2023-2024学年河北省保定市高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年河北省保定市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.“”是“函数的图象关于原点中心对称”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知是角终边上一点，则( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.若为第二象限角，则( )
A. B. C. D.
7.有一组实验数据及对应散点图如下所示，则下列能体现这些数据的最佳函数模型是( )
A.
B.
C.
D.
8.对于函数，，设，，若存在，，使得，则称和互为“零点相邻函数”若函数与互为“零点相邻函数”，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则( )
A. B. C. D.
10.已知函数则下列命题正确的是( )
A. ，的值域为
B. ，的值域为
C. 若函数在上单调递减，则的取值范围为
D. 若在上单调递减，则的取值范围为
11.已知函数且，下列结论正确的是( )
A. 是偶函数
B. 的图象与直线一定没有交点
C. 若的图象与直线有个交点，则的取值范围是
D. 若的图象与直线交于，两点，则线段长度的取值范围是
12.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知幂函数的图象过点，则 ______．
14.已知函数的部分图象如图所示，则 ______．
15.已知且，当时，，则的取值范围为______．
16.已知，，均为正实数，若，则的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：
；
．
18.本小题分
已知奇函数满足当时，．
求的解析式；
求不等式的解集．
19.本小题分
已知函数．
求的最小正周期；
函数的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到，若在上有两个零点，求的取值范围．
20.本小题分
已知函数．
求的定义域；
判断的单调性，并说明理由；
若关于的方程有解，求的取值范围．
21.本小题分
如图，一个半径为米的筒车按逆时针每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为米设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为单位：米在水面下为负数，若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间单位：秒之间的关系为
求，，，的值；
分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为多少秒？
22.本小题分
已知函数．
求函数在上的最小值；
设函数，若对任意，总存在，使得成立，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：命题“，”的否定是：，．
故选：．
存在改任意，将结论取反，即可求解．
本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，而，
所以．
故选：．
求出集合，进而求出．
本题考查交集的运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，时，，
此时函数的图象关于原点中心对称，充分性成立；
反之，若的图象关于原点中心对称，
则，，不一定是，必要性不成立．
综上所述，“”是“函数的图象关于原点中心对称”的充分不必要条件．
故选：．
根据题意利用正切函数的图象与性质，结合充要条件的定义加以判断，即可得到本题的答案．
本题主要考查充要条件的定义与判断、正切函数的性质等知识，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意可知，，
故．
故选：．
根据已知条件，结合任意角的三角函数的定义，即可求解．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
即，
又因为，
所以．
故选：．
利用作差法可比较，的大小，利用对数函数的单调性可比较与的大小．
本题主要考查了对数的运算性质，考查了作差法比较大小，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：．
故选：．
直接利用三角函数的关系式的变换求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：对于选项A，由散点图可得，这些点显然不在一条直线上，所以模型不符合，
对于选项B，若选择作为与的函数模型，
将，代入，得，
解得，
则，
因为当时，；当时，；当时，，与表格中的实际值相同，
所以适合作为与的函数模型，
对于选项C，因为模型在处无意义，所以模型不符合，
对于选项D，由散点图可得，这些点有单调递增的趋势，且增势逐渐变缓，而指数型函数增长速度是越来越快的，
所以模型不符合．
故选：．
根据散点图，结合函数的单调性判断即可．
本题主要考查了函数模型的选择，考查了散点图的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为函数，所以令得：，即；
又因为，所以令得：，即或．
因为函数与互为“零点相邻函数”，
所以或，即或，
解得或，所以实数的取值范围为．
故选：．
分别求出函数与的零点，由新定义可得或，解出即可．
本题考查函数与方程，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：，
则，，
故，故A正确；
，所以，B正确．
时，与的大小不确定，C错误．
当时，错误．
故选：．
根据已知条件，结合不等式的性质，即可依次求解．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：当时，的值域为，当时，的值域不为，A正确，B错误；
若函数在上单调递减，则的取值范围为，C正确；
