一次函数的应用
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一，设计理念
根据基础教育课程改革的具体目标，改变课程过于注重知识传授的倾向，强调形成积极主动的学习态度，关注学生的学习兴趣和经验，实施开放式教学，让学生主动参与学习活动，并引导学生在课堂活动中感悟知识的存在、生成、发展与变化等原则的指导下，设计出以学生学习与发展为宗旨的教学设计，真正把新课程的三维目标落实到课堂教学中去，使我们的课堂变的更加生机勃勃、充满智慧的欢乐与创造的快意。
本课题的教学理念和教学方式是：
1、创设一种师生交往的互动的教学关系，即教师与学生之间是合作、平等、共同参与的关系。引导学生经历“做数学”的过程，并在这个过程中与学生平等的交流并给与恰到好处的点拨；不断创设将学生置于“问题情境”之中的机会，营造一个激励探索和理解的氛围；教师鼓励学生表达，并且在加深理解的基础上，对不同的答案开展讨论，引导学生分享彼此的思想和结果，并重新审视自己想法。
2、教学内容采用“创设问题情境——建立数学模型——解释、应用与拓展”的过程来进行。在教师创设的舞台灯光可以在很短的时间内将阳光灿烂的晴日变成浓云密布的阴天的问题情境下，激发学生兴趣，构建新旧知识的衔接，让学生投入自然解决问题的实际活动，全方位展示自己的思维。学生自觉运用函数建模思想去研究、探索，经历数学建模的过程，从而体会函数是现实世界的数学模型，初步体会数学建模的思想与方法，从而提高了数学的应用意识和应用数学知识解决实际问题的能力。
3、在本次教学中将课堂观察、口头提问、情感评价三种教学评价方式紧密地整合进教学活动，以便能够监控和调整教学。
二，教材分析
本节课从实际问题出发，安排了学生感兴趣的实际问题，这些问题的情境及讨论内容都有一定的层次，拓广了函数内容，使他们在观察和分析中丰富感性认识。教材注重利用图象联系学生熟悉的实际问题，进行探究性学习。在实践与探索内容的设置中，都采用给出情境，让学生动手尝试、交流、归纳的方式，鼓励他们通过观察、猜想、验证等探索过程，主动地获取知识，其中的“思考”、“联想”、“讨论”、“概括”等栏目起到了较好的引导作用。另外教材遵循以学生为主体的思想去拓展学生的发展空间，并注意留有较大的余地体现“让不同的人在数学上得到不同的发展”的新课程理念。
本节课的教学重点是：
①积极创设问题的情境和进一步探索的情境，并通过图形能准确获取函数相关信息，提高学生应用以有知识灵活处理实际问题的能力。
②强调学生的观察、动手，让学生有交流和表达自己意见的时间和空间，强化数学的建模思想。
本节课采用的教学手段是：运用多媒体教学。
三，学生分析
本节课内容是该章教学的难点，涉及的知识点较多，由于学生基础不同，学生的个体差异可能会比较突出，所以教学时尽量做到因地制宜，灵活施教。对于基础较好的学生，在更深一步探索性内容的教学中，适当提出较高的要求，引导学生自主探索、合作交流，在能力上得到进一步的提高。对于基础较差的学生，要注意鼓励他们主动参与学习活动，大胆发表自己的意见，尝试用自己的方法去解决问题。对学生由于相关知识的缺陷而导致的学习困难，如在通过图形准确获取函数相关信息、函数关系及变量与方程和不等式的联系问题，要注意给他们以必要的帮助，鼓励他们增强学习的信心。
四，教学目标
①通过实践与探索，让学生参与知识发现和形成的过程，进一步经历和体会数学学习中“问题的情境——建立模型——解释应用——回顾拓展”的过程，强化数学的应用与建模意识，提高分析问题和解决问题的能力。
②使学生体会本节课所体现的方程、函数，以及类比、化归、待定系数法等数学思想，提高学生的思维品质。
③通过本课的学习，使学生感受数学的价值，培养和提高学生在数学学习中的应用意识和能力。
五，教学流程
[第一步] 创设问题1的情境
1， 设置问题（演示如图）
问题：学校有一批复印任务，原来由甲复印社承接，按每100页40元计费。现乙复印社表示：若学校先按月付给一定数额的承包费，则可按每100页15元收费。两复印社每月收费情况如？
