湖南师大附中2014-2015学年高一（下）入学数学试卷　（解析版）

湖南师大附中2014-2015学年高一（下）入学数学试卷　
一、选择题（共7小题，每小题5分，满分35分）
1．已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（　　）
　 A． {0} B． {0，1} C． {0，2} D． {0，1，2}
考点： 交集及其运算．
专题： 集合．
分析： 解出集合A，再由交的定义求出两集合的交集．
解答： 解：∵A={x|x2﹣2x=0}={0，2}，B={0，1，2}，
∴A∩B={0，2}
故选C
点评： 本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．
　
2．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）
　 A． 若m∥α，n∥α，则m∥n B． 若m∥α，m∥β，则α∥β
　 C． 若m∥n，m⊥α，则n⊥α D． 若m∥α，α⊥β，则m⊥β
考点： 空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．
专题： 空间位置关系与距离．
分析： 用直线与平面平行的性质定理判断A的正误；用直线与平面平行的性质定理判断B的正误；用线面垂直的判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误．
解答： 解：A、m∥α，n∥α，则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确；
B、m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；
C、m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．
D、m∥α，α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正确；
故选C．
点评： 本题主要考查线线，线面，面面平行关系及垂直关系的转化，考查空间想象能力能力．
　
3．圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的位置关系为（　　）
　 A． 内切 B． 相交 C． 外切 D． 相离
考点： 圆与圆的位置关系及其判定．
专题： 直线与圆．
分析： 求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系．
解答： 解：圆（x+2）2+y2=4的圆心C1（﹣2，0），半径r=2．
圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=9的圆心C2（2，1），半径R=3，
两圆的圆心距d==，
R+r=5，R﹣r=1，
R+r＞d＞R﹣r，
所以两圆相交，
故选B．
点评： 本题考查圆与圆的位置关系及其判定的方法，关键是求圆心距和两圆的半径．
　
4．设，则a，b，c的大小关系是（　　）
　 A． a＞b＞c B． c＞a＞b C． a＜b＜c D． t=15
考点： 指数函数的单调性与特殊点；不等关系与不等式．
专题： 计算题．
分析： 直接利用指数函数的单调性判断a、b的大小，通过幂函数的单调性判断b、c的大小即可．
解答： 解：因为y=是减函数，所以，
幂函数y=是增函数，所以，
∴a＜b＜c．
故选：C．
点评： 本题考查指数函数的单调性幂函数的单调性的应用，考查的比较一般利用函数的单调性．
　
5．已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24，则正视图中a的值为（　　）
　 A． 8 B． 6 C． 4 D． 2
考点： 由三视图求面积、体积．
专题： 计算题．
分析： 几何体是一个四棱锥，底面是一个边长分别是a和3的矩形，一条侧棱与底面垂直，且这条侧棱的长是4，根据该几何体的体积是24，列出关于a的方程，解方程即可．
解答： 解：由三视图知几何体是一个四棱锥，
底面是一个边长分别是a和3的矩形，
一条侧棱与底面垂直，且这条侧棱的长是4，
根据该几何体的体积是24，
得到24=×a×3×4，
∴a=6，
故选B．
点评： 本题考查由三视图求几何体的体积，实际上不是求几何体的体积，而是根据体积的值和体积的计算公式，写出关于变量的方程，利用方程思想解决问题．
　
6．函数f（x）=的零点个数为（　　）
　 A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
考点： 根的存在性及根的个数判断．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 先判断函数的单调性，由于在定义域上两个增函数的和仍为增函数，故函数f（x）为单调增函数，而f（0）＜0，f（）＞0
由零点存在性定理可判断此函数仅有一个零点
解答： 解：函数f（x）的定义域为[0，+∞）
∵y=在定义域上为增函数，y=﹣在定义域上为增函数
∴函数f（x）=在定义域上为增函数
而f（0）=﹣1＜0，f（1）=＞0
故函数f（x）=的零点个数为1个
故选B
点评： 本题主要考查了函数零点的判断方法，零点存在性定理的意义和运用，函数单调性的判断和意义，属基础题
　
