【2024春人教七下数学精品教案】8.2.2 二元一次方程组的解法---加减消元法（第二课时）
文档属性
| 名称 | 【2024春人教七下数学精品教案】8.2.2 二元一次方程组的解法---加减消元法（第二课时） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-22 18:13:41 | ||
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文档简介
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8.2.2 二元一次方程组的解法---加减消元法 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书 数学》七年级下册（以下统称“教材”）第八章“二元一次方程组” 8.2.1 二元一次方程组的解法-代入消元法，内容包括：利用加减消元法解二元一次方程组.
2.内容解析
本节课是第八章第二节第二课时的内容.利用“问题情境”让学生经历解二元一次方程组的过程，通过观察、思考、探究、交流等活动，体会解二元一次方程组的基本方法一代入消元法和加减消元法.解方程组的基本策略是“消元”，即逐步减少未知数的个数，使方程组化归为一元方程.加减法和代入法是解二元一次方程组的两种常用方法，此前学生已经认识了二元一次方程组，能够用代入法解二元一次方程组，对消元思想有了初步的认识.本节课是在承接“代入法”的基础上，讲解的二元一次方程组的另一种重要的解法.教材是从某个未知数的系数的绝对值相同的二元一次方程组切入，逐渐为未知数的系数的绝对值存在倍数关系，最后为未知数的系数的绝对值不等的方程组.教材的内容由易到难，由特殊到一般，注重学生的认知发展.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：会用“加减消元法”解二元一次方程组.
二、目标和目标解析
1.目标
(1)掌握加减消元法的意义.
(2)会用加减法解二元一次方程组.
2.目标解析
会用加减消元法解二元一次方程组；培养并提高学生的运算能力；通过对方程组中未知数系数的观察和分析，明确解二元一次方程组的主要思路仍然是“消元”，从而促使二元一次方程组向一元一次方程的转化，培养学生的观察能力，更进一步体会转化的数学思想；通过小组学习等活动经历利用加减法解二元一次方程组的过程，进一步提高学生应用已有知识与技能的基础上形成新的知识，获得新的技能，以提高解决数学问题的能力；引导学生分析用加减消元解二元一次方程组的依据，养成在运算的过程中勤于思考、善于归纳总结的良好习惯.通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流的意识与创新意识和探究精神.
三、教学问题诊断分析
本节课的学习者是七年级第二学期的学生，他们已经能够熟练求解一元一次方程，并能用代入法解二元一次方程组，对消元的思想方法已具有一定的分析能力，此外大部分学生有探究的天性和表现欲望，这为教师采用启发探究教学法提供了必要的条件。在教学过程中，我遵循学生的认知规律，根据学生的知识结构和认知结构，在学生探索知识的过程中培养他们掌握好的学习和解题方法.
基于以上学情分析，确定本节课的教学难点为：灵活运用加减消元法的技巧，进一步体会“消元”和“化归”的数学思想.
四、教学过程设计
复习回顾
忆一忆
1.解二元一次方程组的基本思路是什么？
消元： 二元 → 一元
2.用代入法解二元一次方程组的主要步骤是什么？
等式的性质1: 等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等.
等式的性质2: 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.
自学导航
信息一：已知买1瓶苹果汁和1瓶橙汁共需10元；信息二：又知买2瓶苹果汁和1瓶橙汁共需16元.求1瓶苹果汁和1瓶橙汁各多少元？
解：设1瓶苹果汁的单价为x元，1瓶橙汁的单价为y元，根据题意得，
由①，得 x=10-y ③
把③代入②，得 2(10-y)+y=16
解这个方程，得 y=4
把y=4代入③，得 x=6
所以这个方程组的解是
答：1瓶苹果汁6元，1瓶橙汁各4元.
思考：我们熟悉的方程组：，这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？
利用这种关系你能发现新的消元方法吗？
这两个方程中未知数y的系数相等，②-①可消去未知数y.
