2023-2024学年上海市静安区重点中学八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年上海市静安区重点中学八年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各函数中，是的正比例函数的是( )
A. B. C. D.
2.下列三角形中，非直角三角形的是( )
A. 三边分别为，， B. 有一边的中线等于这边的一半
C. 三个内角之比为：： D. 三边之比为
3.已知正比例函数与反比例函数的图象在同一坐标系内没有公共点，则与的关系一定是( )
A. 同号 B. 异号 C. 互为相反数 D. 互为倒数
4.如图，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，面积分别是，，，则它们之间的关系是( )
A. B. C. D.
5.如图，反比例函数，点是它在第二象限内的图象上一点，垂直轴于点，如果的面积为，那么的值是( )
A.
B.
C.
D.
6.如果一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
7.已知函数是正比例函数，则 ______．
8.若直线与直线平行，在轴上的截距为，则一次函数的解析式为______．
9.函数，则 ______．
10.如果直线不经过第二象限，那么实数的取值范围是______．
11.函数的图象，如图所示与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，若时，则的取值范围是______．
12.如图，，是、的垂直平分线的交点，那么 ______．
13.经过点，且半径等于的圆的圆心的轨迹是______．
14.等腰三角形的顶角为度，腰长为，则腰上的高为______．
15.如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行______米．
16.已知三角形的三边长为、、，则它的最小角为______度
17.一架长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底端，如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端将滑动了______
18.如图，在等边的三边上各取一点、、，且有，，，，则的周长为______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
直线过点且平行于．
求这条直线的解析式．
若点在这条直线上，为坐标原点，求的值．
20.本小题分
一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象相交于，两点，轴，垂足为，已知点的坐标为，求：
这个正、反比例函数的解析式．
的面积．
21.本小题分
如图所示，已知中，，的垂直平分线交于，交于，若，求的长．
22.本小题分
已知：如图是等边三角形，，分别在，上，且，，交于点，于求证：
≌；
．
23.本小题分
如图，点是一个反比例函数与正比例函数的图象的交点，垂直于轴，垂足的坐标为．
求这个反比例函数的解析式；
如果点在这个反比例函数的图象上，且的面积为，求点的坐标．
24.本小题分
某市为鼓励市民节约用水和加强对节水的管理，制定了以下每月每户用水的收费标准：
用水量不超过立方米时，每立方米收费元，并加收每立方米元的污水处理费；
用水量超过立方米时，在的基础上，超过立方米的部分，每立方米收费元，并加收每立方米元的污水处理费．
设某户一个月的用水量为立方米，应交水费元．
请分别对、两种情况，写出关于的函数关系式；指出函数的定义域．
若小李家月共支付水费元，求小李家月用水量．
25.本小题分
如图所示，点在函数图象的第一象限内的分支上．
求函数的解析式；
在轴上是否存在点，使为直角三角形？若存在，求点的坐标．
26.本小题分
如图，中，，，点是边的中点，点是边上的一个动点不与、重合，交于设，．
求证：．
写出关于的函数关系式，并写出的定义域．
写出为何值时，？
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、，是正比例函数，故A符合题意；
B、，是二次函数，故B不符合题意；
C、，是一次函数但不是正比例函数，故C不符合题意；
D、，是反比例函数，故D不符合题意；
故选：．
根据正比例函数的定义：形如为常数且的函数是正比例函数，逐一判断即可解答．
本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、，
该三角形是直角三角形，故选项A不符合题意；
B、三角形一边上的中线等于这边的一半，则三角形是直角三角形，故选项B不符合题意；
C、三个内角之比为：：，
设一个内角为，则另两个内角为、，
，
解得：，
，
该三角形是直角三角形，故选项C不符合题意；
D、三边之比为：：，
设三边分别为、、，
，
该三角形不是直角三角形，故选项D符合题意；
故选：．
由勾股定理的逆定理和直角三角形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了勾股定理的逆定理、直角三角形的判定以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理和直角三角形的判定方法是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：正比例函数与反比例函数的图象在同一坐标系内没有公共点，
