2022-2023学年度第二学期第三阶段
七年级数学综合作业（北师大版）
第一部分（选择题）
一、选择题
1. 计算∶ （ ）
A. B. C. D.
2. 剪纸是我国国家级非物质文化遗产之一． 下列剪纸图案中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 若等腰三角形边长分别为和，则该等腰三角形的周长是（ ）
A. B. C. D. 或
4. 如图，一个三角形玻璃被摔成三小块，现要到玻璃店再配一块同样大小玻璃，最合理省事的方法是（ ）
A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①②去
5. 如图，，点 在 上，平分 ，若 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，是线段 的垂直平分线，若，则四边形的周长是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形，如果正方形和正方形的面积之和为，那么长方形的面积是 （ ）
A. B. C. D.
8. 如图，折线 描述了一辆新能源汽车在某一直线公路上的行驶过程中，汽车离出发地的距离 和行驶时间 之间的函数关系． 根据图中提供的信息，给出下列说法，其中正确的是（ ）
A. 汽车一共行驶了
B. 汽车出发后前3小时的平均速度为
C. 汽车在整个行驶过程中停留了2小时
D. 汽车出发后3小时至4.5小时之间的平均速度是
第二部分（非选择题）
二、填空题
9. 如图，与关于直线对称，已知，则的长度为______．
10. 人体中枢神经系统中约含有1千亿个神经元，某种神经元的直径约为55微米，55微米为0.000055米．将0.000055用科学记数法表示为_________________．
11. 如图，在 中，是 边上的高线，是 的平分线，则 的度数为_____________．
12. 如图，在 中，的平分线 交 于点 的平分线交 于点 ，作 于点 ，若 ，则 的长度为_____________．
13. 如图，在等腰三角形 与等腰三角形 中，，连接 交于点 ，则 的度数为_____________．
三、解答题
14 计算：
（1）
（2）
15. 如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，求这个直角三角形中这两个锐角的度数．
16. 如图，与相交于点 和 全等吗？为什么？
17. 先化简，再求值： ，其中 ．
18. 如图，周长为分别是边上的中线，的延长线交于点，且，求的长．
19. 放风筝是中国民间的传统游戏之一，风筝又称风琴，纸鹞，鹞子，纸鸢．如图1，小华制作了一个风筝，示意图如图2所示，，，他发现不仅平分，且平分，你觉得他的发现正确吗？请说明理由．
20. 如图，已知 ，利用尺规，作线段 的垂直平分线，交 于点 ．（不写作法，保留作图痕迹）
21. 如图，为了测量一个池塘宽度 ，童童在池塘的两边各取点 ，使得点 在同一条直线 上，然后在直线 的两侧分别取点 ，使得，测得 ，若，求池塘的长度．
22. 如图，在中，分别为的中线和高，为的角平分线．
（1）若，求的大小．
（2）若的面积为40，，求的长．
23. 如图，在 中，按以下步骤作图：①延长 到点 ；②以点 为圆心，适当长为半径作弧，交 于点 ，交 于点 ；③分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点；④作射线 ．
（1）由作图可知，射线 是 的 ，为什么？
（2）若 和 平行吗？为什么．
24. 如图，在等腰 中，平分 ，点 是边 上一点，连接 交 于点 是 的对称轴，分别交 于点 ．
（1）求 的度数；
（2）若 ，求 的长．
25. 如图，在 和 中，，连接交于点．
（1）如图，当点在同一条直线上，且时，可以得到图中的一对全等三角形，即 ；
（2）如图，当点不直线上时，且 ．
①和相等吗？为什么？
②求的度数．（用含 的代数式表示）
26. 已知，，点在直线上，为上一点，为上一点．
（1）如图，当点在线段上运动时，连接，求的值；
（2）如图，当点在的延长线上运动时，连接，求的值；
（3）如图，当点在的延长线上运动时，连接，求的值．2022-2023学年度第二学期第三阶段
七年级数学综合作业（北师大版）
第一部分（选择题）
一、选择题
1. 计算∶ （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的除法法则进行计算即可求解，掌握单项式除以单项式的除法法则是解题的关键．
【详解】解：，
故选：．
2. 剪纸是我国国家级非物质文化遗产之一． 下列剪纸图案中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】、是轴对称图形，故本选项符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
3. 若等腰三角形边长分别为和，则该等腰三角形的周长是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件和三角形三边关系可知；等腰三角形的腰长不可能为，只能为，然后即可求得等腰三角形的周长．
【详解】解：①为腰，为底时，；
②为底，为腰，
因为，不符合三角形的两边之和大于第三边，
所以应舍去．
故其周长是．
故选：C．
【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情况．已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
4. 如图，一个三角形玻璃被摔成三小块，现要到玻璃店再配一块同样大小的玻璃，最合理省事的方法是（ ）
A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①②去
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得最省事的方法是带一块，③这一块中保留了一条边还有两个角，可以根据三角形全等的判定方法得到一块完全一样的玻璃．
【详解】解：③这一块中保留了一条边还有两个角，可以根据定理得到一块完全一样的玻璃，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：、、、、．