②左边-①左边=②右边-①右边
2x+y-(x+y)=16-10
解这个方程得 x=6
把x=6代入①，得 y=4
所以这个方程组的解是
①-②也能消去未知数y，求得x吗？
联系前面的解法，想一想怎样解方程组
解：①+②，得 18x=10.8
x=0.6
把x=0.6代入①，得 3×0.6+10y=2.8
y=0.1
所以这个方程组的解是
【归纳】当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
考点解析
考点1：用加减消元法解二元一次方程组
类型1：直接用加减法解二元一次方程组
例1.用加减法解方程组：
(1) (2)
解：(1)②×2，得 6x-4y=12.③
①+③，得8x=20，x=.
把x=代入①，得2×+4y=8，y=.
所以这个方程组的解是
(2) ①×2，得 8x+6y=152.③
②×3，得 9x+6y=168.④
④-③，得 x=16.
把x=16代入①，得4×16+3y=76，y=4.
所以这个方程组的解为
【迁移应用】
【1-1】用“加减法”将方程组中的x消去后，得到的方程是( )
A.3y=2 B.3y=-2 C.7y=2 D.-7y=2
【1-2】二元一次方程组的解为________.
【1-3】用加减法解下列方程组：
(1) (2)
(1)解：①+②，得5x=10，x=2.
把x=2代入①，得6+y=8，y=4.
所以这个方程组的解为
(2) 解：①-②，得6x=-20，x=-.
把x=-代入②，得+5y=8，y=.
所以这个方程组的解为
类型2：先变形，再用加减法解二元一次方程组
例2.用加减法解方程组：
(1) (2)
解：(1)②×2，得 6x-4y=12.③
①+③，得8x=20，x=.
把x=代入①，得2×+4y=8，y=.
所以这个方程组的解是
(2) ①×2，得 8x+6y=152.③
②×3，得 9x+6y=168.④
④-③，得 x=16.
把x=16代入①，得4×16+3y=76，y=4.
所以这个方程组的解为
【迁移应用】
【2-1】用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是( )
A.①×2-② B.②×(-3)-① C.①×(-2) +② D.①-②×3
【2-2】用加减法解方程组：
(1) (2)
(1)解：①+②×3，得10x=50，x=5.
把x=5代入②，得2×5+y=13，y=3.
所以这个方程组的解是
(2)解：①×2-②，得15x=30，x=2.
把x=2代入②，得y=1.
所以这个方程组的解为
(3)解：①×3-②×2，得11x=22，x=2.把x=2代入①，得5×2-2y=4，y=3.
所以这个方程组的解为
能力提升
解需要通过变形后才能使用加减法的二元一次方程组的步骤：
考点解析
考点2：用加减消元法解二元一次方程组解决实际问题
例3.在某路段建设工程中，有甲、乙两种车辆参与土方运输.已知5辆甲种车和2辆乙种车一次可运土64m3；3辆甲种车和4辆乙种车一次可运土72m3.甲、乙两种车每辆一次可分别运土多少立方米？
解：设每辆甲种车一次可运土x m3，每辆乙种车一次可运土y m3.
根据题意，得
解得
答：每辆甲种车一次可运土8 m3，每辆乙种车一次可运土12 m3.
【迁移应用】
【3-1】下面3个天平左盘中“▲”“■”分别表示两种不同质量的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量是______.
【3-2】小明和小丽两人相距8km，小明骑自行车，小丽步行，两人同时出发相向而行，经过0.5 h相遇；若两人同时出发同向而行，经过1 h小明追上小丽.求小明骑行的平均速度和小丽步行的平均速度.
解：设小明骑行的平均速度为x km/h，小丽步行的平均速度为y km/h.
根据题意，得
解得
答：小明骑行的平均速度为12 km/h，小丽步行的平均速度为4 km/h.
考点3：解稍复杂的二元一次方程组
例4.用加减法解方程组：
(1) (2)
解：(1)整理，得
①×3，得3x-3y=6.③
③-②，得y=3.
把y=3代入①，得x=5.
