【2024春人教七下数学精品教案】8.3.1 实际问题与二元一次方程组（第一课时）

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8.3.1 实际问题与二元一次方程组（1）教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书 数学》七年级下册（以下统称“教材”）第八章“二元一次方程组” 8.3.1 实际问题与二元一次方程组（1），内容包括：利用二元一次方程组解决和差倍分、配套、数字问题
2.内容解析
实际问题与二元一次方程组选择了三个具有一定综合性的问题：“牛饲料问题”、“种植计划问题”、“成本与产出问题".使学生利用方程组为工具进行一定深度的思考，增加运用方程组解决实际问题的实践.把全章强调的以方程组为工具，把实际问题模型化的思想提到新的高度.为切实提高利用方程组解决实际问题的能力，这节内容的问题形式包括：估算与精确计算的比较(探究1) ，开放地寻求设计方案(探究2)，根据图表所表示的实际问题的数据信息列方程组(探究3).安排这节的目的在于：一方面通过实际生活中的问题，进一步突出方程组这种数学模型应用的广泛性和有效性；另一方面使学生能在解决实际问题的情境中运用所学数学知识，进一步提高分析问题和解决问题的综合能力.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：学会利用二元一次方程组解决和差倍分、配套、数字问题.
二、目标和目标解析
1.目标
(1)能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题.
(2)学会利用二元一次方程组解决和差倍分、配套、数字问题.
2.目标解析
使学生能够探索事物之间的数量关系，利用方程或方程组解决实际问题；通过问题探究，使学生进一步使用代数中的方程来反映现实世界的等量关系，体会代数方法的优越性；进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力，培养严谨缜密的科学习惯，继续渗透转化的数学思想；使学生能够根据实际问题，寻找其中的相等关系，最终转化为数学问题求解.
三、教学问题诊断分析
受阅读能力，分析能力的制约；怎样从实际问题中提取数学信息，并转化为数学语言，对七年级的学生来说是个难点，本节课涉及的实际问题都有两个未知数，含有两个等量关系，列二元一次方程组，数量关系比一元问题复杂，需要学生更好地分析问题，抓住关键词，发现等量关系，列方程组.“探究1”都没有明确地未知数，“探究1”学生要理解需要计算来.检验“估计值，”进而明确要求的未知数.
基于以上学情分析，确定本节课的教学难点为：能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题.
四、教学过程设计
复习回顾
忆一忆
1.方程组的解是
2.列方程解应用题的一般步骤是什么？
一审：审题，弄清题意及题目中的数量关系；二设：设未知数，可直接设元，也可间接设元；三列：根据题目中的等量关系，列出方程(组)；四解：解所列方程(组)，求出未知数的值；五检：检验解是否是方程(组)的解，是否符合题意；六答：写出答案(包括单位名称).
合作探究
探究：养牛场原有 30 头大牛和 15 头小牛，1 天约用饲料675 kg；一周后又购进 12 头大牛和 5 头小牛，这时一天约用饲料 940 kg.饲养员李大叔估计平均每头大牛 1 天约需饲料 18～20 kg，每头小牛1天约需饲料 7～8 kg.你能够通过计算检验他的估计吗？
解：设每头大牛和每头小牛 1 天各约用饲料 x kg和y kg. 根据两种情况的饲料用量，找出相等关系，列方程组
解这个方程组，得
答：每头大牛1天约需饲料20 kg，每头小牛1天约需饲料5 kg.因此，饲料员李大叔对大牛的食量估计_______，对小牛的食量估计______.
随着养牛场规模逐渐扩大，李大叔需聘请饲养员协助管理现有的42头大牛和20头小牛，已知甲种饲养员每人可负责8头大牛和4头小牛，乙种饲养员每人可负责5头大牛和2头小牛，请问李大叔应聘请甲乙两种饲养员各多少人？
解：设李大叔应聘请甲种饲养员x人，乙种饲养员y人，则：
解得
答：李大叔应聘请甲种饲养员4人，乙种饲养员2人.
能力提升
【总结提升】用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
(1)审题：弄清题意和题目中的_________；
(2)设元：用___________表示题目中的未知数；
(3)列方程组：根据___个等量关系列出方程组；
(4)解方程组：利用__________法或___________解出未知数的值；
(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.
考点解析
考点1：列二元一次方程组解决实际问题
类型1：直接设未知数列方程组解决实际问题
例1.已知生产一件甲产品需要A种原料4t和B种原料2t，生产一件乙产品需要A种原料3t和B种原料1t.现有A种原料120t，B种原料50t，甲、乙两产品各生产多少件，才能恰好使两种原料全部用完？
解：设生产甲产品x件，乙产品y件，才能恰好使两种原料全部用完.
根据题意，得
解得
答：生产甲产品15件，乙产品20件，才能恰好使两种原料全部用完.
