【2024春人教七下数学精品教案】8_3_2 实际问题与二元一次方程组（第二课时）

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8.3.2 实际问题与二元一次方程组（2）教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书 数学》七年级下册（以下统称“教材”）第八章“二元一次方程组” 8.3.2 实际问题与二元一次方程组（2），内容包括：利用二元一次方程组解决几何图形、行程、工程问题.
2.内容解析
实际问题与二元一次方程组选择了三个具有一定综合性的问题：“牛饲料问题”、“种植计划问题”、“成本与产出问题”.使学生利用方程组为工具进行一定深度的思考，增加运用方程组解决实际问题的实践.把全章强调的以方程组为工具，把实际问题模型化的思想提到新的高度.为切实提高利用方程组解决实际问题的能力，这节内容的问题形式包括：估算与精确计算的比较(探究1) ，开放地寻求设计方案(探究2)，根据图表所表示的实际问题的数据信息列方程组(探究3).安排这节的目的在于：一方面通过实际生活中的问题，进一步突出方程组这种数学模型应用的广泛性和有效性；另一方面使学生能在解决实际问题的情境中运用所学数学知识，进一步提高分析问题和解决问题的综合能力.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：学会利用二元一次方程组解决几何图形、行程、工程问题.
二、目标和目标解析
1.目标
(1)能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决稍复杂的实际问题.
(2)学会利用二元一次方程组解决几何图形、行程、工程问题.
2.目标解析
使学生能够探索事物之间的数量关系，利用方程或方程组解决实际问题；通过问题探究，使学生进一步使用代数中的方程来反映现实世界的等量关系，体会代数方法的优越性；进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力，培养严谨缜密的科学习惯，继续渗透转化的数学思想；使学生能够根据实际问题，寻找其中的相等关系，最终转化为数学问题求解.
三、教学问题诊断分析
受阅读能力，分析能力的制约；怎样从实际问题中提取数学信息，并转化为数学语言，对七年级的学生来说是个难点，本节课涉及的实际问题都有两个未知数，含有两个等量关系，列二元一次方程组，数量关系比一元问题复杂，需要学生更好地分析问题，抓住关键词，发现等量关系，列方程组.“探究2”都没有明确的未知数，要从“怎样划分”中来理解题意，选出适当的未知数.
基于以上学情分析，确定本节课的教学难点为：能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决稍复杂的实际问题.
四、教学过程设计
复习回顾
用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
(1)审题：弄清题意和题目中的_________；
(2)设元：用___________表示题目中的未知数；
(3)列方程组：根据___个等量关系列出方程组；
(4)解方程组：利用__________法或___________解出未知数的值；
(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.
合作探究
动动手
1.把长方形纸片折成面积相等的两个小长方形，有哪些折法？
2.把长方形纸片折成面积之比为1:2的两个小长方形，又有哪些折法？
探究：据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2，现要把一块长200m、宽100m的长方形土地上种植这两种作物，怎样把这块地分为两个长方形，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？
讨论：
1.要把这块的土地分为两块小长方形，可以如何分？
2.如果是按如图所示方案来划分，两种作物的总产量大小与哪些量有关系？
总产量的大小与种植面积、单位面积的产量有关.
3.①要表示种植面积需假设哪些量？②要表示单位面积产量呢？
①可假设这两块地的长分别为x m、y m，②可假设甲种作物每平
方米产量为a，则乙种作物每平方米产量为2a.
4.若假设这两块地的长分别为x m、y m，甲种作物每平方米产量为a，则乙种作物每平方米产量为2a.那么根据题意能找到哪些相等关系列方程？
解：如图，一种种植方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE，设AE、BE的长分别为x m、y m，甲种作物每平方米产量为a，则乙种作物每平方米产量为2a.根据题意可得，方程组
化简，得
解这个方程组，得
答：过长方形土地的长边上离一端120m处，作这条边的垂线，把这块土地分成两块长方形土地.较大一块土地种甲种作物，较小一块土地种乙种作物.
若按如图所示的方式划分土地，请你算一算，如何划分？
解：如图，另一种种植方案为：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形DEFC和ABFE，设CF、BF的长分别为x m、y m，甲种作物每平方米产量为a，则乙种作物每平方米产量为2a.根据题意可得，方程组
化简，得
解这个方程组，得
答：过长方形土地的短边上离一端60 m处，作这条边的垂线，把这块土地分成两块长方形土地.较大一块土地种甲种作物，较小一块土地种乙种作物.