所以这个方程组的解是
解：(2)整理，得
②×5，得-5x+25y=40.③
①+③，得14y=28，y=2.
把y=2代入②，得x=2.
所以这个方程组的解为
【迁移应用】
【4-1】用加减法解方程组：
(1) (2)
解：(1)整理，得
①-②，得4y=28，y=7.
把y=7代入①，得3x-7=8，x=5.
所以这个方程组的解是
解：(2)整理，得
①×7+②×3，得29x=174，x=6.
把x=6代入①，得12+3y=15，y=1.
所以这个方程组的解是
解：(3)整理，得
①×2+②，得11x=22，x=2.
把x=2代入①，得8-y=5，y=3.
所以这个方程组的解是
考点4：灵活运用加减法解方程组
例5.用加减法解方程组：
解：①+②，得 60(x+y)=180，即x+y=3.③
②-①，得14(x-y)=-14，即x-y=-1.④
③+④，得2x=2，x=1.
把x=1代入③，得y=2.
所以这个方程组的解是
【迁移应用】
【5-1】用加减法解方程组：
解：①-②，得x-3y=-1.③
(①+②) ÷4047，得x-y=1.④
④-③，得2y=2，y=1.
把y=1代入④，得x=2.
所以这个方程组的解是
考点5：利用“整体思想”求字母或式子的值
例6.【整体思想】若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y=0，求k的值.
解：①+②，得3(x+y)=3-3k，
即x+y=1-k.
因为x+y=0，
所以1-k=0.
所以k=1.
【迁移应用】
【6-1】已知二元一次方程组则x-y的值为______.
【6-2】已知是二元一次方程组的解，则m+3n=_____.
【6-3】在关于x，y的二元一次方程组中，若2x+3y=2，则a的值为( )
A.1 B.-3 C.3 D.4
例7.已知关于x，y的方程组和的解相同，求和 (5a+b)2的值.
解：解方程组，得
将代入，
得解得
所以(5a+b)2=(5×1+1)2=36.
【迁移应用】
【7-1】已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，则2m-n=_____.
【7-2】已知关于x，y的方程组与的解相同，求m，n的值.
解：解方程组，得
将代入，
得解得
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8.2.2 二元一次方程组的解法---加减消元法 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书 数学》七年级下册（以下统称“教材”）第八章“二元一次方程组” 8.2.1 二元一次方程组的解法-代入消元法，内容包括：利用加减消元法解二元一次方程组.
2.内容解析
本节课是第八章第二节第二课时的内容.利用“问题情境”让学生经历解二元一次方程组的过程，通过观察、思考、探究、交流等活动，体会解二元一次方程组的基本方法一代入消元法和加减消元法.解方程组的基本策略是“消元”，即逐步减少未知数的个数，使方程组化归为一元方程.加减法和代入法是解二元一次方程组的两种常用方法，此前学生已经认识了二元一次方程组，能够用代入法解二元一次方程组，对消元思想有了初步的认识.本节课是在承接“代入法”的基础上，讲解的二元一次方程组的另一种重要的解法.教材是从某个未知数的系数的绝对值相同的二元一次方程组切入，逐渐为未知数的系数的绝对值存在倍数关系，最后为未知数的系数的绝对值不等的方程组.教材的内容由易到难，由特殊到一般，注重学生的认知发展.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：会用“加减消元法”解二元一次方程组.
二、目标和目标解析
1.目标
(1)掌握加减消元法的意义.
(2)会用加减法解二元一次方程组.
2.目标解析
会用加减消元法解二元一次方程组；培养并提高学生的运算能力；通过对方程组中未知数系数的观察和分析，明确解二元一次方程组的主要思路仍然是“消元”，从而促使二元一次方程组向一元一次方程的转化，培养学生的观察能力，更进一步体会转化的数学思想；通过小组学习等活动经历利用加减法解二元一次方程组的过程，进一步提高学生应用已有知识与技能的基础上形成新的知识，获得新的技能，以提高解决数学问题的能力；引导学生分析用加减消元解二元一次方程组的依据，养成在运算的过程中勤于思考、善于归纳总结的良好习惯.通过研究解决问题的方法，培养学生合作交流的意识与创新意识和探究精神.