无解，
，
，
当时，无实数解，
当、异号时，正比例函数与反比例函数的图象在同一坐标系内没有公共点．
故选：．
根据题意方程组无解，消去可得到，由于无实数解，所以与异号．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：把求反比例函数与一次函数的交点坐标问题转化为解两个函数关系式成成的方程组是解决问题的关键．
4.【答案】
【解析】解：设直角三角形的三边从小到大是，，．
则，，．
又，
则．
故选：．
根据等边三角形的性质，知等边三角形的面积等于其边长的平方的倍，结合勾股定理，知以直角三角形的两条直角边为边长的等边三角形的面积和等于以斜边为边长的等边三角形的面积．
本题主要考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理和等边三角形的面积公式．
5.【答案】
【解析】解：由题意，点是反比例函数的图象上一点，垂直轴于点，的面积为，
．
，
．
故选：．
依据题意，先根据的面积为可求出的值，再根据即可得出的值，故可得出反比例函数解析式．
本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
6.【答案】
【解析】解：如果一次函数的图象经过第一、三、四象限，
则，
解得．
故选：．
根据图象在坐标平面内的位置关系确定的取值范围，从而求解．
一次函数的图象是一条直线，该直线的位置和性质与系数，的关系如下：
时，随的增大而增大．这时，若，则直线经过一、二、三象限；若，则直线经过一、三、四象限；若，直线经过一、三象限和原点此为正比例函数的图象；
时，随的增大而减小．这时，若，则直线经过一、二、四象限；若，则直线经过二、三、四象限；若，直线经过二、四象限和原点此为正比例函数的图象．
7.【答案】
【解析】解：根据题意可得：，
解得：．
故答案为：．
根据正比例函数比例系数和指数的知识列出方程与不等式，即可求出的值．
本题主要考查了正比例函数的定义，难度不大，根据正比例函数系数不为零，自变量指数为列出方程组是解答的关键．
8.【答案】
【解析】解：直线与直线平行，
，
直线在轴上的截距为，
，
直线的函数关系式为：．
故答案为：．
由一次函数关系式中，的值相同的值不同时，函数图象为互相平行的直线，可知，由在轴上的截距为，得，即可求解．
本题考查了一次函数中两直线平行的问题，了解一次函数图象的位置与系数的关系是解题关键．
9.【答案】
【解析】解：将代入，
得，解得，
．
当时，．
故答案为：．
将代入，求出的值，从而求出函数的表达式；将代入这个函数，求出函数值即可．
本题考查函数值，理解函数的这种表示方法是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：已知直线不经过第二象限，
即函数在轴上的截距为非正数，即．
故答案为：．
由已知条件知，该函数为一次递增函数，且函数不过第二象限，故该函数在轴上的截距为非正数，即．
此题主要考查了一次函数图象与系数的关系，结合坐标系以及函数的图象理解函数的性质是解答本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：函数的图象，与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，
时，则的取值范围是．
故答案为：．
根据一次函数与不等式的关系即可得出答案．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数与不等式的关系是关键．
12.【答案】
【解析】解：是、的垂直平分线的交点，
点是的外心．
如图，连接．
则．
又，
．
，
故答案为：．
根据题意确定点是的外心，所以连接利用圆周角定理可知，然后等腰的性质和三角形内角和定理来求的度数即可．
本题考查了线段垂直平分线的性质．解答该题的技巧性在于利用线段垂直平分线的性质找到三角形外接圆的圆心，利用圆周角定理、三角形内角和定理将所求的角与已知角的数量关系联系起来．
13.【答案】以点为圆心，长为半径的圆
【解析】解：所求圆心的轨迹，就是到点的距离等于厘米的点的集合，因此应该是一个以点为圆心，为半径的圆，
故答案为：以点为圆心，为半径的圆．
求圆心的轨迹实际上是求距点厘米能画一个什么图形．
此题考查了轨迹，就是到顶点的距离等于定长的点的集合，因此应该是一个圆．
14.【答案】
【解析】解：如图，顶角为，
，
腰上的高．
故答案为：．
作出图形，根据邻补角的定义求出，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半解答．
本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．
15.【答案】
【解析】解：过点作于，连接．
在中，米，米．
根据勾股定理得米．
从题目中找出直角三角形并利用勾股定理解答．
注意作辅助线构造直角三角形，熟练运用勾股定理．
16.【答案】
【解析】解：，
此三角形是直角三角形，是斜边，
直角三角形的斜边等于一个直角边的一半，
它的最小角为．
故答案为：．
先根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，再由直角三角形的性质即可得出结论．
本题考查的是勾股定理的逆定理及直角三角形的性质，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：如图米，米，，求的长．