分析：对于(1)，引导学生从图象看出：“乙复印社的每月承包费”就是指当x＝0时，y的值，从而得出乙复印社的每月承包费是200元。对于(2)引导学生得出 “收费相同”在图象上反映出来就是指当x取相同的值时，y 相等，即两条射线的交点。我们看到，两个一次函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数的关系式。而两个一次函数的关系式就是方程组中的两个方程，所以交点的坐标就是方程组的解。据此，我们可以利用图象来求某些方程组的解，从而来解决问题。对于(3) 引导学生把问题归结为：如何在图象上看出函数值的大小？因此，可作一条x轴的垂线，如图3，此时x的值相同，它与哪一条射线的交点较高，就表示对应函数值较大，收费就较高；反之，它与另一条射线的交点较低，就表示对应函数值较小，收费就较低。从图中可以看出，如果每月复印页数在1200页左右，那么应选择乙复印社收费较低。
指出：“这是我们身边的数学问题，请同学们观察、思考、讨论，并交流自己的体会。”
2，引导：“在思考探索之前大家首先从图象上获取一些必要的信息”。
①观察图象确认：充分体现了包括两条坐标轴的第一象限中的两条相交射线。
②这两条射线能否反映出两复印社一个月的收费情况？（演示）
③你若是我校的负责人，联系上述问题，就学校的复印任务，谈谈自己的看法。
3，提出不同层次的问题，继续探索。
①指出：“请同学们开动脑筋，能否分别确定出甲、乙复印社每月收费情况的函数关系式？”
要求：互相交流，进行讨论用什么方法确定函数关系式，
并能由图中所收集的信息去寻求答案。
归纳：首先确定两个点的坐标，再由待定系数法得到结论。
②继续提出：“我们以通过图象解释了解到‘收费相同’情况， 现在通过函数关系式如何解释？”
要求：互相交流，进行讨论“用什么方法解决问题”。
归纳：首先了解一次函数关系式是二元一次方程，其次根据图象知道两个函数的交点处的横、纵坐 是相同的，所以此时自变量和对应的函数值同时满足两个函数关系式。最后只要联立成二元一次方程组，就能解得交点坐标。
（如图）
[第二步] 创设问题2的情境（演示如图）
1，指出：“大家从设置的
实际情境中，仔
细观察并收集必
要的信息，完成
有关问题的解答。
要求：让学生观察思考、
动手实践。并安排
好学生交流和表达
自己意见的时间。
2、 设置问题：
One①
Two②
Three③
说明： One①是实际问题中反映变量关系的一个判断题。
Two②是简述函数图象的相交问题。
Three③函数值大小比较的应用问题。
要求：首先，设置有梯度性的问题，通过观察、操作确认等探索过程，发展学生分析问题以及解决问题的能力。其次，教师用激励又充满启发的策略语言，将学生的思维引向深入，最好是将课堂气氛推向高潮。
注意：Three③问题是更深一步探索性内容，教学时可灵活处理。
（如图）
[第三步] 联想
1，指出：“如何利用一次函数的图象来解二元一次方程组呢？”
2，演示如图：
3，概括：解二元一次方程组除了代入消元法、加减消元法之外，
现在还可利用函数图象来解。
[第四步]课堂评价与小结（演示）
(1)你是否已掌握了如何从函数图象上获取必要的信息的方法？
（2）你能说一说函数及其图象、方程在探究现实生活中数量关系和它们之间的变化规律有什么相互联系和作用？
（3）你可能还有问题没有探索出结果或者没有弄懂，那么你准备……
[第五步]布置作业 课本P53 做一做， P54练习 1，2
六，课后反思
本课设计中强调学生主动参与，为学生提供从事数学探究活动的时间和空间。在教学过程中，涉及到了两个一次函数中函数值的变化趋势和大小比较，进而又与二元一次方程（组）联系，强化了数形结合思想的应用。着重强调的是给学生的观察和他们交流以及表达自己意见的时间。特别是讨论两个相同函数值的问题转化为对两个函数图象公共点的观察；对联系直角坐标系中找出点的坐标的方法；对用待定系数方法求得两个函数关系式并计算。都要给予引导、鼓励、肯定，并且给足学生自主探索、交流体会的时间，不要怕耽搁时间，也不要担心学生的总结和归纳会影响知识的完整、严密。本课所设置的问题的情境及讨论内容都有一定的层次，所以要求教师充分发挥自身的主动性和积极性，根据学生情况和教材内容进行不同程度的创造性教学。
2007年7月10日
一次函数的应用
教学设计