三、教学问题诊断分析
本节课的学习者是七年级第二学期的学生，他们已经能够熟练求解一元一次方程，并能用代入法解二元一次方程组，对消元的思想方法已具有一定的分析能力，此外大部分学生有探究的天性和表现欲望，这为教师采用启发探究教学法提供了必要的条件。在教学过程中，我遵循学生的认知规律，根据学生的知识结构和认知结构，在学生探索知识的过程中培养他们掌握好的学习和解题方法.
基于以上学情分析，确定本节课的教学难点为：灵活运用加减消元法的技巧，进一步体会“消元”和“化归”的数学思想.
四、教学过程设计
复习回顾
忆一忆
1.解二元一次方程组的基本思路是什么？
消元： 二元 → 一元
2.用代入法解二元一次方程组的主要步骤是什么？
等式的性质1: 等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等.
等式的性质2: 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.
自学导航
信息一：已知买1瓶苹果汁和1瓶橙汁共需10元；信息二：又知买2瓶苹果汁和1瓶橙汁共需16元.求1瓶苹果汁和1瓶橙汁各多少元？
解：设1瓶苹果汁的单价为x元，1瓶橙汁的单价为y元，根据题意得，
由①，得 x=10-y ③
把③代入②，得 2(10-y)+y=16
解这个方程，得 y=4
把y=4代入③，得 x=6
所以这个方程组的解是
答：1瓶苹果汁6元，1瓶橙汁各4元.
思考：我们熟悉的方程组：，这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？
利用这种关系你能发现新的消元方法吗？
这两个方程中未知数y的系数相等，②-①可消去未知数y.
②左边-①左边=②右边-①右边
2x+y-(x+y)=16-10
解这个方程得 x=6
把x=6代入①，得 y=4
所以这个方程组的解是
①-②也能消去未知数y，求得x吗？
联系前面的解法，想一想怎样解方程组
解：①+②，得 18x=10.8
x=0.6
把x=0.6代入①，得 3×0.6+10y=2.8
y=0.1
所以这个方程组的解是
【归纳】当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
考点解析
考点1：用加减消元法解二元一次方程组
类型1：直接用加减法解二元一次方程组
例1.用加减法解方程组：
(1) (2)
解：(1)②×2，得 6x-4y=12.③
①+③，得8x=20，x=.
把x=代入①，得2×+4y=8，y=.
所以这个方程组的解是
(2) ①×2，得 8x+6y=152.③
②×3，得 9x+6y=168.④
④-③，得 x=16.
把x=16代入①，得4×16+3y=76，y=4.
所以这个方程组的解为
【迁移应用】
【1-1】用“加减法”将方程组中的x消去后，得到的方程是( )
A.3y=2 B.3y=-2 C.7y=2 D.-7y=2
【1-2】二元一次方程组的解为________.
【1-3】用加减法解下列方程组：
(1) (2)
(1)解：①+②，得5x=10，x=2.
把x=2代入①，得6+y=8，y=4.
所以这个方程组的解为
(2) 解：①-②，得6x=-20，x=-.
把x=-代入②，得+5y=8，y=.
所以这个方程组的解为
类型2：先变形，再用加减法解二元一次方程组
例2.用加减法解方程组：
(1) (2)
解：(1)②×2，得 6x-4y=12.③
①+③，得8x=20，x=.
把x=代入①，得2×+4y=8，y=.
所以这个方程组的解是
(2) ①×2，得 8x+6y=152.③
②×3，得 9x+6y=168.④
④-③，得 x=16.
把x=16代入①，得4×16+3y=76，y=4.
所以这个方程组的解为
【迁移应用】
【2-1】用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是( )
A.①×2-② B.②×(-3)-① C.①×(-2) +② D.①-②×3
【2-2】用加减法解方程组：
(1) (2)
(1)解：①+②×3，得10x=50，x=5.
