2022年湖北省荆门市龙泉中学自主招生数学试题（含答案）

2022年湖北省荆门市龙泉中学自主招生数学试题
一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞且k≠0 B．k＜且k≠0 C．k≤且k≠0 D．k＜
2．（3分）如图，正方形ABCD在平面直角坐标系中．点A的坐标为（﹣6，4），点B，C在x轴上．将正方形ABCD平移后，点O成为新正方形的对称中心，则正方形ABCD的平移过程可能是（　　）
A．向右平移6个单位长度，再向下平移4个单位长度
B．向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度
C．向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度
D．向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度
3．（3分）如图，在△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝2AC，将△BAC绕点A顺时针旋转至△DAE，点D刚好落在BC直线上，则△BDE的面积为（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的两倍，则称这样的方程为“2倍根方程”，以下说法不正确的是（　　）
A．方程x2﹣3x+2＝0是2倍根方程
B．若关于x的方程（x﹣2）（mx+n）＝0是2倍根方程，则m+n＝0
C．若m+n＝0且m≠0，则关于x的方程（x﹣2）（mx+n）＝0是2倍根方程
D．若2m+n＝0且m≠0，则关于x的方程x2+（m﹣n）x﹣mn＝0 是2倍根方程
5．（3分）如图，在矩形ABCD中，E是CD边的中点，且BE⊥AC于点F，连接DF，则下列结论错误的是（　　）
A．△ADC∽△CFB B．AD＝DF
C．＝ D．＝
6．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+3，截取该函数图象在0≤x≤4间的部分记为图象G，设经过点（0，t）且平行于x轴的直线为l，将图象G在直线l下方的部分沿直线l翻折，图象G在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象M，若函数M的最大值与最小值的差不大于5，则t的取值范围是（　　）
A．0≤t≤1 B．﹣1≤t≤0 C．﹣5≤t≤4 D．﹣1≤t≤1
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD与y轴分别交于E、F两点，对角线BD在x轴上，反比例函数的图象过点A并交AD于点G，连接DF．若BE：AE＝1：2，AG：GD＝3：2，且△FCD的面积为，则k的值是（　　）
A． B．3 C． D．5
8．（3分）如图，△ABC为等边三角形，BD＝DE，∠BDE＝120°，连接CE，F为CE的中点，连接DF并延长，连接AD、CG、AG．下列结论：
①CG＝DE；②若DE∥BC，则△ABH∽△GBD；③在②的条件下，若CE⊥BC，则．
其中正确的有（　　）
A．①②③都正确 B．只有①②正确
C．只有②③正确 D．只有①③正确
9．（3分）已知锐角△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，H为△ABC的垂心，H到三边BC，AC，AB的距离分别为x，y，z，则x：y：z＝（　　）
A．bc：ca：ab
B．cosA：cos B：cosC
C．cosBcosC：cosCcosA：cosAcosB
D．sinBcosC：sinCcosA：sinAcosB
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且过点（，0），有下列结论：
①abc＞0； ②a﹣2b+4c＞0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；
其中所有正确的结论是（　　）
A．①③ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
二.填空题（共6小题）
11．（3分）计算：＝　 　．
12．（3分）若2x2+7xy﹣15y2+ax+by+3可以分解成两个一次整系数多项式的乘积，其中a、b为整数，那么a+b的最小值是 　 　．
13．（3分）在函数y＝+x﹣2中，自变量x的取值范围是　 　．
14．（3分）如图，A（a，1），B（﹣1，b）都在双曲线y＝﹣（x＜0）点P，Q分别是x轴，y轴上的动点，当四边形PABQ的周长最小值时，PQ所在直线的解析式是 　 　．
15．（3分）若直线y＝m（m为常数）与函数y＝的图象有三个不同的交点，则常数m的取值范围　 　．
16．（3分）如图，在直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+与x轴交于点C，与y轴交于点A，分别以OC、OA为边作矩形ABCO，点D、E在直线AC上，且DE＝1，则BD+CE的最小值是 　 　．
三.解答题（共8小题）
17．（8分）先化简，再求值：（﹣x+1）÷，其中x是满足﹣1≤x＜2的整数．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣3＝0有实数根．
