣5=1，|b|﹣1=1，b﹣2≠0，所以a=6，b=﹣2，则a﹣2b=6﹣2×(﹣2)= 10.
(2)由题意得|a|=1，b﹣5=0，则a=±1，b=5.
再根据方程组中一共含有两个未知数得a﹣1≠0，则a≠1.所以a=﹣1，b=5.
【迁移应用】
1.若式子2+(m﹣1)y=3是关于x，y的二元一次方程，则m=_____.
2.已知是关于x，y的二元一次方程组，则m=_____.
3.已知关于x，y的方程(k2﹣1)x2+(k+1)x+(k﹣7)y=k+2.
(1)当k为何值时，方程为一元一次方程？
(2)当k为何值时，方程为二元一次方程？
解：(1)当k2﹣1=0且k+1=0时，方程为一元一次方程，此时k=﹣1.
(2)当k2﹣1=0且k+1≠0且k﹣7≠0时，方程为二元一次方程，此时k=1.
考点6：利用二元一次方程组的解的定义解决错解问题
例6.已知关于x，y的方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，求a201+的值.
解：根据题意可知是方程4x﹣by=﹣2的解，代入得﹣12+b=﹣2，解得b= 10；是方程ax+5y=15的解，代入得5a+20=15，解得a=﹣1.
所以a201+=(﹣1)201+=0.
【迁移应用】
1.甲、乙两位同学在解关于x，y的方程组时，甲看错字母a得到方程组的解为，乙看错字母b得到方程组的解为，则a=____，b=____.
解析：由题意，将代入2x﹣by=﹣1，得8﹣3b=﹣1，所以b=3.
将代入ax+3y=4，得﹣2a+6=4，所以a= 1.
2.下面是状状、成成两名同学同时解方程组，时的情形.
根据他们的对话，请问m，n的值是二元一次方程m﹣3n=2的解吗？
解：由题意可得是方程mx﹣2y=10的解，代入得﹣2m+2=10，解得m=﹣4；是方程x+ny=﹣3的解，代入得1+2n=﹣3，解得n=﹣2.
把m=﹣4，n=﹣2代入m﹣3n=2的左边，得左边=﹣4﹣3×(﹣2)= 2=右边，
所以m=﹣4，n=﹣2是二元一次方程m﹣3n=2的解.
考点7：根据实际问题列二元一次方程组
例7.《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.木长是多少尺？若设绳子长x尺，木长是y尺，所列方程组正确的是( )
A. B. C. D.
解析：找准两个等量关系：
①绳子长度﹣木长=4.5尺；
②绳子长度的一半+1尺=木长.
【迁移应用】
1.为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，湘潭市举办了第10届青少年机器人竞赛.组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个，若桌子腿数与凳子腿数的和为40条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？设有x张桌子，有y条凳子，根据题意所列方程组正确的是( )
A. B. C. D.
2.某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元.若设每辆A型车的售价为x万元，每辆B型车的售价为y万元，根据题意可列出方程组为__________.
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