2023-2024学年广西玉林市高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年广西玉林市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.函数的定义域为( )
A. 且 B.
C. 且 D.
3.已知，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
4.若，且为第三象限角，则( )
A. B. C. D.
5.下列说法中正确的是( )
A. 若，且，则
B. 函数的图象是一条直线
C. 命题“，”的否定是“，”
D. 函数的最小值为
6.将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线，若关于轴对称，则的最小值是( )
A. B. C. D.
7.已知函数的值域为，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.年月日，第届中国哈尔滨国际冰雪节，在哈尔滨冰雪大世界园区开幕，现场流光溢彩，游客如湖，充满热情与活力该园区为了倡导绿色可循环的理念，配备了先进的污水、雨水过滤系统已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系为为最初污染物数量如果前个小时消除了的污染物，那么前个小时消除了污染物的( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列论述中，正确的有( )
A. 正切函数在定义域内是增函数
B. 若是第一象限角，则是第一或第三象限角
C. 锐角一定是第一象限的角
D. 圆心角为且半径为的扇形面积是
10.函数的图像如图所示图像与正半轴无限接近，但永远不相交，则下列说法正确的是( )
A. 函数的定义域为
B. 函数的值域为
C. 当时，有两个不同的值与之对应
D. 当，时，
11.如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心的圆与轴正半轴交于点已知点在圆上，点的坐标是，则下列说法中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. ，则 D. 若，则
12.已知函数，则下列选项中结论正确的是( )
A. 由可得是的整数倍
B. 函数为偶函数
C. 函数在为减函数
D. 函数在区间上有个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.计算： ______．
14.设函数，则 ______．
15.已知函数，，则的最小值为______．
16.若函数在其定义域内的给定区间上存在实数，满足，则称函数是区间上的“平均值函数”，是它的一个均值点设函数是区间上的“平均值函数”，是函数的一个均值点，则所有满足条件的实数对为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知与是三次函数的两个零点．
求，的值；
求不等式的解集．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，角以原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，其终边经过点求：
的值；
的值．
19.本小题分
已知函数且在区间上的最大值是．
求的值；
若函数的定义域为，求关于的不等式的解集．
20.本小题分
某专家研究高一学生上课注意力集中的情况，发现其注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数图象的一部分．专家认为，当注意力指数大于或等于时定义为听课效果最佳．
试求的函数关系式．
若不是听课效果最佳，建议老师多提问，增加学生活动环节，问在哪一个时间段建议老师多提问，增加学生活动环节？请说明理由．
21.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求的解析式；
将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知函数，．
解关于的不等式；
对恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意可得或，
则．
故选：．
先求出的补集，然后结合集合交集运算可求．
本题主要考查了集合补集及交集运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：要使原函数有意义，则：，解得，且，
原函数的定义域为：且．
故选：．
可看出，要使得原函数有意义，需满足，然后解出的范围即可．
本题考查了函数定义域的定义及求法，考查了计算能力，属于容易题．
3.【答案】
【解析】解：，
又，，
故．
故选：．
利用两角和的正切公式化简得，由，得最小，再利用幂函数与指数函数的单调性比较，即可．
本题考查对数值大小的比较，考查综合运算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，且为第三象限角，
故，，
则．
故选：．
由同角三角函数关系得到，利用正切二倍角公式计算出答案．
本题主要考查了同角基本关系及二倍角公式的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：对于，利用作差法可得，
由，且可得，所以，可知A错误．
对于，函数的图象是不连续的散点，并不是直线，故B错误．
对于，由含有一个量词命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”，故C正确．
对于，当时，，
则，当且仅当，即时等号成立，
显然等号取不到，所以D错误．
故选：．
由题意，利用作差法可得，即A错误；根据函数图象可知的图象是一系列的散点，即B错误；由含有一个量词命题的否定形式可知C正确；利用基本不等式可得等号不成立，所以D错误．
本题主要考查不等式、函数的性质，命题的否定，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：将的图像向左平移个单位长度后得到曲线，则的解析式为，
的图像关于轴对称，
，，
的最小值是，
故选：．
利用三角函数中的恒等变换应用可求得的解析式，再利用关于轴对称，即可求得的最小值．
本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查分段函数的应用，求函数的值域，属于中档题．
由题意，利用分段函数，根据函数的值域，求得实数的取值范围．
【解答】
解：当，，所以当时，．
因为的值域为，所以当时，，值域需包含，
所以，，解得，
故选：．
8.【答案】
【解析】解：依题意有，可得，
当时，，
因此，前个小时消除了污染物的．