5. 如图，，点 在 上，平分 ，若 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，由得到，由角平分线得到，再由即可得到，掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分 ，
∴，
∵，
∴，
故选：．
6. 如图，是线段 的垂直平分线，若，则四边形的周长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，根据四边形的周长公式计算即可．本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【详解】解：∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴四边形的周长，
故选：C
7. 如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形，如果正方形和正方形的面积之和为，那么长方形的面积是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，设，，由题意可得，，进而得到，利用完全平方公式得到，即可求解，掌握完全平方公式的应用是解题的关键．
【详解】解：设，，
由题意可得，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴长方形的面积是，
故选：．
8. 如图，折线 描述了一辆新能源汽车在某一直线公路上行驶过程中，汽车离出发地的距离 和行驶时间 之间的函数关系． 根据图中提供的信息，给出下列说法，其中正确的是（ ）
A. 汽车一共行驶了
B. 汽车出发后前3小时的平均速度为
C. 汽车在整个行驶过程中停留了2小时
D. 汽车出发后3小时至4.5小时之间的平均速度是
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了函数图象、速度，路程、时间三者关系，根据函数图象的纵横坐标的意义，结合图象的起点，折点，终点，进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：依题意，
∵一辆新能源汽车在某一直线公路上的行驶过程，汽车离出发地的距离 和行驶时间 之间的函数关系
∴汽车出发到距离起点的后再返回出发点，故汽车一共行驶了，故A选项是错误的；
∴汽车出发后前3小时的平均速度为，故B选项是错误的；
∴，汽车在整个行驶过程中停留了0.5小时，故C选项是错误的；
∴汽车出发后3小时至4.5小时之间的平均速度是，故D选项是正确的；
故选：D
第二部分（非选择题）
二、填空题
9. 如图，与关于直线对称，已知，则的长度为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的性质即可求解，掌握轴对称图形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵与关于直线对称，
∴，
故答案为：．
10. 人体中枢神经系统中约含有1千亿个神经元，某种神经元的直径约为55微米，55微米为0.000055米．将0.000055用科学记数法表示为_________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数：科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】解：依题意，将0.000055用科学记数法表示为
故答案为：
11. 如图，在 中，是 边上的高线，是 的平分线，则 的度数为_____________．
【答案】60°
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义，先求出，因为角平分线的定义得，结合高的定义，得，运用三角形的外角性质，即可作答．
【详解】解：∵
∴
∵是 的平分线，
∴
∵是 边上的高线，
∴
则．
故答案为：60°
12. 如图，在 中，平分线 交 于点 的平分线交 于点 ，作 于点 ，若 ，则 的长度为_____________．
【答案】3
【解析】
【分析】先根据等腰三角形的三线合一的性质等知识得，再利用角平分线的性质定理解决问题即可．本题考查角平分线的性质定理，等腰三角形的三线合一的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【详解】解：∵的平分线 交 于点
∴，
∵平分，且，
∴，
故答案为3．
13. 如图，在等腰三角形 与等腰三角形 中，，连接 交于点 ，则 的度数为_____________．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．已知等腰三角形 与等腰三角形 ，，，推出，进而证明，得出，根据，得出，进而得出，推出，得到，则．
【详解】解：在等腰三角形 与等腰三角形 ，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题
14. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了零指数幂以及负整数指数幂运算，积的乘方，单项式乘单项式等内容
（1）分别根据零指数幂以及负整数指数幂的法则，化简，再运算乘法，即可作答．
（2）先算积的乘方，再算单项式乘单项式，即可作答．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
15. 如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，求这个直角三角形中这两个锐角的度数．
【答案】这个直角三角形中这两个锐角的度数分别为18°和72°
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质可知，直角三角形中的两个锐角之和等于90°，根据两个锐角角度之间的关系可以列出方程式进行求解.
【详解】解：设较小的锐角是x度，则另一角是4x度．
则x+4x＝90，
解得：x＝18°．
答：这个直角三角形中这两个锐角的度数分别为18°和72°．
【点睛】设未知数时选择小的那个量作为未知数，可以避免分数的出现，避免解题出错.熟练掌握直角三角形的性质，便可以快速做出此题.