（ⅰ）求实数k的取值范围；
（ⅱ）当k＝2时，方程的根为x1，x2，求代数式（x12+2x1﹣1）（x22+4x2+3）的值．
19．（8分）如图，在直角坐标系中，点A（0，1），点B（3，0），点C（4，3）．
（1）判断△ABC的形状并说明理由；
（2）在线段OC的右侧，以OC为边作等腰直角△OCD，点D的坐标为　 　．
20．（8分）2021年红花岗区某校举办“建党10周年”知识竞赛，成绩分析过程如下：
Ⅰ．收集数据，测试成绩如下：
女生：85 65 80 100 80 75 95 85 80 75
男生：85 100 75 60 85 70 85 60 95 100
Ⅱ．整理、描述数据
60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100
女生 1 2 a 2
男生 2 2 3 b
Ⅲ．分析数据
平均数 中位数 众数
女生 81.5 c 80
男生 81.5 85 d
根据以上信息，回答下列问题．
（1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　，d＝　 　；
（2）小明和小颖看到信息后，小颖说：女生成绩较好；小明说：男生成绩较好，你同意 　 　的看法，请说明理由；
（3）该校将从以上20名学生中，筛选出成绩最好的5名学生，随机抽取2名学生参加红花岗区的比赛，求抽到一男一女学生参赛的概率．
21．（8分）如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40nmile的点A处，它沿着点A的南偏东15°的方向航行．
（1）渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？
（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行20nmile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发到达事故地点的最短航程BC是多少nmile（结果保留根号）？
22．（10分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝10，BC＝6，以AB为直径作⊙O，点D为直径AB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D逆时针旋转90°得到线段ED，连接AE．
（1）如图1，当AD＝BC时，求证：AE是⊙O的切线；
（2）如图2，当点E落在⊙O上时，求线段AD的长度；
（3）直接写出点D从点A运动到点B的过程中，点E运动路径的长度．
23．（10分）为了抗击新冠疫情，防疫指挥部计划将甲、乙两厂“生产的防疫物资全部运往A、B两地，甲厂有防疫物资60吨，乙厂有防疫物资40吨，A地需防疫物资70吨，B地需防疫物资30吨，每吨防疫物资的运输费用（百元）见表格，设从甲厂“运往A地防疫物资x吨．
接收地出发地 A地 B地
甲厂 7 10
乙厂 10 15
（1）直接写出x的取值范围：　 　．
（2）请你设计一种调运总费用最低的运输方案，最低费用为多少？
（3）因路况原因，从甲厂到A地的运输费用每吨增加了m百元，从乙厂“到B地的运输费用每吨降低了2m百元，其它每吨运输费用不变，且1≤m≤4，请你探究总运费可以达到的最小值．
24．（12分）如图1，二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C（0，﹣3），直线l经过点B．
（1）求二次函数的表达式和顶点D的坐标；
（2）如图2，当直线l过点D时，求△BCD的面积；
（3）如图3，直线l与抛物线有另一个交点E，且点E使得∠BAC﹣∠CBE＞45°，求点E的横坐标m的取值范围；
（4）如图4，动点F在直线l上，作∠CFG＝45°，FG与线段AB交于点G，连接CG，当△ABC与△CFG相似，且S△CFG最小时，在直线l上是否存在一点H，使得∠FHG＝45°存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．C； 2．D； 3．A； 4．B； 5．C； 6．B； 7．B； 8．A； 9．C； 10．C；
二.填空题（共6小题）
11．； 12．﹣17； 13．x≥﹣4且x≠0； 14．y＝x+2； 15．0＜m＜4； 16．；
三.解答题（共8小题）
17．，1．； 18．（i）k≤；（ii）1．； 19．（3，﹣4），（7，﹣1），（，﹣）； 20．5；
3； 80； 85； 小明； 21．（1）渔船航行20nmile距离小岛B最近；
（2）救援队从B处出发到达事故地点的最短航程是40nmile．； 22．（1）；（2）7；（3）10．； 23．30≤x≤60； 24．（1）二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3，顶点D的坐标为（1，﹣4）；
（2）S△BCD＝3；
（3）点E的横坐标m的取值范围为﹣＜m＜2；
（4）点H的坐标为：（，）或（，）．；
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