2024年中考数学总复习验收卷（六）（含解析）

2024年中考数学总复习验收卷（六）
数学试卷
考试范围：初中；考试时间：120分钟；满分：120分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．一个袋子中装有4个相同的小球，它们分别标有号码1，2，3，4，摇匀后随机取出一球，记下号码后放回；再将小球摇匀，并从袋中随机取出一球，则第二次取出的球的号码不小于第一次取出的球的号码的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在四边形ABCD中，，，，，，动点P从点D出发以每秒2个单位长度的速度沿着边运动，到达点C时停止运动；另一动点Q同时从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边向点C运动，到达点C时停止运动．设点P的运动时间为t，的面积为S，则S关于t的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
6．“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植，某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是：25，26，27，26，27，28，29，26，29则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．26，27 B．26，28 C．27，27 D．27，29
7．若整数k关于x的一元一次不等式组的解集是，且使关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数k的值之和为（ ）
A． B． C． D．0
8．我校七年级某班为筹备篮球运动会，准备用265元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱恰好用尽的条件下，有( )种购买方案．
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
9．一副直角三角板叠放如图所示，现将含角的三角板固定不动，把含角的三角板绕直角顶点按每秒的速度沿逆时针方向匀速旋转一周，当两块三角板的斜边平行时，则三角板旋转运动的时间为（ ）
A．5秒或7秒 B．5秒或19秒 C．5秒或17秒 D．7秒或19秒
10．如图，二次函数（）的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点在与之间（不包括这两点），抛物线的顶点为，对称轴为直线，有以下结论：①；②若点，点是函数图象上的两点，则；③；④可以是等腰直角三形．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，满分21分）
11．据《央视网》报道，我国成功研制出超导量子计算原型机“祖冲之二号”．截至报道时，根据已公开的最优经典算法，在处理“量子随机线路取样”问题时，全球其他最快的超级计算机用时2.3秒的计算量，“祖冲之二号”用时大约为秒，将用科学记数法表示应为______．
12．已知函数求x的取值范围______．
13．如图，，要使，则还需要添加一个条件：______．（不再添加其它图形和字母，只要写出一个正确答案即可）
14．如图，用圆心角为，半径为的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是 _____cm．
15．如图，，，将向右平移到位置A的对应点是，的对应点是，反比例函数的图像经过点和的中点，则的值是______．
16．在中，，点D在直线上，且，则的度数为________．
17．如图，在平面直角坐标系中，四边形，，，…都是菱形，点，，，…都在x轴上，点，，，…都在直线上，且，，则点C 的坐标是_____．
三、解答题（共7道大题，共69分）
18．（本题共2个小题，第（1）题6分，第（2）题4分，共10分）
（1）计算：．
(2)分解因式：；
19．（本题满分5分）解方程：
20．（本题满分8分）4月23日是“世界读书日”，设立的目的是为了推动更多的人去阅读和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科学、思想大师们，保护知识产权．每年的这一天，世界上许多国家会举办各种各样的庆祝和图书宣传活动．在2022年第27个“世界读书日”来临之际，某校为了解学生的阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周课外阅读的时间t（单位：小时），把调查结果分为四档：A档：：B档：；C档：；D档：．根据调查结果绘成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
(1)本次抽样调查的样本容量是 ；
