7.2复数的四则运算 同步练习（含解析）

7.2复数的四则运算同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．复数在复平面内所对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知复数满足（其中是虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
3．下列命题不正确的为（ ）
A．若复数，的模相等，则，是共轭复数
B．，都是复数，若是虚数，则不是的共轭复数
C．复数是实数的充要条件是
D．，，则对应的点的轨迹为线段
4．若复数为纯虚数，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
5．设复数z满足，则（ ）
A． B． C．2 D．8
6．复数，其中为实数，若为实数，为纯虚数，则（ ）
A．6 B． C． D．7
7．复数，，其中，为实数，若为实数，为纯虚数，则（ ）
A． B． C．6 D．7
8．若是一元二次方程的根，则该方程的两根之积为（ ）
A．2 B． C． D．1
二、多选题
9．已知是两个虚数，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则与均为实数 B．若与均为实数，则
C．若均为纯虚数，则为实数 D．若为实数，则均为纯虚数
10．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知，则下列正确的是（ ）
A． B．在复平面内所对应的点在第二象限
C． D．
12．已知复数均不为0，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．设复数满足，其中是虚数单位，则 .
14．设为复数的共轭复数，若复数满足，则 ．
15．已知关于的方程的一个虚根为（其中为虚数单位），则实数 .
16．若复数，且为纯虚数，则 ，在复平面内对应的点位于第 象限．
四、解答题
17．已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位.
(1)求的值;
(2)记复数，求复数的模.
18．已知复数和，对任意非零复数有．
(1)求用表示的关系式．
(2)将作为点的坐标，作为点的坐标，当点在圆（是常数，）上移动时，试求点的轨迹方程，并指出轨迹是怎样的曲线．
(3)判断能否找到实数，使点的轨迹恰为圆？
19．已知z为复数，和均为实数，其中是虚数单位.
(1)求复数z和|z|；
(2)若在第四象限，求m的取值范围.
20．已知是虚数单位，是的共轭复数.
(1)若，求复数和；
(2)若复数是纯虚数，求实数的值.
21．已知是虚数单位，复数z的共轭复数是，且满足．
(1)求复数z的模；
(2)若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．A
【分析】先对复数进行化简，再找到其在复平面对应的点，得到答案.
【详解】由，
可得复数z在复平面内所对应的点为，所在的象限为第一象限.
故选：A．
2．B
【分析】利用复数的除法化简可化简复数.
【详解】因为，则.
故选：B.
3．A
【分析】根据共轭复数的定义可判断ABC，根据复数的几何意义可判断D.
【详解】对于A，若复数，的模相等，则，还可能是相等的复数，故A错误；
对于B，若和是共轭复数，则相加为实数，不会为虚数，故B正确；
对于C，若复数是实数，则，从而，所以，
反之若，则由得，所以，
所以复数是实数的充要条件是，故C正确；
对于D，设，
由复数的几何意义可知表示点到点和距离之和为2，
而点和之间距离为2，所以对应的点的轨迹为线段，故D正确.
故选：A
4．A
【分析】根据复数的类型求出，再根据复数代数形式的乘方与除法运算法则计算可得；
【详解】因为复数为纯虚数，
所以且，解得，
又，，，，又，所以，
所以．
故选：A．
5．B
【分析】利用复数除法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果．
【详解】解：，
，
因此．
故选：B
6．C
【分析】利用复数代数形式的加减法，结合实数、纯虚数的定义求解即得.
【详解】复数，为实数，则，
由为实数，得，解得，又，
显然，由为纯虚数，得，解得，
所以.
故选：C
7．A
【分析】由复数运算和分类可解.
【详解】由题意，，
因为为实数，为纯虚数，
所以，得，
所以.
故选：A.
8．A
【分析】利用一元二次方程虚根一定互为共轭复数求解即可.
【详解】设的另一个根是，易知与一定是共轭复数，
故，故.
故选：A
9．ABC
【分析】根据复数的四则运算，结合共轭复数的定义即可求解ABC，举反例即可求解D.