16. 如图，与相交于点 和 全等吗？什么？
【答案】全等，理由见详解
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形判定，根据条件以及对顶角相等，即可通过来证明和 全等，据此作答．
【详解】解：和 全等，理由如下
∵，
∴
17. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】，1
【解析】
【分析】本题考查了整式的乘除混合运算、平方差公式以及化简求值：先根据平方差公式算乘法、以及根据多项式乘多项式法则展开运算，再合并同类项，得，再把代入计算，即可作答．
【详解】解：
把代入上式
得
18. 如图，的周长为分别是边上的中线，的延长线交于点，且，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形的中线的定义和性质，三角形的周长，由分别是边上的中线，得到，，进而由周长为得到，根据三角形的三条中线相交于一点，得到是的中线，即可求出的长，掌握三角形的三条中线相交于一点是解题的关键．
【详解】解：∵分别是边上的中线，
∴，，
∵的周长为，
∴，
∴，
∵三角形的三条中线相交于一点，
∴是的中线，
∴，
∴的长为．
19. 放风筝是中国民间的传统游戏之一，风筝又称风琴，纸鹞，鹞子，纸鸢．如图1，小华制作了一个风筝，示意图如图2所示，，，他发现不仅平分，且平分，你觉得他的发现正确吗？请说明理由．
【答案】他的发现正确，理由见解析
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定和性质直接证明即可．
【详解】解：他的发现正确，理由如下：
在与中，
，
∴，
∴，，
∴不仅平分，且平分．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
20. 如图，已知 ，利用尺规，作线段 的垂直平分线，交 于点 ．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见详解
【解析】
【分析】本题考查了作图—垂直平分线，分别以点为圆心，大于长的一半为半径，画弧，连接该两个交点，与交于一点，即为点E，据此即可作答．
【详解】解：如图所示：
21. 如图，为了测量一个池塘的宽度 ，童童在池塘的两边各取点 ，使得点 在同一条直线 上，然后在直线 的两侧分别取点 ，使得，测得 ，若，求池塘的长度．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，由得到，即可由证明，得到，进而得到，再由线段的和差关系即可求解，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴池塘的长度为．
22. 如图，在中，分别为的中线和高，为的角平分线．
（1）若，求的大小．
（2）若的面积为40，，求的长．
【答案】（1）
（2）8
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形外角性质和三角形面积公式．本题的关键是充分应用三角形的角平分线、高和中线的定义．
（1）先利用三角形的外角性质计算出，再利用角平分线定义得到，然后根据高的定义和互余两角的性质求出的度数；
（2）先根据三角形中线定义得到，然后利用三角形面积公式求的长．
【小问1详解】
解：，
，
平分，
，
为高，
，
；
【小问2详解】
解：为中线，
，
，
．
23. 如图，在 中，按以下步骤作图：①延长 到点 ；②以点 为圆心，适当长为半径作弧，交 于点 ，交 于点 ；③分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点；④作射线 ．
（1）由作图可知，射线 是 的 ，为什么？
（2）若 和 平行吗？为什么．
【答案】（1）角平分线，理由见详解
（2）和 平行，理由见详解
【解析】
【分析】（1）连接，根据作图过程可得，即可证明，即可得出结果；
（2）根据，即可证明结论．
【小问1详解】
解：角平分线，理由如下：
如图，连接
由作图过程可得：
在和中，
，
∴，
∴，
∴平分，
故答案为：角平分线；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查基本作图 角平分线、角平分线的判定和性质、平行线的判定、全等三角形的判定和性质及三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的判定和性质是解题的关键．
24. 如图，在等腰 中，平分 ，点 是边 上一点，连接 交 于点 是 的对称轴，分别交 于点 ．
（1）求 的度数；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了对称轴的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）由对称轴的性质可得，垂直平分，由“”可证，可得结论；
（2）由（1）知，结合全等三角形的性质，得，即可作答．
【小问1详解】
证明：∵是 的对称轴，分别交 于点，
∴，垂直平分，
∵，
∵．
∴
∴，
∵平分．
∴．
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∴
即
【小问2详解】
解：由（1）知，
∴
25. 如图，在 和 中，，连接交于点．
（1）如图，当点在同一条直线上，且时，可以得到图中的一对全等三角形，即 ；
（2）如图，当点不在直线上时，且 ．
①和相等吗？为什么？
②求的度数．（用含 的代数式表示）
【答案】（1）；
（2），证明见解析；．
【解析】
【分析】（）利用证明即可求解；
（）同（）方法可证明，即可求证；
由全等三角形的性质可得，由三角形的内角和定理可求解；
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，对顶角的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：．
证明：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为．
26. 已知，，点在直线上，为上一点，为上一点．
（1）如图，当点在线段上运动时，连接，求的值；
（2）如图，当点在的延长线上运动时，连接，求的值；
（3）如图，当点在的延长线上运动时，连接，求的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（）过点作，得到，利用平行线的性质即可求解；
（）过点作，得到，利用平行线的性质即可求解；
（）过点作，得到，利用平行线的性质即可求解；
本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，根据图形，正确作出辅助线是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图所示，过点作，
∵，
∴，
∴， ，
∴；
【小问2详解】
解：如图所示，过点作，
∵，
∴，
∴， ，
∴；
【小问3详解】
解：如图所示，过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