7．若函数f（x）=|x|（x﹣b）在[0，2]上是减函数，则实数b的取值范围是（　　）
　 A． （﹣∞，4] B． （﹣∞，2] C． [2，+∞） D． [4，+∞）
考点： 二次函数的性质．
专题： 计算题．
分析： 由题意函数f（x）=|x|（x﹣b）在[0，2]上的解析式可以变为f（x）=x2﹣bx，再由二次函数的性质结合函数f（x）=|x|（x﹣b）在[0，2]上是减函数即可得到关于参数b的不等式，解不等式得到参数的取值范围即可选出正确选项．
解答： 解：∵函数f（x）=|x|（x﹣b）在[0，2]上是减函数，
∴函数f（x）=x2﹣bx在[0，2]上是减函数，
∴，解得b≥4
故选D
点评： 本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，且能根据题设条件及二次函数的性质进行等价转化得到参数所满足的不等式．
　
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
8．函数f（x）=（x+a）（x﹣4）为偶函数，则实数a=　4　．
考点： 函数奇偶性的性质．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据偶函数f（x）的定义域为R，则?x∈R，都有f（﹣x）=f（x），建立等式，解之即可．
解答： 解：因为函数f（x）=（x+a）?（x﹣4）是偶函数，
所以?x∈R，都有f（﹣x）=f（x）．
所以?x∈R，都有（﹣x+a）?（﹣x﹣4）=（x+a）?（x﹣4）
即x2+（4﹣a）x﹣4a=x2+（a﹣4）x﹣4a
所以a=4．
故答案为：4
点评： 本题主要考查了函数奇偶性的性质，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．
　
9．已知4a=2，lgx=a，则x=　　．
考点： 对数的运算性质．
专题： 计算题．
分析： 化指数式为对数式求得a，代入lgx=a后由对数的运算性质求得x的值．
解答： 解：由4a=2，得，
再由lgx=a=，
得x=．
故答案为：．
点评： 本题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题．
　
10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为　　．
考点： 球内接多面体；球的体积和表面积．
专题： 空间位置关系与距离；立体几何．
分析： 设出正方体棱长，利用正方体的体对角线就是外接球的直径，通过球的体积求出正方体的棱长．
解答： 解：因为正方体的体对角线就是外接球的直径，
设正方体的棱长为a，所以正方体的体对角线长为：a，正方体的外接球的半径为：，
球的体积为：，
解得a=．
故答案为：．
点评： 本题考查正方体与外接球的关系，注意到正方体的体对角线就是球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力．
　
11．已知函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是　（0，1）∪（1，4）　．
考点： 根的存在性及根的个数判断．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 先化简函数的解析式，在同一个坐标系下画出函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象，结合图象，可得实数k的取值范围．
解答： 解：y===
函数y=kx﹣2的图象恒过点（0，﹣2）
在同一个坐标系下画出函数y=的图象与函数y=kx﹣2的图象
结合图象可实数k的取值范围是（0，1）∪（1，4）
故答案为：（0，1）∪（1，4）
点评： 本题主要考查了根的存在性及根的个数判断，同时考查了作图能力和分类讨论的数学思想，属于基础题．
　
三、解答题（共4小题，满分45分）
12．已知直线l：x﹣y+m=0绕其与x轴的交点逆时针旋转90°后过点（2，﹣3）
（1）求m的值；
（2）求经过点A（1，1）和B（2，﹣2），且圆心在直线l上的圆的方程．
考点： 圆的标准方程；待定系数法求直线方程．
专题： 直线与圆．
分析： （1）通过设直线l与x轴交点P（﹣m，0），利用旋转前后两直线垂直即斜率乘积为﹣1可得m=1；
（2）通过中点坐标公式可得线段AB的中点C（，﹣），利用斜率乘积为﹣1可得直线AB的中垂线的斜率为，进而可得直线AB的中垂线的方程为：x﹣3y﹣3=0，利用所求圆的圆心为直线AB的中垂线与直线l的交点，所求圆的半径为|EB|，计算即得结论．
解答： 解：（1）∵直线l：x﹣y+m=0，
∴kl=1，直线l与x轴交点为P（﹣m，0），
又∵直线l旋转后过点Q（2，﹣3），
∴kPQ=﹣1，即=﹣1，
解得m=1；
（2）∵m=1，
∴直线l方程为：x﹣y+1=0，
∵所求圆经过点A（1，1）、B（2，﹣2）且圆心在直线l上，
∴所求圆的圆心为直线AB的中垂线与直线l的交点，
记线段AB的中点为C（x，y），
则，
∴C点坐标为：C（，﹣），
∵kAB==﹣3，
∴直线AB的中垂线的斜率为，
又直线AB的中垂线过C（，﹣），
∴直线AB的中垂线的方程为：y+=（x﹣），
整理得：x﹣3y﹣3=0，
联立，
解得，
即圆心为E（﹣3，﹣2），
半径为|EB|=2+3=5，