在中，
，，
，
，
，
，
，
，
．
即梯子底端将滑动了米．
根据题意画出图形，将问题转化为直角三角形问题利用勾股定理解答．
此题主要考查学生利用勾股定理角实际问题的能力，注意做题时要先弄清题意．
18.【答案】
【解析】解：是等边三角形，
，，
，，
，
，
，，
同理，
是等边三角形，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，，
，
的周长，
故答案为：．
根据等边三角形的性质推出是等边三角形，根据直角三角形的性质求出，利用证明≌，根据全等三角形的性质及勾股定理求出，据此求解即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】解：由题意得：，
直线过点，
，
，
；
在直线上，
，
．
【解析】由于平行于直线，所以所求直线的，又直线经过，代入即可求出直线的解析式；
由于点在这条直线上，直接把坐标代入中解析式即可求出的值．
本题主要考查了待定系数法确定一次函数的解析式，解答本题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的方法．
20.【答案】解：设正比例函数的解析式为，反比例函数解析式为，
把分别代入得，，
解得，
正比例函数的解析式为，反比例函数解析式为；
一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象相交于，两点，
点与点关于原点对称，
，
轴，垂足为，
，
的面积．
【解析】设正比例函数的解析式为，反比例函数解析式为，然后把点的坐标分别代入求出和即可；
利用正比例函数和反比例函数的性质得到点与点关于原点对称，则，然后根据三角形面积公式，利用的面积进行计算．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
21.【答案】解：连接，
是的垂直平分线，
，
，
设，则，
在中，，，
，
解得：，
，，
，
在中，．
【解析】首先连接，由是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得，又由，可设，则，然后由中，，，由勾股定理即可求得方程，解此方程即可求得的长，继而求得的长．
此题考查了线段垂直平分线的性质与勾股定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用是关键．
22.【答案】证明：是等边三角形，
，，
在和中，
，
≌；
≌，
，
，
，
，
，
．
【解析】根据等边三角形的性质得出，，利用即可证明≌；
根据全等三角形的性质及三角形外角性质求出，根据直角三角形的性质求出，再根据含角的直角三角形的性质求解即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，熟记全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质是解题的关键．
23.【答案】解：把代入得
，
设反比例函数解析式，
在此图象上，
，
反比例函数解析式为．
，，
，过作于．
则，
，
设，
则或，
当时，，
当时，，
或．
【解析】由，推出，利用待定系数法即可解决问题；
根据三角形的面积公式求出的长，分两种情形求出点的坐标即可．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是灵活运用待定系数法解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，所以中考常考题型．
24.【答案】解：情况：，即，
情况：，
即所求的函数解析式为；
小李家月共支付水费元，说明小李家月用水量已超过立方米，
则，
解得．
答：小李家月用水量为立方米．
【解析】由题意列出关于的函数解析式，根据限制条件写出函数定义域．
由交费可知说明该户用水量已超过立方米，把数值代入函数关系式．
本题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，根据得出水费应有两部分组成是解题关键．
25.【答案】解：将点的坐标代入函数表达式得：，
则函数的表达式为：；
设点，
由点、、的坐标得，，，，
当是斜边时，
则，
解得：舍去或，
即点；
当是斜边或斜边时，
同理可得：或，
解得：舍去或，
即点的坐标为：；
综上，点的坐标为：或．
【解析】将点的坐标代入函数表达式，即可求解；
当是斜边时，列出等式，即可求解；当是斜边或斜边时，同理可解．
本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到直角三角形的性质、函数表达式的求法，分类求解是解题的关键．
26.【答案】解：过作交于，交于．
，点是边的中点，
，，，，
，
，
，
，，
，
在与中，
，
≌，
；
≌，
，
，即，
是边上的一个动点不与、重合，
；
连接，当与重合时，，
此时，，
为的中位线，则，
故当时，．
【解析】过作交于，交于根据三角形中位线的性质可得，根据余角的性质可得，根据可证≌，根据全等三角形的性质即可证明；
根据全等三角形的性质可得，从而得到关于的函数关系式，以及的定义域；
连接，根据三角形中位线的性质可得为时，．
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，正确证明≌是关键．
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