2023-2024学年湖南省衡阳市耒阳市重点学校高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖南省衡阳市耒阳市重点学校高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.设集合，，则( )
A. B. C. D.
3.函数，的值域为( )
A. B. C. D.
4.若不等式的解集是，则的值是( )
A. B. C. D.
5.已知是定义在上的函数且，当时，，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则等于( )
A. B. C. D.
7.“不等式在上恒成立”的充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
8.若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各选项正确的是( )
A. 若，，当时，，则在上是增函数
B. 函数在上是增函数
C. 函数在定义域上不是增函数
D. 函数的单调递减区间为
10.若幂函数的图像经过点，则下列命题中，正确的有( )
A. 函数为奇函数 B. 函数为偶函数
C. 函数在为减函数 D. 函数在为增函数
11.下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
12.已知实数，满足等式，则下列关系式可能成立的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数的定义域是______．
14.函数的值域为，且在定义域内单调递减，则符合要求的函数可以为______写出符合条件的一个函数即可
15.函数且的图象恒过定点______．
16.函数的递增区间是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
求下列函数的值域．
，；
．
18.本小题分
若函数．
在给定的平面直角坐标系中画出函数图象；
利用图象写出函数的单调区间．
19.本小题分
已知指数函数在区间上的最大值比最小值大，
求实数的值．
，求的取值范围．
20.本小题分
已知函数，且．
求．
求函数在区间上的最大值和最小值．
21.本小题分
已知幂函数在上单调递增．
求函数的解析式；
设，为实常数，求在区间上的最小值．
22.本小题分
已知函数．
Ⅰ若是奇函数，求实数的值；
Ⅱ若，求在上的值域．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，，
所以．
故选：．
直接根据分数指数幂的运算法则即可得出所求的答案．
本题考查分数指数幂的运算，考查学生的数学运算能力，属简单题．
2.【答案】
【解析】解：集合，，
则．
故选：．
先求出集合，，再结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由，，故，
又，，所以函数在的值域为．
故选：．
根据二次函数的性质求值域即可．
本题主要考查了二次函数闭区间上最值求解，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为不等式的解集是，
所以和是方程的实数根，
由根与系数的关系知，，
解得，；
所以的值是．
故选：．
根据不等式的解集得出对应方程的实数根，利用根与系数的关系求出、的值．
本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为是定义在上的函数且，
当时，，则，
．
故选：．
由已知先求出，然后即可求解的值．
本题主要考查了函数的奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，
故函数的图象关于直线对称；
故
解得
故
故选D
由已知中函数的单调区间，可得函数的图象关于直线对称，由对称轴直线方程求出值后，代入可得的值．
本题考查的知识点是函数的单调性及应用，函数的值，其中根据函数的单调区间求出对称轴方程，进而确定函数的解析式是解答的关键．
7.【答案】
【解析】解：由不等式在上恒成立，可得，即．
选项A，，符合题意；
选项B，，不符题意；
选项C，集合与集合没有包含关系，不符题意；
选项D，，不符题意．
故选：．
由判别式小于，可得的取值范围，结合充分不必要条件的定义，考虑两个集合的关系，可得结论．
本题考查不等式恒成立问题解法，以及充分必要条件的判断，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：时，不等式可化为对任意实数均成立；
时，不等式对任意实数均成立，等价于，
．
综上知，实数的取值范围是．
故选：．
分类讨论，结合不等式对任意实数均成立，利用函数的图象，建立不等式，即可求出实数的取值范围．
本题考查恒成立问题，考查解不等式，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：中，没强调，是区间上的任意两个数，故不正确；