(2)图1中A档所在扇形的圆心角的度数是 °；
(3)请补全图2条形统计图；
(4)已知全校共有800名学生，请你估计每周课外阅读时间为的学生人数是多少？
21．（本题满分10分）如图，在中，，以为直径作，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求圆的半径及的长．
22．（本题满分10分）在一条笔直的公路上依次有三地，甲，乙两人同时出发，甲从地骑自行车匀速去地，途径地时休息分钟后继续按原速骑行至地，甲到达地后，立即按原路原速返回地；乙步行匀速从地至地，甲，乙两人距地的距离（米）与时间（分）之间的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
(1)甲骑行速度为_____米/分，乙步行速度为____米/分，两地的距离为____米；
(2)求甲返回时距地的距离（米）与时间（分）之间的关系式（不需要写自变量的取值范围）；
(3)两人出发后，在甲返回地之前，设第分钟时，两人距地的距离相等，请直接写出的值．
综合与实践（本题满分12分）
综合与实践折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，既可以得到一些美丽的图形，同时还蕴含着丰富的数学知识．
如图①，在矩形纸片ABCD中，．
活动一：
(1)如图②，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在点C处，点D落在点处，展开得到折痕EF交AB边于点E，交CD边于点F，则_______；
活动二：
(2)如图③，连接图②中的AC交EF于点O，连接AF．猜想四边形AECF是什么特殊四边形，并证明你的猜想；
活动三：
(3)如图④，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边的中点处，点D落在点处，展开得到折痕EF交AB边于点E，交CD边于点F，则_______，_______；
活动四：
(4)如图⑤，若点A落在靠近点B的BC的四等分点处，即，则与相似吗？若相似，请直接写出相似比；若不相似，请说明理由．
24．综合与探究（本题满分14分）
如图，抛物线交于轴于两点（点在点的左侧），且两点的横坐标分别是和2，交轴于点，且的面积为24．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，若，过点作交轴于点，点是抛物线上下方的一动点，连接，求面积的最大值以及最大值时点的坐标．
（3）如图2，将原抛物线向右平移4个单位长度，得到新的抛物线，平移后的抛物线与原抛物线的交点为．在（2）的条件下，在直线上是否存在一点，在平面直角坐标系中是否存在一点，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据相反数的定义即可求解．
【详解】解：的相反数是．
故选：C
【点睛】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，熟知相反数的定义是解题关键．
2．D
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念，即可得出正确答案．
【详解】解：A.此图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意；
B. 此图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意；
C. 此图不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意；
D. 此图是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，轴对称图形是指在平面沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是指在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，熟练掌握概念是解本题的关键．
3．D
【分析】分别根据合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式、幂的乘方等知识逐项判断即可求解．
【详解】解：A. 和不是同类项，不能相加，故原选项计算错误，不合题意；
B. ，故原选项计算错误，不合题意；
C. ，故原选项计算错误，不合题意；
D. ，故原选项计算正确，符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式、幂的乘方等知识，熟知相关计算法则是解题关键．
4．D
【分析】列树状图或画表格得到所有可能情况，然后找出第二次取出的球的号码不小于第一次取出的球的号码的情况，计算概率即可．
【详解】解：列树状图为：
由上图可知共16种等可能情况，符合要求的共有10种结果，