故选：．
先通过前小时消除了的污染物求出，再令可求出答案．
本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：正切函数的单调递增区间为，在定义域内不单调，选项错误；
若是第一象限角，则，得，
为偶数时，是第一象限角；为奇数时，是第三象限角，选项正确；
锐角的范围是，一定是第一象限的角，选项正确；
圆心角为且半径为的扇形面积是，选项正确．
故选：．
由正切函数的单调性判断选项A；列不等式求的范围判断选项B；由象限角的定义判断选项C；求扇形面积验证选项D．
本题主要考查了正切函数的单调性，象限角的定义以及扇形的面积公式的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由图象可知，当，，
当，，
故的定义域为，故A选项错误．
的值域为，故B选项正确．
当时，通过图象可以发现，当时，有个不同的值与之对应，故C选项错误．
当时，函数为增函数，故D选项正确．
故选：．
通过图象观察函数的定义域，值域，单调性即可得出答案．
本题主要考查了通过图象确定函数的定义域，值域和单调性，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由于单位圆的半径为，根据弧长公式有，所以A正确．
由于是的一边与单位圆的交点，是对应的正弦值，即，所以是对应的余弦值，即，所以B错误．
当时，，，所以C错误．
反过来，当，即时，一定成立，所以D正确．
故选：．
根据弧长公式可判断的正误；
由正弦线余弦线的定义即可判断的正误；
当时，可知可判断的正误；
当时成立，故也一定满足，此时可判断的正误．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：
，
对选项，当，时，满足，
此时，选项错误；
对选项，为偶函数，选项正确；
对选项，，，
易得函数在上为减函数，选项正确；
对选项，，，
又在上有个零点，
在区间上有个零点，选项错误．
故选：．
先根据三角函数的倍角公式及辅助角公式化简的解析式，再根据三角函数的性质，对各个选项分析，即可求解．
本题考查三角函数的恒等变换，三角函数的性质，化归转化思想，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
根据指数和对数的运算公式进行求解．
本题主要考查了指数幂及对数的运算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题意，在中，
．
故答案为：．
根据函数表达式代入即可得出答案．
本题主要考查函数的值，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为，所以，
所以由余弦函数图象和性质可知，
所以的最小值为．
故答案为：．
由得到，再根据余弦函数图象和性质得到答案．
本题考查余弦函数的性质的应用，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由题意的，则，且，
由题意可知，
即，所以，
因为，所以，则，
又因为，且，则，
则当时，成立，
所以是满足条件的实数对．
故答案为：．
根据条件表示出，化简整理可得，结合的范围可求出的范围．
本题主要考查了函数的新定义问题，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题．
17.【答案】解：由函数的零点可得的两个根为、，则有，
解得．
由知，，代入不等式，
得，
解得．
故不等式的解集为
【解析】本题考查了函数的零点问题，一元二次不等式的解法，属于中档题．
根据题意，由函数的零点可得的两个根为、，则有，解可得、的值；
由的结论，代入，值，解一元二次不等式即可．
18.【答案】解：角以原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，其终边经过点，
．
由三角函数定义可得：，．
．
，
．
【解析】由已知利用任意角的三角函数的定义求得，的值，再由诱导公式求的值；
利用任意角的三角函数的定义求得，再由同角三角函数基本关系式化弦为切求解．
本题考查任意角的三角函数的定义，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
19.【答案】解：已知函数且在区间上的最大值是．
时，在区间上单调递减，时，在区间上单调递增，
则有或，解得或．
函数的定义域为，则恒成立，
有，由可知，
，即，得，
解得，即不等式的解集为．
【解析】分类讨论，利用函数单调性和最值，求的值；
由的定义域为，求的值，利用单调性解对数不等式．
本题主要考查函数的最值及其几何意义，属于中档题．
20.【答案】解：当时，
设，
将代入，得，解得，
所以当时，，
当时，将代入，得，解得，
所以当时，，
综上所述，．
当时，令，得，
当时，令，得，
所以在和这两个时间段建议老师多提问，增加学生活动环节．
【解析】根据图象，分别将点代入对应的函数，即可求解．
当时，令，解出，当时，令，解出，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，考查计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：设的最小正周期为．
由题图得，，
因为，
所以，解得，
所以，
将，即代入解析式得：，
结合图象可，，可得，，
又，
，
；
将的图象向右平移单位长度得到的图象，
再将图象上的所有点的横坐标伸长为原来的倍纵坐标不变，
得到函数的图象，
方程在上有两个不等实根，与的图象在上有两个不同的交点，
，可得，函数在上单调递减，在上单调递增，
且，，
，即的取值范围是
【解析】根据图象得到函数中的值以及最小正周期，利用周期公式可求的值，再代入特殊点的坐标求出的值，即可得到的解析式；
得到平移后的解析式，转化为与的图象在上有两个不同的交点，结合函数的单调性，且，，得到的取值范围．
本题主要考查了由的部分图象确定其解析式，函数的图象变换以及三角函数的性质的应用，考查了函数思想，属于中档题．
22.【答案】解：，定义域为，
又，故函数是奇函数；
又函数均为增函数，则为增函数，
则不等式，
即得，
故，
即，
故不等式的解集为；
因为，
所以，
不等式，
又，当且仅当时取等号，
即对恒成立，
令，
易知在上单调递减，
所以，
即的最大值为．
所以实数的取值范围为．
【解析】利用函数的奇偶性和单调性化简抽象不等式得出正弦型函数，再根据其图象求得解集；
利用巧妙替换，将题设不等式转化成的不等式，最后运用参数分离法求得参数的取值范围．
本题主要考查抽象不等式的求解和不等式恒成立问题，解决关键在于通过相关函数的奇偶性和单调性将其转化为具体不等式的求解，属于中档题．
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