∴所求圆的方程为：（x+3）2+（x+2）2=25．
点评： 本题是一道直线与圆的综合题，涉及斜率、中垂线、圆的方程等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．
　
13．如图，在Rt△AOB中，∠OAB=30°，斜边AB=4，Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B﹣AO﹣C的直二面角，D是AB的中点．
（1）求证：平面COD⊥平面AOB；
（2）求异面直线AO与CD所成角的正切值．
考点： 异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．
专题： 证明题；空间位置关系与距离；空间角．
分析： （1）证明平面COD中的直线CO⊥平面AOB即可；
（2）作出异面直线AO与CD所成的角，利用直角三角形的边角关系即可
求出异面直线AO与CD所成角的正切值．
解答： 解：（1）如图所示，
Rt△AOC是通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，
∴CO⊥AO，BO⊥AO；
又∵二面角B﹣AO﹣C是直二面角，
∴∠BOC是二面角B﹣AO﹣C的平面角，
即∠BOC=90°，
∴CO⊥BO；
又AO∩BO=O，
∴CO⊥平面AOB；
又∵CO?面COD，
∴平面COD⊥平面AOB；
（2）作DE⊥OB于点E，连接CE，
∴DE∥AO，
∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角；
在 Rt△COE中，CO=BO=AB=2，OE=BO=1，
∴CE==；
又DE=AO=，
∴tan∠CDE==，
即异面直线AO与CD所成角的正切值是．
点评： 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了直角三角形边角关系的应用问题，是综合性题目．
　
14．已知圆心为C的圆：x2+y2+2x﹣4y+m=0与直线2x+y﹣3=0相交于A、B两点
（1）若△ABC为正三角形，求m的值；
（2）是否存在常数m，使以AB为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
考点： 直线和圆的方程的应用．
专题： 直线与圆．
分析： （1）求得圆的圆心和半径，由正三角形的性质，可得C到AB的距离d=r，计算可得m的值；
（2）假设存在常数m，使以AB为直径的圆经过坐标原点．即有OA⊥OB，取AB的中点M，连接OM，CM，即有OM=AB=，由直线垂直的条件，由直线的交点可得M的坐标，运用两点的距离公式，解方程可得m，进而判断存在．
解答： 解：（1）圆：x2+y2+2x﹣4y+m=0的圆心C（﹣1，2），
半径为r=，
由△ABC为正三角形，可得C到AB的距离d=r，
即为=?，
解得m=；
（2）假设存在常数m，使以AB为直径的圆经过坐标原点．
即有OA⊥OB，取AB的中点M，连接OM，CM，
即有OM=AB=，
由CM⊥AB，可得CM的方程为y﹣2=（x+1），
联立直线2x+y﹣3=0，可得M（，），
即有=，
解得m=﹣．
则存在常数m=﹣，使以AB为直径的圆经过坐标原点．
点评： 本题考查直线和圆的位置关系，考查弦长公式和正三角形的性质，以及直角三角形的性质，属于中档题．
　
15．已知f（x）=ax2+bx+2，x∈R
（1）若b=1，且3?{y|y=f（x），x∈R}，求a的取值范围
（2）若a=1，且方程f（x）+|x2﹣1|=2在（0，2）上有两个解x1，x2，求b的取值范围，并证明2．
考点： 二次函数的性质．
专题： 函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
分析： （1）由3?{y|y=f（x），x∈R}，讨论a的取值，利用二次函数的最值，求出a的取值范围；
（2）把方程f（x）+|x2﹣1|=2在（0，2）上有两个解化为函数g（x）=x2+bx+|x2﹣1|在（0，2）上
有2个零点的问题，去掉绝对值，讨论函数的单调函数，求出g（x）在（0，2）上存在两个零点时
b的取值范围，得出所求证明．
解答： 解：（1）∵b=1时，f（x）=ax2+x+2，
又3?{y|y=f（x），x∈R}，
∴a＞0时，＞3，
解得a＜﹣，不合题意，舍去；
a=0时，也不合题意，应舍去；
a＜0时，＜3，
解得a＜﹣，
∴a的取值范围是{a|a＜﹣}；
（2）a=1时，方程f（x）+|x2﹣1|=2在（0，2）上有两个解x1，x2，
即x2+bx+|x2﹣1|=0在（0，2）上有两个解x1，x2；
由题意知b≠0，不妨设0＜x1＜x2＜2，
令g（x）=x2+bx+|x2﹣1|=；
因为g（x）在（0，1]上是单调函数，
所以g（x）=0在（0，1]上至多有一个解；
若x1，x2∈（1，2），即x1、x2就是2x2+bx﹣1=0的解，
则x1x2=﹣，这与题设矛盾；
因此，x1∈（0，1]，x2∈（1，2），
由g（x1）=0得b=﹣，所以b≤﹣1；
由g（x2）=0得b=﹣2x2，所以﹣＜b＜﹣1；
故当﹣＜b＜﹣1时，方程f（x）+|x2﹣1|=2在（0，2）上有两个解；
由b=﹣与b=﹣2x2，消去b，得+=2x2；
又x2∈（1，2），得2＜+＜4．
点评： 本题考查了二次函数的综合应用问题，构造函数，将绝对值符号去掉进行讨论是解决本题的关键．