故第二次取出的球的号码不小于第一次取出的球的号码的概率为．
故选D．
【点睛】本题考查概率公式，解题的关键是能用树状图或列表法表示所有等可能情况．
5．B
【分析】当时，，排除A、D，当时，，排除C．
【详解】当时，
由题意得：，，
是关于t的二次函数，且开口向上，
∴排除A、D，
当时，
过点P作，
∴四边形是矩形，
∴，
∴
根据勾股定理得：
∴
当P运动到线段上时，，
∴
∵
∴
是关于t的二次函数，且开口向下，
∴排除C
∴B选项正确；
故选：B
【点睛】本题考查函数与几何图形的动点问题，解题的关键是分段求出函数关系式，利用排除法求解．
6．A
【分析】根据众数和中位数的定义即可得．
【详解】解：因为26出现的次数最多，
所以这组数据的众数是26，
将这组数据按从小到大进行排序为，
则这组数据的中位数是，
故选：A．
【点睛】本题考查了众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，一组数据按照从大到小或从小到大排列后，处在中间位置的数或两个数的平均数叫做中位数，熟记定义是解题关键．
7．B
【分析】根据不等式组的解集确定k的取值范围，再根据分式方程有非负整数解得出k的所有可能的值，再进行计算即可．
【详解】解：解不等式得：，
∵整数k使关于x的一元一次不等式组的解集是，
∴，
解分式方程得： ，
则是非负整数，
∴或或，
当时，是方程的增根，舍去，
∴或，
∴符合条件的所有整数k的值之和为，
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的整数解，解一元一次不等式组，掌握分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，理解分式方程的整数解的意义是正确解答的前提．
8．B
【分析】设甲种运动服买了x套，乙种买了y套，根据准备用265元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱都用尽的条件下可列出方程，且根据x，y必需为正整数可求出解．
【详解】解：设甲种运动服买了x套，乙种买了y套，
20x+35y=265，
得，
∵x，y必须为正整数，
∴＞0，即0＜y＜，
∴当y=3时，x=8
当y=7时，x=1．
所以有两种方案．
故选：B．
【点睛】本题考查理解题意的能力，关键是根据题意列出二元一次方程，然后根据解为正整数确定值从而得出结果．
9．D
【分析】依据两块三角板的斜边平行，即可得到旋转角的度数，再依据旋转的速度，即可得到三角板旋转运动的时间．
【详解】解：如图，
当斜边ABDC时，∠CFE=∠B=60°，
∴∠BED=60°-45°=15°，
∴旋转角为90°+15°=105°，
105°÷15°=7；
如图，将△ABE继续逆时针旋转180°，可得斜边A'B'DC，
此时，旋转角为105°+180°=285°，
285°÷15°=19；
综上所述，当两块三角板的斜边平行时，则三角板旋转运动的时间为7秒或19秒，
故选D．
10．B
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：①由开口可知：a＜0，
∴对称轴x= ＞0，
∴b＞0，
由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
②由于＜2＜，且（，y1）关于直线x=2的对称点的坐标为（，y1），
∵＜，
∴y1＜y2，故②正确，
③∵ =2，
∴b=-4a，
∵x=-1，y=0，
∴a-b+c=0，
∴c=-5a，
∵2＜c＜3，
∴2＜-5a＜3，
∴，故③正确
④根据抛物线的对称性可知，AB=6，
∴，
假定抛物线经过（0，2），（-1，0），（5，0），
设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-5)，则a=-，
∴y=-(x-2)2+
∵＞3
∴不可以是等腰直角三形．故④错误．
所以正确的是②③，共2个．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．
11．
【分析】绝对值小于1的利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定．
12．且且
【分析】根据零指数幂以及二次根式与分式有意义的条件进行解答即可．
【详解】解：∵函数，
，，
解得：，，
∴自变量x的取值范围是且且．
故答案为：且且．
【点睛】本题主要考查了二次根式和零指数幂及分式有意义的条件，熟练掌握二次根式及分式有意义的条件是解题的关键．
13．（答案不唯一）
【分析】可添加条件：，再有条件，，可利用证明．
【详解】解：添加条件，
在和中，
，
∴
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定方法，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
