7.3复数的三角表示 同步练习（含解析）

7.3复数的三角表示同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若，则（ ）
A．1 B． C．i D．
2．欧拉公式把自然对数的底数、虚数单位、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．已知实数指数幂的运算性质同样也适用于复数指数幂，则（ ）
A． B． C． D．
3．复数的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
4．棣莫弗公式（为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667－1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，已知复数，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．设复数，则函数的图象的一部分是下列图中的（ ）
A． B．
C． D．
6．任意一个复数都可以表示成三角形式，即．棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667－1754年）创立的，指的是：设两个复数，，则，已知复数，则（ ）
A． B． C． D．1
7．已知复数对应的向量绕原点逆时针旋转后得到的向量对应的复数为，且，则（ ）
A． B．
C． D．
8．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，其中e是自然对数的底，i是虚数单位，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数（为虚数单位），则下列说法中正确的是（ ）
A．的共轭复数是 B．
C．的辐角主值是 D．
10．已知复数 (为虚数单位)，复数的共轭复数为，则下列结论正确的是（ ）
A．在复平面内复数所对应的点位于第一象限
B．
C．
D．
11．已知为虚数单位，，则下列选项不是的三角形式的有（ ）
A． B．
C． D．
12．把复数与对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数形式和它的辐角分别是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．将复数在复平面上所对应的向量绕原点按顺时针方向旋转得到向量，那么对应的复数是 .
14．若是纯虚数（其中是虚数单位），则正整数的最小值为 .
15．1748年，数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，得到公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学的天桥”，据此公式可得 ．
16．在复平面内，复数对应向量（为坐标原点），设，以射线为始边，为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理可以推导出复数乘方公式：，已知，则 ；若复数满足，则称复数为n次单位根，若复数是6次单位根，且，请写出一个满足条件的 ．
四、解答题
17．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
18．欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”．1735年，他提出公式：复数：（是虚数单位）．已知复数，，．
(1)当时，求的值；
(2)当时，若且，求的值．
19．已知关于z的方程．
(1)在复数域范围内求该方程的解集；
(2)已知该方程虚根分别为、，若z满足，求的最小值．
20．已知复数.
(1)若为实数，求的值；
(2)若为纯虚数，求的值；
(3)若复数在复平面内所对应的点位于第四象限，求的取值范围.
21．在复平面内，O为坐标原点，复数是关于x的方程的一个根.
(1)求实数m，n的值；
(2)若复数，，，所对应的点分别为A，B，C，记的面积为，的面积为，求.
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参考答案：
1．C
【分析】根据复数三角表示的运算求解即可.
【详解】.
故选：C
2．B
【分析】由已知得出，然后指数运算可得结果.
【详解】因为，所以，.
故选：B.
3．D
【分析】根据复数的三角形式结合诱导公式即可.
【详解】,
故选：D.
4．C
【分析】利用棣莫弗公式及三角函数的特殊值，结合三角函数的诱导公式即可求解.
【详解】依题意知，，
由棣莫弗公式，得，
所以.
故选：C.
5．A
【分析】利用复数三角形式的运算化简，从而得解.
【详解】因为，
所以
，
所以，
易知的图像是的图像保留轴上方的图像，同时将轴下方的图像往上翻折得到，
显然选项A中的图像满足要求.
故选：A.
6．B
【分析】将化为三角形式，根据棣莫弗定理可求得的值，即可求得答案.
【详解】由题意可得，
故，
所以
.
故选：B
7．A
【分析】先根据复数的三角形式旋转得到新复数，再应用复数乘法计算即可.
【详解】
逆时针旋转后得，所以
=.
故选：A
8．C
【分析】根据题设公式可判断A,B，由可得，两式联立可判断C,D.
【详解】对于A，不一定等于0，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，因为，①
所以，即，②
联立①②可得，，故C正确，D错误，
故选：C.
9．BCD
【分析】根据复数的有关概念和运算直接得到结果.
【详解】因为，所以，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D正确.
