【2024春人教七下数学精品教案】8.2.1 二元一次方程组的解法-代入消元法（第一课时）

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8.2.1 二元一次方程组的解法﹣代入消元法 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书 数学》七年级下册（以下统称“教材”）第八章“二元一次方程组” 8.2.1 二元一次方程组的解法﹣代入消元法，内容包括：利用代入消元法解二元一次方程组.
2.内容解析
本课内容是继学生掌握了二元一次方程组的有关概念之后学习的，用代入消元法解二元一次方程组，是学生接触到的解方程组的第一种方法，消元体现了“化未知为已知”的重要思想，它是学习本章的重点和难点.学完之后可以帮我们解决一些实际问题，也是为了今后学习函数等知识奠定了基础.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：会用代入消元法解简单的二元一次方程组，体会解二元一次方程组的思路是“消元”.
二、目标和目标解析
1.目标
(1)会用代入消元法解简单的二元一次方程组.
(2)体会解二元一次方程组的思路是“消元”，经历从未知向已知转化的过程，体会化归思想.
2.目标解析
达成目标(1) 的标志是：代入消元法解简单的二元一次方程组的一般步骤，并能正确求出二元一次方程组的解.
达成目标(2) 的标志是：让学生经历探究的过程，体会二元一次方程组的解法与一元一次方程的解法的关系，进一步体会消元思想和化归思想.
三、教学问题诊断分析
学生第一次遇到多元问题，为什么要向一元转化，为什么可以转化，如何进行转化，需要结合实际问题进行分析，由于方程组的两个方程中同一未知数表示的是同一数量，通过观察对照，可以发现二元一次方程组向一元一次方程转化的思路.
基于以上学情分析，确定本节课的教学难点为：理解二元向一元的转化，掌握代入消元法解二元一次方程组的一般步骤.
四、教学过程设计
复习回顾
1.把下列方程写成用含x的式子表示y的形式.
(1) 2x+y=6 → y=6﹣2x (2) y﹣3x﹣1=0 → y=3x+1
2.你能把上面两个方程写成用含y的式子表示x的形式.
(1) (2)
3.如何解这样的方程组.
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问题1：观察下面两个天平你能从中得到哪些信息？
一个苹果和一个梨的质量合计200g；
这个苹果的质量加上一个10g的砝码恰好与这个梨的质量相等.
问题2：问苹果和梨的质量各是多少g？你会列出方程组吗？
所以原方程组的解是. 求方程组解的过程叫做解方程组.
将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想方法，叫做消元思想.
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解. 这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
能力提升
思考：解这个方程组时，可以先消去x吗？试试看.
考点解析
考点1：用含一个未知数的式子表示另一个未知数
例1.把下列方程改写成用含x的式子表示y的形式：
(1)2x﹣y=5； (2)x+y=4.
解：(1)移项，得﹣y=5﹣2x.系数化为1，得y=2x﹣5.
(2)移项，得二y=4﹣x.系数化为1，得y=8﹣x.
【迁移应用】
【1﹣1】将方程2x+y=3写成用含x的式子表示y的形式，正确的是( )
A.y=2x﹣3 B.y=3﹣2x C.x= D.x=
【1﹣2】已知3x﹣2y﹣5=0，用含x的式子表示y：_______________.
【1﹣3】将4y+8=2x+3写成用y表示x的形式为_____________.
考点2：用含一个未知数的式子表示另一个未知数
例2.用代入法解下列方程组：
(1) (2)
解：(1)把①代入②，得 2x﹣3(3x+1)=4.
解这个方程，得 x=﹣1.
把x=﹣1代入①，得 y=﹣2.
所以这个方程组的解是
(2)由①，得y=3x﹣7.③
把③代入②，得2x+3(3x﹣7)=﹣5.
解这个方程，得x= .
把x= 代入③，得y=.
所以这个方程组的解是
【迁移应用】
【2﹣1】对于二元一次方程组将①式代入②式，消去y可以得到( )
A. x+2x﹣1=7 B. x+2x﹣2=7 C. x+x﹣1=7 D. x+2x+2=7
【2﹣2】用代入消元法解二元一次方程组使得代入后化简比
较容易的变形是( )
A.由①得x= B.由①得y= C.由②得x= D.由②得y=2x﹣5
【2﹣3】用代入法解下列方程组：
(1) (2)
解：(1)由①，得x=1+2y.③
把③代入②，得2(1+2y)+y=﹣3.
解这个方程，得y=﹣1.
把y=﹣1代入③，得x=﹣1.
所以这个方程组的解是
(2)由①，得x=3﹣y.③
把③代入②，得3﹣y﹣1=.