14．
【分析】设这个圆锥的底面圆的半径为，由于这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，解方程求出r，然后利用勾股定理计算圆锥的高即可．
【详解】解：设这个圆锥的底面圆的半径为，
根据题意得，
解得，
即这个圆锥的底面圆的半径为，母线，
所以这个纸帽的高为（cm）．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解题的关键．
15．24
【分析】作轴，轴，轴，设，表示出四边形的面积，再根据相似三角形的性质得出，，即可表示出四边形的面积，然后根据的几何意义得出方程，求出，可得答案．
【详解】解：过点作轴，轴，轴，根据题意，得，
设，
∴四边形的面积是
∵是的中点，轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形的面积为，
∴，
解得，
∴
故答案为：24．
【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，正确的作出辅助线构造矩形是解题的关键．
16．或
【分析】根据三角形内角和定理可求出的度数，可得，可知点D在的延长线上或在的延长线上，根据等腰三角形的性质及外角性质即可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴点D在的延长线上或在的延长线上，
如图，点D在的延长线上时，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当点D在的延长线上时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述：的度数为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质，灵活运用分类讨论的思想是解题关键．
17．(47,16)
【分析】根据菱形的边长求得、、…的坐标然后分别表示出、、…的坐标找出规律进而求得的坐标．
【详解】解：，
，
，
的纵坐标为：，横坐标为，
，
∵四边形，，，…都是菱形，OA1=1，
，，，…，
的纵坐标为：，代入求得横坐标为2，
，
的纵坐标为：，代入求得横坐标为11，
，
，
；
故答案为．
【点睛】本题是对点的坐标变化规律的考查，主要利用了菱形的性质，解直角三角形，根据已知点的变化规律求出菱形的边长，得出系列C点的坐标，找出规律是解题的关键．
18．（1）3；(2)
【分析】（1）根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角度的三角函数值，绝对值化简规则依次计算即可得到答案．（2）先提取公因式，再用完全平方公式进行因式分解；
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
；
19．，．
【分析】移项，化二次项系数为1，配方，两边开方即可得到答案．
【详解】解：移项得，
，
两边同时除以4得，
，
配方得，
，
两边开方得，
，
∴，．
20．(1)40
(2)72
(3)见解析
(4)600
【分析】（1）根据档的人数与占比即可求得样本的容量；
（2）根据档的百分比乘以360°即可求得A档所在扇形的圆心角的度数是；
（3）根据档的百分比乘以样本的容量即可求得档的人数，用总人数减去档的人数即可求得档的人数，进而补全统计图；
（4）根据档的人数所占的比例乘以800即可求解．
（1）
解：样本的容量为，
故答案为：40；
（2）
解：，
故答案为：72；
（3）
档的人数为：，
档的人数为，
补全统计图如图，
（4）
估计每周课外阅读时间为的学生人数是（人）．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．（1）是的切线；理由见解析；（2）圆的半径为1.5，的长为
【分析】（1）欲证明 CD是切线，只要证明 OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明；
（2）设⊙O的半径为 r．在 Rt△OBE中，根据，可得， 推出 r＝1.5，由 ，推出，可得 CD＝BC＝3，再利用勾股定理即可解决问题；
【详解】（1）证明：连接．
，，，
，
，
，
是的切线；
（2）解：设的半径为．
在中，，
，
，
，
，
，
在中，．
圆的半径为1.5，的长为
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，
解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
22．(1)240，60，1200
(2)
(3)4或6或8
【分析】（1）根据图象可得，甲从A地到C地用了分钟，共1020米，即可求出甲的速度，再求出A地到B地的路程，即可求出乙的速度；
（2）求出点M的坐标，把点M和点N的坐标带入即可求解；