故选：BCD
10．AC
【分析】通过复数中，对复数进行化简，就可判断A选项的正误；并通过共轭复数的定义得到，就可判断B选项的正误；然后通过复数的乘法和除法公式，分别计算和，即可判断选项C和D的正误.
【详解】因为，所以，故复数，而共轭复数
对于选项A，复数，对应点坐标为，所以在复平面内复数所对应的点位于第一象限，故A正确；
对于选项B，，故B错误；
对于选项C，，故C正确；
对于选项D，，故D错误.
故选：AC
11．ABC
【分析】应用复数三角形式的乘法运算求即可得答案.
【详解】由，
所以，
所以A、B、C不对，D对.
故选：ABC
12．BD
【分析】由题意可知，，求出，再求出所对应的坐标，可得辐角.
【详解】由题意可知，
又，
则
，
可知对应的坐标为，则它的辐角主值为，
故可以作为复数的辐角的是，，
当时，.
故选：BD.
13．
【分析】根据复数的三角形式运算即可求解.
【详解】复数的三角形式是,
向量对应的复数是.
故答案为：
14．
【分析】求得，根据复数的概念可得出的表达式，即可求得正整数的最小值.
【详解】因为
因为为纯虚数，则，可得，
可得，又因为，当时，正整数取最小值.
故答案为：.
15．
【分析】由已知公式直接计算即得.
【详解】，
.
故答案为：.
16． 16
【分析】由已知可得，则，再由求解，由题意知，设，即可取一个符合题意的，即可得解．
【详解】解：，
，
则．
由题意知，设，则，所以，又，所以，故可取，则
故答案为：，（答案不唯一）．
17．(1)；
(2)；
(3)；
(4)
(5)；
(6).
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）利用三角形式的复数乘法、除法、乘方运算法则求解即得.
（6）把复数化成三角形式，再利用三角形式的复数运算计算即得.
【详解】（1）.
（2）.
（3）
.
（4）.
（5）.
（6）
.
18．(1)
(2)
【分析】（1）当时，为实数，可求出；
（2）由先求出，再根据，得到，，进而可得.
【详解】（1）因为虚数不能比较大小，所以为实数，
又因为，
所以
解得
（2）当时，，．
所以，
所以，
所以，，
因为，所以．
19．(1)
(2)
【分析】（1）设，代入方程得，则实部虚部对应相等均为零，分别讨论或时，求解在复数域范围内求该方程的解集；
（2）由可得Z的轨迹为x轴，即可求出答案.
【详解】（1）设，代入方程得，则实部虚部对应相等均为零，
时，z为实数，
当时，，解得，，舍去；
当时，，解得，，舍去；
时，
当时，，解得，
当时，，解得，
综上，解集为
（2）因为，即Z到的距离和到的距离相等，
则Z的轨迹为x轴，那么点到x轴的最短距离为.
20．(1)或
(2)2
(3)
【分析】若为实数，则虚部为0，列出方程求解即可；
若为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，列出方程组求解即可；
若复数在复平面内所对应的点位于第四象限，则实部大于0，虚部小于0，列出不等式组求解即可。
【详解】（1）若为实数，则虚部为0，
所以，
解得或
（2）若为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，
所以解得
（3）若复数在复平面内所对应的点位于第四象限，则实部大于0，虚部小于0，
所以解得
21．(1)，
(2)2
【分析】（1）把代入方程，然后根据复数相等即得；或由题可知也是方程的根，根据韦达定理计算得到答案；
（2）根据复数的除法运算结合条件可得，，，进而可得，即得；或根据复数的三角形式及几何意义可得，进而即得.
【详解】（1）解法一：依题意，，
整理得，
于是，有，
解得，；
解法二：依题意，是方程的另一个根，
于是，有，
解得，；
（2）由（1）知，因为，
所以，
所以，，，
从而，，，
可知，所以.
解法二：由（1）知，因为，
所以，
可知，
所以.
答案第1页，共2页
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