解这个方程，得y=2.
把y=2代入③，得x=1.
所以这个方程组的解是
(3)由①，得n=4m.③
把③代入②，得5m﹣6(4m)=33.
解这个方程，得m=6.
把m=6代入③，得n=﹣.
所以这个方程组的解是
考点3：用代入消元法解二元一次方程组解决实际问题
例3. 某天，蔬菜经营户老李用145元从蔬菜批发市场批发了一些黄瓜和茄子到菜市场售卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如下表所示.当天他卖完这些黄瓜和茄子共赚了90元.这天老李批发的黄瓜和茄子分别有多少千克？
解：设这天老李批发的黄瓜有x kg，茄子有y kg.
由题意，得解得
解得
答：这天老李批发的黄瓜有15 kg，茄子有25 kg.
【迁移应用】
【3﹣1】某铁路途经许多隧道和桥梁，其中隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342km，隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36km，则隧道累计长度为_______km.
【3﹣2】某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为15元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆.现在停车场内停有30辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费324元.中、小型汽车各有多少辆？
解：设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆.
由题意，得解得
答：中型汽车有12辆，小型汽车有18辆.
考点4：用代入消元法解二元一次方程组解决实际问题
例4.已知关于x，y的方程组的解满足方程x+y=8，求m的值.
解：把②代入①，得3x+5y=2x+3y+2.
化简，得x+2y= 2.③
把③与x+y=8联立组成方程组，得
解这个方程组，得
把代入②，得2×14+3×(﹣6)=m.
所以m=10.
【迁移应用】
【4﹣1】已知方程组的解x，y满足x比y的2倍少3，则a的值为( )
A.﹣41 B.﹣11 C.﹣31 D.﹣22
【4﹣2】已知关于x，y的方程组的解也是方程x+y=3的解，求m的值.
解：将2x+y=1与x+y=3组成方程组
解这个方程组，得
将代入x+2y=m，得m=8.
【4﹣3】已知关于x，y的方程组的解满足x+y=0，求a的值.
解：因为x+y=0，所以x=﹣y.③
把③代入①，得2y=﹣1﹣3a;
把③代入②，得2y= 1﹣a.
所以﹣1﹣3a=1﹣a.
解这个方程，得a=﹣1.
考点5：用代入消元法解二元一次方程组解决实际问题
例5.【转化思想】已知|a+2b+3|+=0，求(3a+2b)2025的值.
解：因为|a+2b+3|+ =0，
所以
由②，得b=3a﹣5.③
把③代入①，得a+2(3a﹣5)+3=0.
解这个方程，得a=1.
把a=1代入③，得b=﹣2.
所以(3a+2b)2025=[3×1+2×(﹣2)]2025=﹣1.
【迁移应用】
【5﹣1】已知关于x，y的方程x2m﹣n﹣2+4ym+n+l=6是二元一次方程，则m，n的值分别为( )
A.m=1，n=﹣1 B.m=﹣1，n=1 C.m=，n= D.m=，n=
【5﹣2】已知式子﹣3xm﹣1y3与xnym+n是同类项，则m=_____，n=_____.
【5﹣3】在平面直角坐标系中，已知点A(m+2n，4m﹣3n)位于第一象限，点A 到x轴的距离为1，到y轴的距离为3，则2m﹣n的值为_______.
考点6：用代入消元法解二元一次方程组解决实际问题
例6.先阅读材料，然后解方程组.
材料：解方程组：
解：由①，得x﹣y=1.③
把③代入②，得4×1﹣y=5.
解这个方程，得y=﹣1.
把y=﹣1代入③，得x=0.
所以这个方程组的解是
这种方法被称为“整体代入法”.
请用这种方法解方程组：
解：由①，得2x﹣3y=2.③
把③代入②，得+2y=9.
解这个方程，得y=4.
把y=4代入③，得x=7.
所以这个方程组的解是
【迁移应用】
【6﹣1】解方程组的最佳方法是( )
A.由①得m=再代入② B.由②得m=再代入①
C.由①得3m=7+4n再代入② D.由②得9m=10n﹣25再代入①
【6﹣2】用代入法解下列方程组：
(1) (2)
解：由②，得x﹣3=4y.③
把③代入①，得2×4y+3y=11.
解这个方程，得y=1.
把y=1代入③，得x=7.
所以这个方程组的解是
解：由②，得x+1=3﹣2(y﹣1).③
把③代入①，得6﹣4(y﹣1)+3(y﹣1)=5.
解这个方程，得y=2.
把y=2代入③，得x=0.
所以这个方程组的解是
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