【迁移应用】
1.为了奖励在诗歌朗诵比赛上取得好成绩的同学，刘老师计划购买A，B两种奖品共20件，其中A种奖品每件25元，B种奖品每件15元，如果购买A，B两种奖品共花费380元，求A，B两种奖品各购买了多少件.设购买A种奖品x件，B种奖品y件，依题意，可列方程组为( )
A. B. C. D.
2.现在父亲的年龄是儿子年龄的5倍，6年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍，则现在父亲是____岁，儿子是____岁.
解析：设现在父亲是x岁，儿子是y岁.
根据题意，得
解得
所以现在父亲是30，儿子是6岁.
3.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”其大意是：今有几个人共同出钱购买一件物品.每人出8钱，剩余3钱；每人出7钱，还缺4钱.问人数、物品价格各是多少？请你求出以上问题中的人数和物品价格.
解：设有x个人，物品的价格为y钱.
由题意，得
解得
答：有7个人，物品的价格为53钱.
类型2：间接设未知数列方程组解决实际问题
例2.某超市为“开业三周年”举行了店庆活动，对A，B两种商品进行打折出售.打折前，购买5件A商品和1件B商品需用84元；购买6件A商品和3件B商品需用108元.而店庆期间，购买50件A商品和50件B商品仅需960元，这比不打折少花多少钱？
解：设打折前A商品的单价为x元，B商品的单价为y元.
根据题意，得，解得
打折前购买50件A商品和50件B商品共需16×50+4×50=1000(元).
所以比不打折少花1000-960=40(元).
答：这比不打折少花40元钱.
【迁移应用】
1.食堂存有一批粮食，若每天用去140kg，按预计天数计算，就缺少50 kg；若每天用去120kg，那么到期后还余70kg.食堂师傅估计现在的存粮在700~800 kg之间，则他的估计是_____的.(填“对”或“错”)
2.端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗.某商场从6月12日起开始打折促销，肉粽六折，白粽七折，打折前购买4盒肉粽和5盒白粽需350元，打折后购买5盒肉粽和10 盒白粽需360元.轩轩同学想在今天中考结束后，为敬老院送肉粽和白粽各5盒，则他6月13日购买的花费比在打折前购买节省
______元.
3.某市的出租车收费标准如下：起步价所允许行驶的最远路程为3 km，超过3 km的部分按每千米另收费.若甲乘出租车走10 km，付费21.2元；乙乘出租车走14 km，付费27.6元.则丙乘出租车走6 km，应付费多少元？
解：设该市出租车起步价是x元，超过3km的部分每千米收费y元.
由题意得
解得
所以10+(6-3)×1.6=14.8(元).
答：丙乘出租车走6km，应付费14.8元.
考点2：数字问题
例3.一个两位数，个位、十位上的数的和是8，个位、十位上的数交换位置后得到的新数比原数大18. 求这个两位数.
解：设这个两位数十位，上的数为x，个位上的数为y.
依题意，得
解得 所以10x+y=35.
答：这个两位数为35.
【迁移应用】
1.小强同学生日的月数减去日数为2，月数的两倍和日数相加为31，则小强同学生日的月数和日数的和为______.
2.有一个两位数，个位上的数比十位上的数大5，如果把个位上的数和十位上的数位置对调，那么所得的新数与原两位数的和是143. 求这个两位数.
解：设这个两位数个位上的数为x，十位上的数为y.
由题意，得
解得 所以10y+x=49.
答：这个两位数是49.
考点3：配套问题
例4.现用190张铁皮做盒子，每张铁皮可制8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整的盒子，用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？
解：设用x张铁皮制盒身，y张铁皮制盒底.
根据题意，得
解得
答：用110张铁皮制盒身，80张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子.
【迁移应用】
1.用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可做25个盒身或40个盒底，1个盒身与2个盒底配成1个罐头盒.现在有36张白铁皮，设用x张制作盒身，y张制作盒底可以使盒身和盒底正好配套，则所列方程组正确的是( )
A. B. C. D.
2.某家具生产厂生产某种配套桌椅(1张桌子配4把椅子)，已知每块板材可制作1张桌子或3把椅子，现计划用140 块这种板材生产一批桌椅(不考虑板材的损耗) ，生产出来的桌椅刚好配套，设用x块板材制作桌子，用y块板材制作椅子，则x=______.
3.某服装厂要生产一批同种型号的运动服，已知每3 m长的某种布料可做2件.上衣或3条裤子，现有此种布料600 m，请你帮助设计一下，该如何分配布料，才能使运动服成套而不至于浪费，能生产多少套运动服？
解：设做上衣的布料用x m，做裤子的布料用y m.
由题意，得
解得
×2=240(套)
答：做上衣的布料用360 m，做裤子的布料用240 m，能生产240套运动服.
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