若在上单调递减，则的取值范围为，D错误．
故选：．
由已知结合二次函数及分段函数的值域及单调性依次判断各选项即可得出结果．
本题考查了二次函数、一次函数及分段函数的性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：定义域为，，所以是偶函数，A正确；
当时，在上单调递减，在上单调递增，，此时的图象与直线没有交点．
当时，在上单调递增，在上单调递减，，此时的图象与直线没有交点，故的图象与直线一定没有交点，B正确．
令，则，即若的图象与直线有个交点，则，解得，
所以的取值范围是，C正确．
由，解得，
所以，D错误．
故选：．
由已知结合函数的奇偶性及单调性检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数奇偶性的判断，还考查了函数的单调性在函数零点个数判断中的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由，，解得，所以的定义域为，
中，因为，
，
所以的图象关于直线对称，A正确；
中，因为，所以的图象不关于点对称，B错误；
中，当时，，
所以正确；
中，当时，，令，则，
所以函数，，
又因为函数在上单调递增，且在上恒成立，
所以在上单调递减，
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
由复合函数的单调性可得在上单调递增，在上单调递减，
所以正确．
故选：．
中，求出及的解析式，可得函数关于直线对称，判断出的真假；中，求出的解析式，可得，判断出的真假；中，求法的解析式，可判断出的真假；中，化简的解析式，换元，由复合函数的性质可得在给定区间的最大值，判断出的真假．
本题考查三角函数的性质的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：设幂函数，根据它的图象过点，
可得，所以，，则．
故答案为：．
由题意，利用幂函数的定义和性质，先求出幂函数的解析式，可得要求式子的值．
本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：根据题意，的周期满足：，
可得，结合，得．
因为当时，有最大值，
所以，得，即．
而，取可得．
故答案为：．
根据所给图象，利用三角函数周期公式算出，然后利用是函数的最大值，列式算出的值．
本题主要考查三角函数的周期性、正弦函数的图象与性质等知识，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：当时，
，，即．
当时，，故有恒成立．
当时，若成立，由于，
则，解得，所以．
综上，的取值范围为．
故答案为：．
由题意，分类讨论的范围，结合指数函数、对数函数的性质，不等式的性质，进一步求出的取值范围．
本题主要考查指数函数、对数函数的性质，不等式的性质，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：因为，，均为正实数，，
所以，
当且仅当，，，即，即，，时等号成立．
即的最小值为．
故答案为：．
将转化为，再由题意及“”的活用及基本不等式的性质可得结果．
本题考查“”的活用及基本不等式的性质的应用，属于基础题．
17.【答案】解：；
．
【解析】直接利用三角函数的关系式的变换求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的值的求法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
18.【答案】解：当时，，
因为是奇函数，
所以，，
所以；
在上单调递增．
因为是奇函数，且在上单调递增．
所以，
即，解得，
所以不等式的解集为．
【解析】根据奇函数的定义求解即可；
根据函数的单调性及奇偶性求解即可．
本题考查了函数的奇偶性、单调性及转化思想，属于基础题．
19.【答案】解：因为，
所以的最小正周期为；
由题意可得，
令，可得，令，
画出函数的图象，要使在上有两个不同的交点，则，
解得．
即的取值范围为．
【解析】由三角函数的恒等变换，可得函数的解析式，进而求出函数的最小正周期；
由函数的平行移动，可得的解析式，令可得，，画出的图象，由题意可得的范围．
本题考查数形结合的方法求函数值域，属于基础题．
20.【答案】解：因为，解得，
所以的定义域为．
．
因为函数在上单调递增，函数在上单调递减，
所以在上单调递减．
关于的方程有解在上有解，
在上有解在上有解．
因为，所以，当且仅当时，等号成立．
故的取值范围是．
【解析】由对数的真数大于零即可求解；
由复合函数的单调性即可求解；
利用基本不等式即可求解．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，复合函数的单调性，基本不等式，属于中档题．
21.【答案】解：由图可知，的最大值为，的最小值为，
则，，
因为筒车按逆时针每分钟转圈，所以，
所以；
当时，，所以，解得，
因为，所以；
由得，
令，则，解得，
所以，；
解得，；
分钟秒，令，；
得，所以分钟内，盛水筒在水面下的时间累计为秒．
【解析】根据的最大值与最小值，即可求出、，根据周期求出，利用时，求出；
写出函数解析式，利用求出的取值范围，再分钟内盛水筒在水面下的时间累计．
本题考查了三角函数的性质与应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
22.【答案】解：令，，．
令，则．
函数在上单调递增，上单调递减，．
当时，，当时，，，．
令，则函数在上单调递增，
当时，函数取得最小值．
在上的最小值为．
结合可知，当时，．
令，
则．
令，
对任意，总存在，使得成立，
对任意，总存在，使得成立．
则只需要求出即可，
在上单调递增，
．
由，解得．
当时，；当时，，
可看成关于的函数
则在上单调递减，在上单调递增，
，即，，
的取值范围是．
【解析】令，将问题转化为求二次函数在给定区间上求最值即可；
令，由对任意，总存在，使得成立可知，对任意，总存在，使得成立，只需要求出即可．
本题考查了利用函数的单调性求最值，利用不等式能成立求参数的取值范围，考查了转化思想，属难题．
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