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根据基础教育课程改革的具体目标，改变课程过于注重知识传授的倾向，强调形成积极主动的学习态度，关注学生的学习兴趣和经验，实施开放式教学，让学生主动参与学习活动，并引导学生在课堂活动中感悟知识的存在、生成、发展与变化等原则的指导下，设计出以学生学习与发展为宗旨的教学设计，真正把新课程的三维目标落实到课堂教学中去，使我们的课堂变的更加生机勃勃、充满智慧的欢乐与创造的快意。
本课题的教学理念和教学方式是：
1、创设一种师生交往的互动的教学关系，即教师与学生之间是合作、平等、共同参与的关系。引导学生经历“做数学”的过程，并在这个过程中与学生平等的交流并给与恰到好处的点拨；不断创设将学生置于“问题情境”之中的机会，营造一个激励探索和理解的氛围；教师鼓励学生表达，并且在加深理解的基础上，对不同的答案开展讨论，引导学生分享彼此的思想和结果，并重新审视自己想法。
2、教学内容采用“创设问题情境——建立数学模型——解释、应用与拓展”的过程来进行。在教师创设的舞台灯光可以在很短的时间内将阳光灿烂的晴日变成浓云密布的阴天的问题情境下，激发学生兴趣，构建新旧知识的衔接，让学生投入自然解决问题的实际活动，全方位展示自己的思维。学生自觉运用函数建模思想去研究、探索，经历数学建模的过程，从而体会函数是现实世界的数学模型，初步体会数学建模的思想与方法，从而提高了数学的应用意识和应用数学知识解决实际问题的能力。
3、在本次教学中将课堂观察、口头提问、情感评价三种教学评价方式紧密地整合进教学活动，以便能够监控和调整教学。
二，教材分析
本节课从实际问题出发，安排了学生感兴趣的实际问题，这些问题的情境及讨论内容都有一定的层次，拓广了函数内容，使他们在观察和分析中丰富感性认识。教材注重利用图象联系学生熟悉的实际问题，进行探究性学习。在实践与探索内容的设置中，都采用给出情境，让学生动手尝试、交流、归纳的方式，鼓励他们通过观察、猜想、验证等探索过程，主动地获取知识，其中的“思考”、“联想”、“讨论”、“概括”等栏目起到了较好的引导作用。另外教材遵循以学生为主体的思想去拓展学生的发展空间，并注意留有较大的余地体现“让不同的人在数学上得到不同的发展”的新课程理念。
本节课的教学重点是：
①积极创设问题的情境和进一步探索的情境，并通过图形能准确获取函数相关信息，提高学生应用以有知识灵活处理实际问题的能力。
②强调学生的观察、动手，让学生有交流和表达自己意见的时间和空间，强化数学的建模思想。
本节课采用的教学手段是：运用多媒体教学。
三，学生分析
本节课内容是该章教学的难点，涉及的知识点较多，由于学生基础不同，学生的个体差异可能会比较突出，所以教学时尽量做到因地制宜，灵活施教。对于基础较好的学生，在更深一步探索性内容的教学中，适当提出较高的要求，引导学生自主探索、合作交流，在能力上得到进一步的提高。对于基础较差的学生，要注意鼓励他们主动参与学习活动，大胆发表自己的意见，尝试用自己的方法去解决问题。对学生由于相关知识的缺陷而导致的学习困难，如在通过图形准确获取函数相关信息、函数关系及变量与方程和不等式的联系问题，要注意给他们以必要的帮助，鼓励他们增强学习的信心。
四，教学目标
①通过实践与探索，让学生参与知识发现和形成的过程，进一步经历和体会数学学习中“问题的情境——建立模型——解释应用——回顾拓展”的过程，强化数学的应用与建模意识，提高分析问题和解决问题的能力。
②使学生体会本节课所体现的方程、函数，以及类比、化归、待定系数法等数学思想，提高学生的思维品质。
③通过本课的学习，使学生感受数学的价值，培养和提高学生在数学学习中的应用意识和能力。
五，教学流程
[第一步] 创设问题1的情境
1， 设置问题（演示如图）
问题：学校有一批复印任务，原来由甲复印社承接，按每100页40元计费。现乙复印社表示：若学校先按月付给一定数额的承包费，则可按每100页15元收费。两复印社每月收费情况如？