【详解】（1）解：根据题意得：
甲的速度：（米/分），
A，B两地距离：（米），
乙的速度：（米/分），
故答案为：240，60，1200．
（2）设甲返回时距地的距离（米）与时间（分）之间的关系式为：，
∵A地到B地距离为1200米，
∴点M的纵坐标为1200，
∵甲在C地休息了一分钟，
∴点M的横坐标为，
∴，
把点，带入得：
，解得：，
∴．
（3）C地距离B地（米）
乙到C地时间：（分）
甲乙相遇的时间：（分）
①当时，
此时乙还没到C地： ，
解得：，此种情况不符合题意；
②当时，即时，
解得：时；
③当时，甲在B、C之间，乙在A、C之间，
∴，
解得：时；
此种情况不符合题意；
④当时，甲到B地，距离C地180米，
乙距C地的距离：（米），
即时两人距C地的路程相等，
⑤当时，甲在返回途中，
当甲在B、C之间时，，
解得：，
此种情况不符合题意，
当甲在A、C之间时，，
解得：，
综上所述，在甲返回A地之前，经过4分钟或6分钟或8分钟时两人距C地的路程相等．
【点睛】本题考查了待定系数法一次函数的解析式的运用，一次函数与二元一次方程组的关系的运用，行程问题的数量关系的运用，注意由图像得出有用的信息及分类讨论思想在解题时的应用．
23．(1)；
(2)四边形AECF是菱形，证明见解析；
(3)；
(4)与相似，相似比为
【分析】（1）由翻折的性质和勾股定理求得BE、AE的值，然后证明，过点F作于H，由勾股定理即可求得EF的值；
（2）由翻折的性质证明，然后通过四边相等证明菱形；
（3）根据折叠的性质和勾股定理求得BE的值，进而可以求出的值；
（4）先由折叠的性质得到，然后通过勾股定理求出和的值，通过与的比值即可得到与的相似比．
（1）
解：由翻折可得，
，
在Rt△BCE中，
即，解得，
，
由翻折得，
，
，
在与中，
，
，
过点F作于H，则，
∴四边形ADFH是矩形，
，
，
在Rt△FHE中，，
故答案为：；
（2）
四边形AECF是菱形．
证明：四边形ABCD是矩形，
，
，
折叠矩形纸片ABCD，点A落在点C处，折痕为EF，
，
，
在△AOE与△COF中，，
，
，
，
∴四边形AECF是菱形；
（3）
由折叠可得，
是BC的中点，
，
设，
，
在中，，
，
即，解得，
，
∴在中，，
故答案为：；；
（4）
由折叠可得，
，
又，
，
又，
，
，
，
设，则，
在中，，
即，解得，
，
，
，
，
，
，
故两个三角形的相似比为．
【点睛】本题是一道翻折与四边形综合问题，考查的知识点较多，折叠的性质，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理解三角形，解直角三角形等，综合性较强，难度较大，熟练掌握这些性质定理是解题的关键．
24．（1）；（2）面积的最大值为，点P的坐标为；（3）存在，点的坐标为或或或．
【分析】（1）由题意易得点A、B的坐标，则，然后由的面积为24可得，设抛物线解析式为，进而把点C的坐标代入求解即可；
（2）由（1）易求直线AC的解析式，进而可得直线DE的解析式为，过点P作PH∥y轴，交DE的延长线于点H，设点，的面积为S，则，然后根据铅垂法可得，最后问题可求解；
（3）由题意易得点C、F重合，由（2）可得，，由题意可设，然后根据菱形的性质可分①当时，②当时，③当时，进而根据两点距离公式可进行分类求解．
【详解】解：（1）∵两点的横坐标分别是和2，
∴，
∴，
∵的面积为24，
∴，
∴，即，
设抛物线解析式为，把点的坐标代入得：
，解得：，
∴抛物线解析式为，即为；
（2）由（1）可得：抛物线解析式为，，，
∵，
∴，
∴点，
设直线AC的解析式为，把点A、C代入得：
，解得：，
∴直线AC的解析式为，
∵，
∴直线DE与AC的斜率相等，即k相等，
∴设直线DE的解析式为，把点代入得：，解得：，
∴直线DE的解析式为，
过点P作PH∥y轴，交DE的延长线于点H，如图所示：
设点，的面积为S，则，
∴根据铅垂法可得的水平宽为点D、E的水平距离，即为2，铅垂高为PH的长，即为，
∴，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为，
∴此时点P的坐标为；
（3）存在点M、N，使得以为顶点的四边形是菱形，理由如下：
将原抛物线向右平移4个单位长度，得到新的抛物线，结合（1）可得：
∴平移后的解析式为，
∴点C、F重合，
∴，
由（2）可得直线AC的解析式为，点P的坐标为，设，
∵四边形是菱形，
∴①当时，由两点距离公式可得：
，
解得：，
∴点；
②当时，同理可得：，
解得：（舍去），
∴点；
③当时，同理可得：，
解得：，
∴点或；
综上所述：当以为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合及菱形的性质，熟练掌握二次函数的性质与菱形的性质是解题的关键．
答案第1页，共2页
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