把x=5代入②，得2×5+y=13，y=3.
所以这个方程组的解是
(2)解：①×2-②，得15x=30，x=2.
把x=2代入②，得y=1.
所以这个方程组的解为
(3)解：①×3-②×2，得11x=22，x=2.把x=2代入①，得5×2-2y=4，y=3.
所以这个方程组的解为
能力提升
解需要通过变形后才能使用加减法的二元一次方程组的步骤：
考点解析
考点2：用加减消元法解二元一次方程组解决实际问题
例3.在某路段建设工程中，有甲、乙两种车辆参与土方运输.已知5辆甲种车和2辆乙种车一次可运土64m3；3辆甲种车和4辆乙种车一次可运土72m3.甲、乙两种车每辆一次可分别运土多少立方米？
解：设每辆甲种车一次可运土x m3，每辆乙种车一次可运土y m3.
根据题意，得
解得
答：每辆甲种车一次可运土8 m3，每辆乙种车一次可运土12 m3.
【迁移应用】
【3-1】下面3个天平左盘中“▲”“■”分别表示两种不同质量的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量是______.
【3-2】小明和小丽两人相距8km，小明骑自行车，小丽步行，两人同时出发相向而行，经过0.5 h相遇；若两人同时出发同向而行，经过1 h小明追上小丽.求小明骑行的平均速度和小丽步行的平均速度.
解：设小明骑行的平均速度为x km/h，小丽步行的平均速度为y km/h.
根据题意，得
解得
答：小明骑行的平均速度为12 km/h，小丽步行的平均速度为4 km/h.
考点3：解稍复杂的二元一次方程组
例4.用加减法解方程组：
(1) (2)
解：(1)整理，得
①×3，得3x-3y=6.③
③-②，得y=3.
把y=3代入①，得x=5.
所以这个方程组的解是
解：(2)整理，得
②×5，得-5x+25y=40.③
①+③，得14y=28，y=2.
把y=2代入②，得x=2.
所以这个方程组的解为
【迁移应用】
【4-1】用加减法解方程组：
(1) (2)
解：(1)整理，得
①-②，得4y=28，y=7.
把y=7代入①，得3x-7=8，x=5.
所以这个方程组的解是
解：(2)整理，得
①×7+②×3，得29x=174，x=6.
把x=6代入①，得12+3y=15，y=1.
所以这个方程组的解是
解：(3)整理，得
①×2+②，得11x=22，x=2.
把x=2代入①，得8-y=5，y=3.
所以这个方程组的解是
考点4：灵活运用加减法解方程组
例5.用加减法解方程组：
解：①+②，得 60(x+y)=180，即x+y=3.③
②-①，得14(x-y)=-14，即x-y=-1.④
③+④，得2x=2，x=1.
把x=1代入③，得y=2.
所以这个方程组的解是
【迁移应用】
【5-1】用加减法解方程组：
解：①-②，得x-3y=-1.③
(①+②) ÷4047，得x-y=1.④
④-③，得2y=2，y=1.
把y=1代入④，得x=2.
所以这个方程组的解是
考点5：利用“整体思想”求字母或式子的值
例6.【整体思想】若关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y=0，求k的值.
解：①+②，得3(x+y)=3-3k，
即x+y=1-k.
因为x+y=0，
所以1-k=0.
所以k=1.
【迁移应用】
【6-1】已知二元一次方程组则x-y的值为______.
【6-2】已知是二元一次方程组的解，则m+3n=_____.
【6-3】在关于x，y的二元一次方程组中，若2x+3y=2，则a的值为( )
A.1 B.-3 C.3 D.4
例7.已知关于x，y的方程组和的解相同，求和 (5a+b)2的值.
解：解方程组，得
将代入，
得解得
所以(5a+b)2=(5×1+1)2=36.
【迁移应用】
【7-1】已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，则2m-n=_____.
【7-2】已知关于x，y的方程组与的解相同，求m，n的值.
解：解方程组，得
将代入，
得解得
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