分析：对于(1)，引导学生从图象看出：“乙复印社的每月承包费”就是指当x＝0时，y的值，从而得出乙复印社的每月承包费是200元。对于(2)引导学生得出 “收费相同”在图象上反映出来就是指当x取相同的值时，y 相等，即两条射线的交点。我们看到，两个一次函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数的关系式。而两个一次函数的关系式就是方程组中的两个方程，所以交点的坐标就是方程组的解。据此，我们可以利用图象来求某些方程组的解，从而来解决问题。对于(3) 引导学生把问题归结为：如何在图象上看出函数值的大小？因此，可作一条x轴的垂线，如图3，此时x的值相同，它与哪一条射线的交点较高，就表示对应函数值较大，收费就较高；反之，它与另一条射线的交点较低，就表示对应函数值较小，收费就较低。从图中可以看出，如果每月复印页数在1200页左右，那么应选择乙复印社收费较低。
指出：“这是我们身边的数学问题，请同学们观察、思考、讨论，并交流自己的体会。”
2，引导：“在思考探索之前大家首先从图象上获取一些必要的信息”。
①观察图象确认：充分体现了包括两条坐标轴的第一象限中的两条相交射线。
②这两条射线能否反映出两复印社一个月的收费情况？（演示）
③你若是我校的负责人，联系上述问题，就学校的复印任务，谈谈自己的看法。
3，提出不同层次的问题，继续探索。
①指出：“请同学们开动脑筋，能否分别确定出甲、乙复印社每月收费情况的函数关系式？”
要求：互相交流，进行讨论用什么方法确定函数关系式，
并能由图中所收集的信息去寻求答案。
归纳：首先确定两个点的坐标，再由待定系数法得到结论。
②继续提出：“我们以通过图象解释了解到‘收费相同’情况， 现在通过函数关系式如何解释？”
要求：互相交流，进行讨论“用什么方法解决问题”。
归纳：首先了解一次函数关系式是二元一次方程，其次根据图象知道两个函数的交点处的横、纵坐 是相同的，所以此时自变量和对应的函数值同时满足两个函数关系式。最后只要联立成二元一次方程组，就能解得交点坐标。
（如图）
[第二步] 创设问题2的情境（演示如图）
1，指出：“大家从设置的
实际情境中，仔
细观察并收集必
要的信息，完成
有关问题的解答。
要求：让学生观察思考、
动手实践。并安排
好学生交流和表达
自己意见的时间。
2、 设置问题：
One①
Two②
Three③
说明： One①是实际问题中反映变量关系的一个判断题。
Two②是简述函数图象的相交问题。
Three③函数值大小比较的应用问题。
要求：首先，设置有梯度性的问题，通过观察、操作确认等探索过程，发展学生分析问题以及解决问题的能力。其次，教师用激励又充满启发的策略语言，将学生的思维引向深入，最好是将课堂气氛推向高潮。
注意：Three③问题是更深一步探索性内容，教学时可灵活处理。
（如图）
[第三步] 联想
1，指出：“如何利用一次函数的图象来解二元一次方程组呢？”
2，演示如图：
3，概括：解二元一次方程组除了代入消元法、加减消元法之外，
现在还可利用函数图象来解。
[第四步]课堂评价与小结（演示）
(1)你是否已掌握了如何从函数图象上获取必要的信息的方法？
（2）你能说一说函数及其图象、方程在探究现实生活中数量关系和它们之间的变化规律有什么相互联系和作用？
（3）你可能还有问题没有探索出结果或者没有弄懂，那么你准备……
[第五步]布置作业 课本P53 做一做， P54练习 1，2
六，课后反思
本课设计中强调学生主动参与，为学生提供从事数学探究活动的时间和空间。在教学过程中，涉及到了两个一次函数中函数值的变化趋势和大小比较，进而又与二元一次方程（组）联系，强化了数形结合思想的应用。着重强调的是给学生的观察和他们交流以及表达自己意见的时间。特别是讨论两个相同函数值的问题转化为对两个函数图象公共点的观察；对联系直角坐标系中找出点的坐标的方法；对用待定系数方法求得两个函数关系式并计算。都要给予引导、鼓励、肯定，并且给足学生自主探索、交流体会的时间，不要怕耽搁时间，也不要担心学生的总结和归纳会影响知识的完整、严密。本课所设置的问题的情境及讨论内容都有一定的层次，所以要求教师充分发挥自身的主动性和积极性，根据学生情况和教材内容进行不同程度的创造性教学。
2007年7月10日
一次函数的应用
教学设计
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