典例解析
考点1：图形问题
例1.如图，周长为68 cm的长方形ABCD被分成7个相同的长方形，求长方形ABCD的长和宽.
分析：两个等量关系：
(1)长方形ABCD的周长为68 cm；
(2)两个小长方形的长=五个小长方形的宽.
解：设小长方形的长为x cm，宽为y cm.
根据题意，得
解得
所以2x=20，x+y=14.
答：长方形ABCD的长为20 cm，宽为14 cm.
【迁移应用】
1.如图，AB⊥BC，∠ABD的度数比∠DBC的度数的2倍少15°，设∠ABD与∠DBC的度数分别为x°，y°，根据题意，下列方程组正确的是( )
A. B. C. D.
2.如图，在一个大长方形中放入六个形状、大小相同的小长方形，有关尺寸如图所示，则图中大长方形ABCD的面积是______cm2.
解析：设小长方形的长为xcm，宽为ycm.
依题意，得
解得
所以大长方形ABCD的面积为14×(6+2y)=14×(6+2×2)=14×(6+4)= 14×10=140(cm2).
故答案为140.
3.如图，用大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案.已知点A(-2，5)， 则点B的坐标为_________.
4.如图①，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分拼成一个长方形，如图②所示.这个拼成的长方形的长为30，宽为20，试求图②中标Ⅱ部分的面积.
解：由题意及图可得
解得
所以标II部分的面积为b(a-b)=5×(25-5)=100.
考点2：工程问题
例2. 一艘轮船在相距90km的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6 h，逆流航行比顺流航行多用4 h.
(1)求该轮船在静水中的速度和水流速度；
(2)若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同，则甲、丙两地相距多少千米？
解：(1)设该轮船在静水中的速度是x km/h，水流速度是y km/h.
由题意，得
解得
(2)设甲、丙两地相距a km.
依题意，得 =
解得a=56.25.
答：甲、丙两地相距56.25 km.
【迁移应用】
1.已知某桥长850 m，一列火车从桥上通过，测得火车开始上桥到完全过桥共用1 min，整列火车在桥上的时间为40 s，设火车的速度为x m/s，车长为y m，则所列二元一次方程组为_______________.
2.小红和爷爷在400 m环形跑道上跑步，他们从某处同时出发，如果同向而行，那么经过200 s小红追上爷爷；如果背向而行，那么经过40 s两人相遇，则小红的速度为____m/s，爷爷的速度为____m/s.
3.从甲地到乙地有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走3 km，平路每小时走4 km，下坡每小时走5 km，那么从甲地到乙地需48 min，从乙地到甲地需36 min，求甲地到乙地的距离.
解：设甲地到乙地的上坡路长x km，平路长y km.
依题意，得
解得
所以x+y=1.5+1.2= 2.7.
答：甲地到乙地的距离为2.7 km.
考点3：行程问题
例3. 某城市为了缓解缺水状况，实施了一项引水工程，把200km以外的一条河流的水引到城市中来.最终这个工程；交给了甲、乙两个施工队，工期为50天.甲、乙两队合作了30天后，乙队因另外有任务需要离开10天，于是甲队加快速度，每天多修0.6 km；10天后乙队回来，为了保证工期，甲队保持现在的速度不变，乙队每天比原来多修0.4km，结果恰好如期完成任务.甲、乙两队原计划每天各修多少千米？
解：设甲队原计划每天修x km，乙队原计划每天修y km，乙队回来后工作了50-30-10=10(天).
由题意，得
解得
答：甲队原计划每天修2.4 km，乙队原计划每天修1.6 km.
【迁移应用】
1.某车间计划生产一批零件共418个，若甲先做2天，乙再加入合作，则再做2天可超产2个；若乙先做3天，然后两人再共同做2天，则还差8个未完成.甲、乙两人每天各做多少个零件？
解：设甲每天做x个零件，乙每天做y个零件.
根据题意，得
解得
答：甲每天做80个零件，乙每天做50个零件.
2.甲、乙两工程队共同修建150 km的公路，原计划30个月完工.实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工.甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建公路多长？
解：设甲工程队原计划平均每月修建公路x km，乙工程队原计划平均每月修建公路y km.
根据题意，得
解得
答：甲工程队原计划平均每月修建公路2 km，乙工程队原计划平均每月修建公路3 km.
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