马鞍山市重点中学2023-2024学年高二上学期期末测试
数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．空间直角坐标系中，已知A（－1，－3，2），＝（2，0，4），则点B的坐标是（ ）
A．（3，3，2） B．（－3，－3，－2） C．（1，－3，6） D．（－1，3，－6）
2．由点P（－1，4）向圆引的切线长是（ ）
A．3 B． C． D．5
3．已知等差数列的公差为1，，则（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
4．抛物线的焦点坐标是（ ）
A．（0，1） B．（0，） C．（0，） D．（0，）
5．已知椭圆（a＞b＞0）的焦点为F1，F2，等轴双曲线的焦点为F3，F4，若四
边形F1F3F2F4是正方形，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知正项数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．三棱锥O－ABC中，点P面ABC，且，则实数（ ）
A． Ｂ． C．1 D．
8．已知O为坐标原点，双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，过点F向双曲线
的一条渐近线作垂线，垂足为P，且FP＝OA，直线AP与双曲线的左支交于点B，则∠PFB的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．若三条直线l1：，l2：，l3：有2个公共点，则实数a的
值可以为（ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
10．平面直角坐标系数Oxy中，已知A（－1，0），B（1，0），则使得动点P的轨迹为圆的条件有（ ）
A． B． C． D．
11．已知曲线C：，则下列结论正确的是（ ）
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径
C．若mn＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
12．已知数列中，，（），则下列结论正确的是（ ）
A．当时，数列为常数列
B．当时，数列单调递减
C．当时，数列单调递增
D．当时，数列为摆动数列
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．过点（1，0）作直线与交于A，B两点，若，则直线AB的倾斜角为 ．
14．设是数列的前n项和，且，，则 ．
15．设F1，F2是椭圆（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆上任一点，若∠F1PF2＝60°且
△F1PF2的面积为，则该椭圆的短轴长为 ．
16．设集合，若A中任意3个元素均不构成等差数列，则集合A中元素最多有 个．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）棱长为2的正四面体PABC中，设，，．M，N分别是棱AB，PC的
中点．
（1）用向量，，表示；
（2）求．
18．（12分）已知公差不为0的等差数列的首项，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，，是的前n项和，求使成立的最大的正整数n．
19．（12分）在三棱台ABC－A1B1C1中，A1B1＝1，AA1＝2，AB＝4，AA1⊥面ABC，AB1⊥A1C．
（1）求证：AB⊥BC；
（2）若BC＝4，求直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值．
20．（12分）已知椭圆：（）．
（1）若椭圆的焦距为6，求的值；
（2）设P（0，1），若椭圆上两点M，N满足，求点N横坐标取最大值时的值．
21．（12分）已知数列的前n项和为Sn，点（n，Sn）在函数的图象上．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，（i）求数列的前n项和Tn；（ii）求数列的前n项和Rn．
22．（12分）过点（－2，8）作直线l与双曲线C：交于A，B两点，P是双曲线C的左顶点，
直线PA，PB与y轴分别交于Q，R．
（1）求直线l斜率的取值范围；
（2）求证：线段QR的中点M为定点，并求出点M的坐标．高二数学试题
本试卷4页，满分150分。考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共8个题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1.空间直角坐标系中，已知A(-1,-3,2),AB=(2,0,4),则B点坐标是
A.(3,3,2)
B.(-3,-3,-2)
C.(1.-3,6
D.(-1,3,-6
【答案】选C
2.由点P(-1,4)向圆x2+y2-4x-6y+12=0引的切线长是
A.3
B.5
C.0
D.5
【答案】选A
3.己知等差数列{a}的公差为1，a。=8,则a4=
A.2021
B.2022
C.2023
D.2024
【答案】选B
4.抛物线y=2.x2的焦点坐标是
A.(0,)
B.(0,)
C.(0,)
D.@
【答案】选D.
5.已知椭圆二+发=1(a>b>0)的焦点为.飞，等轴双曲线了-=6的焦点为K,R,若四边形
FFFF是正方形，则该椭圆的离心率为
A月
B.
2
C.v6
3
D.
2
【答案】选C
6.己知正项等比数列{an}中，aa=
9
9
,4a=20,则a
A多
3
B.
c.
9
D.
【答案】选B.
7.三棱锥0-ABC中，点P∈面ABC,且OP=1OA+kOB-OC,则实数k=
A月
B月
C.1
【答案】选D.
8。已知0为坐标原点，双曲线三卡=a>06>0)的左焦点为F,右顶点为4，过点F向双曲线
的一条渐近线作垂线，垂足为P,且P=OA,直线AP与双曲线的左支交于点B,则∠PFB的大
小为
A.30
B.459
C.60°
D.75
【答案】选B.易知FP=b,于是a=b,故离心率e=√2，不妨设a=b=√2，则P#,F(-2,0,
A(N2,0),不难求得xg=2,于是BF⊥x轴，所以∠PFB=45°.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.若三条直线l:2x-y+1=0,1:x+y-1=0,I,:2x+ay+a-2=0有2个公共点，则实数a的值
可以为
A.-2
B.-1
C.1
D.2
【答案】选BD.
10.平面直角坐标系Oy中，己知A(-1,0),BL,0),则使得动点P的轨迹为圆的条件有
A.PA.PB=1
B.PA+PB=1 C.PA21 PBI
D.IPA+PB=3
【答案】选AC
11.己知曲线C:mx2+四2=1，则下列结论正确的是
A.若m>n>0,则C是椭圆，其焦点在y轴上
B.若m=n>0,则C是圆，其半径为疗
C.若mm<0,则C是双曲线，其渐近线方程为mx±少=0
D.若m=0,n>0,则C是两条直线
【答案】选ABD,
12.已知数列{an}中，a,=0,a1=元+a。-aneN),则下列结论正确的是
A.当2=0时，数列{a}为常数列
B。当2<0时，数列{a}单调递减
C.当0<2≤时，数列{a,}单调递增
D.当2>时，数列{a,}为摆动数列
4
【答案】选ABC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.过点(L,0)作直线与2=4x交于AB两点，若引AB=4,则直线AB的倾斜角为
【答案】90°.
14.设Sn是数列{a}的前n项和，且a,=-1,a1=SS1，则Sn=一·
【答案】-1
15.设R,E是椭圆
后+
=1a>b>0)的两个焦点，P为椭圆上任一点，若∠FP5=60且△FP5
的面积为255，则该椭圆的短轴长为一·
3
【答案】10.
16.设集合A1,2,3,…,14},若A中任意3个元素均不构成等差数列，则集合A中元素最多有个
【答案】8.设A={a,a,…a},若k≥9且{a}递增，由题意可知a-a,≥3，a-a≥3且
a-a≠as-a,故a-a≥7，同理a,-a≥7，又aa,aa,故有a-a≥15，矛盾.故k≤8，
取A=12,4,5,10,11,13,14满足条件.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.(10分)
棱长为2正四面体PABC中，设PA=a,PB=b,PC=c,M,N分别棱AB,PC的中点，
(1)用向量a,b,c表示MN:
(2)求MWI.
【解析】(1)M瓜-(-a-b+c(过程略)：
(5分)
(2)|MN=√互（过程略）.
(10分)