【详解】设，．，．
若，则，，所以，，所以A正确；
若与均为实数，则，且，又，，所以，所以B正确；
若，均为纯虚数，则，所以，所以C正确；
取，，则为实数，但，不是纯虚数，所以D错误．
故选：ABC．
10．AD
【分析】根据题意，求得，结合复数的运算法则，逐个判断即可.
【详解】根据题意，；
对A：，故A正确；
对B：由A知，，又，显然，故B错误；
对C：，故，故C错误；
对D：，故D正确.
故选：AD.
11．AC
【分析】根据复数模的计算判断A；求出，确定其对应的点，即可判断B；根据复数的乘方求出，可判断C；根据，求出，即可判断D.
【详解】对于A，由，所以，故A正确；
对于B，由，所以，故在复平面内所对应的点为，
在第三象限，故B错误；
对于C，，所以，
则，故C正确；
对于D，，所以，故，故D错误，
故选：AC.
12．BCD
【分析】设出、，结合复数的运算、共轭复数定义及复数的模的性质逐个计算即可得.
【详解】设、；
对A：设，则，
，故A错误；
对B： ，又，即有，故B正确；
对C：，则，
，，则，
即有，故C正确；
对D：
，
，
故，故D正确.
故选：BCD.
13．
【分析】先利用复数除法运算求解，然后利用模的运算求解即可.
【详解】由，可得，
所以.
故答案为：
14．
【分析】由题意可知，、是关于实系数方程的两个虚根，利用韦达定理可求得的值.
【详解】对于方程，，
由题意可知，、是关于实系数方程的两个虚根，
由韦达定理可得.
故答案为：.
15．
【分析】根据根与系数关系求得正确答案.
【详解】依题意，关于的方程的根为，
由根与系数关系得.
故答案为：
16． 二
【分析】根据纯虚数定义可构造方程求得；由复数乘方运算和几何意义可确定对应点的坐标，由此可得对应点所在象限.
【详解】为纯虚数，，解得：；
对应的点为，
在复平面内对应的点为与第二象限.
故答案为：；二.
17．(1)
(2)
【分析】（1）将代入方程化简，利用复数等于0，即实部和虚部都为0，即可求解；
（2）求出共轭复数，然后求出待求复数，利用复数模长公式即可求解.
【详解】（1）由题意得:，即，
所以，所以，，
解得：，.
（2），，，
所以.
18．(1)；
(2)点的轨迹方程为，是以为圆心，为半径的圆；
(3)找不到实数使的轨迹恰为.
【分析】（1）由题意可得，根据复数的运算及复数相等即可求解；
（2）将代入，再化简即可求点的轨迹方程；
（3）若的轨迹与重合，则它们的圆心也要重合，可得，与的条件矛盾.
【详解】（1）因为，所以，
即，所以.
（2）将代入，得
即
整理得①
因为，所以，即，
所以．
①式化简为
同除得
配方有
即为的轨迹方程．
所以的轨迹是以为圆心，为半径的圆．
（3）若的轨迹与重合，则它们的圆心也要重合．
于是，有，与的条件矛盾，
所以找不到实数使的轨迹恰为．
19．(1)；
(2)
【分析】（1）设，依据题设，建立方程求出，即可求得z，再求其模；
（2）先求出，再根据题意建立不等式组求解即可.
【详解】（1）设，则，
由为实数，得，则，
由为实数，得，则，
∴，则；
（2），
由在第四象限，得，解得或，
故m的取值范围为．
20．(1)，
(2)2
【分析】（1）先化简，再求出复数，再求出模长；
（2）由纯虚数的实部为零，虚部不为零求出结果即可.
【详解】（1）因为
由.得.
所以，.
（2）因为是纯虚数，
所以，
解得.
21．(1)
(2)
【分析】（1）利用复数及其共轭复数、复数的相等、复数的模运算即可得解.
（2）利用复数的运算、复数的相等、复数的几何意义运算即可得解.
【详解】（1）解：设，则，
∴，
∴，，
∴，则；
（2）解：由（1）知，，
∴，
由题意，复数在复平面内对应的点在第二象限，
∴，解得：，
即实数m的取值范围为．
答案第1页，共2页
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