中，在时是增函数，在时是减函数，从而在整个定义域上不具有单调性，故不正确；
中，在整个定义域内不具有单调性，故正确；
D正确．
故选：．
根据增函数的定义即可判断选项A错误；根据二次函数的单调性即可判断选项B错误，D正确；根据反比例函数的单调性即可判断选项C正确．
本题考查了增函数的定义，二次函数和反比例函数的单调性，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为是幂函数，
所以设，
又的图像经过点，
所以，所以，即，
所以函数为偶函数，且在为减函数，故BC正确，AD错误．
故选：．
先根据幂函数图像经过点，求出函数解析式，然后利用幂函数的基本性质即可求解．
本题主要考查幂函数的概念与性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于选项，因为函数为上的增函数，则，对；
对于选项，因为函数为上的减函数，则，错；
对于选项，因为函数为上的增函数，函数为上的减函数，
所以，，对；
对于选项，因为函数为上的增函数，且，所以，，错．
故选：．
利用指数函数的单调性可判断选项；利用中间值法可判断选项；利用幂函数的单调性可判断选项．
本题主要考查函数的性质，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：画出与的图象，如下：
令，由图可得，B正确；
令，由图可得，C正确；
当，此时，D正确．
故选：．
画出函数图象，数形结合得到答案．
本题主要考查指数函数的图象与性质，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：要使函数有意义，则，
解得或，
即函数的定义域为
故答案为：
由分母不等于零；偶次方根被开方式非负可得关于的不等式组，即可求解．
本题主要考查函数的定义域的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：函数的值域为，且在定义域内单调递减，
函数即是符合要求的一个函数，
故答案为：．
由函数的值域为，且在定义域内单调递减，即是符合要求的一个函数．
本题主要考查了指数函数的单调性和值域，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：函数中，
令，解得，
当时，，
故函数的图象恒过定点．
故答案为：．
根据已知条件，结合指数函数的性质，即可求解．
本题主要考查指数函数的性质，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：函数
定义域为
的单调递增区间为：
在上单调递增．
根据复合函数的单调性的规律得出：函数的递增区间是：
故答案为：
化简得出函数，利用复合函数的单调性规律求解判断即可．
本题考查了指数函数的单调性，复合函数的单调性的规律，属于中档题，注意先判断函数的定义域．
17.【答案】解：为增函数，
当时，；
，
的值域为．
【解析】利用的单调性可求得答案；
由，可求得其值域．
本题考查函数的值域的求法，属于基础题．
18.【答案】解：函数
的图象如右图：
的增区间为，；
减区间为．
【解析】由分段函数的图象画法可得的图象；
由的图象写出的单调区间．
本题考查分段函数的图象和性质，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．
19.【答案】解：由于，所以在上单调递增，
所以，解得或舍去．
由得，则由，
得，，解得或．
的取值范围为．
【解析】根据已知条件列方程，由此求得的值．根据函数的单调性以及一元二次不等式的解法求得的取值范围．
本题考查指数函数的性质，考查指数不等式，属于基础题．
20.【答案】解：由题意得，，即；
由得，在上单调递增，
所以时，函数取得最小值，当时，函数取得最大值．
【解析】由代入可求；
结合对勾函数单调性即可求解函数的最值．
本题主要考查了对勾函数单调性在函数最值求解中的应用，属于基础题．
21.【答案】解：因为幂函数在上单调递增，
所以 ，故 ．
又因为 ，故，或，
所以 ．
由知 ，
若，即时，在上单调递增，
所以 ．
若，即 时，
在上单调递减，上单调递增，
所以 ．
若，即时，在上单调递减，
所以 ．
综上：时，在区间上的最小值为；
时，在区间上的最小值为；
时，在区间上的最小值为 ．
【解析】本题主要考查幂函数的定义，求二次函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
由条件可得，解得的范围再结合，求得的值，可得的解析式．
由知，再分若、若、若三种情况，分别利用二次函数的性质，求得
22.【答案】解：Ⅰ由题意，
，
，
；
Ⅱ，
，，
令，则，
令，，
设，则 ，
，
在上单调递减，
，即，
同理可证在上单调递增，
，即，
故函数的值域为
【解析】Ⅰ由已知结合奇函数的定义，即可求解；
Ⅱ由已知先求出，然后判断函数的单调性，结合单调性即可求解函数的值域．
本题主要考查了函数奇偶性及单调性的应用，属于中档题．
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