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第十七章《勾股定理》单元达标测试卷（解析版）
选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
如图，一次飓风灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，
那么这棵树折断之前的高度是（ ）
A．5米 B．6米 C．7米 D．8米
【答案】D
【分析】由题意得：在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
【详解】∵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，
∴折断的部分长为5，
∴折断前高度为5+3=8（米）．
故选：D．
2 . 在中，，，的对边分别记为，，，则由下列条件：
（1）；（2）；（3）；（4）
能判定为直角三角形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．
【详解】解：（1），，
，
，
为直角三角形；
（2），，
，
为直角三角形；
（3），
，
为直角三角形；
（4），
设，，（其中，
，
不是直角三角形，
故选：C
3 . 开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯.
如图，这是一段楼梯的侧面，它的高是3米，斜边是5米，
则该段楼梯铺上地毯至少需要的长度为（ ）
A．8米 B．7米 C．6米 D．5米
【答案】B
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，以及利用平移可知地毯的长为的和，解题的关键是能熟练掌握勾股定理以及数形结合的方法；
先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论．
【详解】解：是直角三角形，，
，
如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为，
故选：B．
如图，一圆柱高，底面半径为，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B处吃食物，
要爬行的最短路程（取3）是（ ）
A． B． C． D．28 cm
【答案】A
【分析】根据题意可把立体图形转化为平面图形进行求解，如图，然后根据勾股定理可进行求解．
【详解】解：如图，
∵圆柱高，底面半径为，
∴，
∴在Rt△ACB中，由勾股定理得，
∴蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B处吃食物，要爬行的最短路程为15cm；
故选A．
如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，
顶端距离地面米若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，
则小巷的宽度为（ ）
A．米 B．米 C．2米 D．米
【答案】A
【分析】先根据勾股定理求出梯子的长，进而根据勾股定理可得出小巷的宽度.
【详解】
由题意可得：，
在中，
，米，，
，
，
，
，
小巷的宽度为（米）.
故选.
6 . 如图：一个长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm的长方体盒子能容下的最长木棒长为（ ）
A．11cm B．12cm C．13cm D．14cm
【答案】C
【详解】解：∵侧面对角线BC2=32+42=52，
∴CB=5(cm)，
∵AC=12(cm)，
∴AB==13（cm），
∴空木箱能放的最大长度为13cm，
故选：C．
如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点C落在AB边上的点E处，AD是折痕，
则△BDE的周长为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．14
【答案】C
【分析】利用勾股定理求出AB=10，利用翻折不变性可得AE=AC=6，推出BE=4即可解决问题．
【详解】在Rt△ABC中，
∵AC=6，BC=8，∠C=90°，
∴AB10，
由翻折的性质可知：AE=AC=6，CD=DE，
∴BE=4，
∴△BDE的周长=DE+BD+BE=CD+BD+E=BC+BE=8+4=12．
故选：C．
8．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键．设绳索的长是，则，求出，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：设绳索的长是，则，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即绳索的长是，
故选：B．
如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，
该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，
在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图”，
其中，，，则阴影部分的面积是（ ）．
A．169 B．25 C．49 D．64
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
在中，先根据勾股定理求出的长，然后用大正方形的面积减去4个小三角形的面积即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：，，，
，
则阴影部分的面积是，
故选：C．
勾股定理与黄金分割并称为几何学中的两大瑰宝勾股定理的发现可以称为是数学史上的里程碑，
2000多年来，人们对它进行了大量的研究，至今已有几百种证法．
利用图形中有关面积的等量关系可以证明勾股定理，
利用如图①的直角三角形纸片拼成的②③④⑤四个图形中，可以证明勾股定理的图形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】利用面积与恒等式，②中矩形面积等于两个直角三角形面积之和，都为ab，无法证明勾股定理； ③中梯形面积等于两个直角边分别为a，b的直角三角形与一个直角边为c的等腰直角三角形面积之和；④中大正方形的面积等于4个小直角三角形面积与一个小正方形面积之和；⑤中大正方形的面积等于4个小直角三角形面积与一个小正方形面积之和，即可求解．
【详解】解：根据题意得：②中矩形面积等于两个直角三角形面积之和，都为ab，无法证明勾股定理；
③中梯形面积等于两个直角边分别为a，b的直角三角形与一个直角边为c的等腰直角三角形面积之和，即
，
整理得： ，可以证得勾股定理；
④中大正方形的面积等于4个小直角三角形面积与一个小正方形面积之和，即
，
整理得： ，可以证得勾股定理；
⑤中大正方形的面积等于4个小直角三角形面积与一个小正方形面积之和，即
，
整理得： ，可以证得勾股定理；
所以可以证明勾股定理的图形有③④⑤，共3个．
故选：C
填空题（本大题共有8个小题，每小题3分，共24分）
如图，某处有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，仅仅少走了 米．
【答案】4
【分析】利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∴，
∴仅仅少走了4米，
故答案为：4．
九章算术中有一道“引葭赴岸”问题：
“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深，葭长各几何？”题意是：
有一个池塘，其地面是边长为尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为尺，
如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的，示意图如图，
则水深为 尺
【答案】
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知的长为尺，则尺，设出尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．
【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则水深尺，
因为尺，所以尺，
在中，，
解之得，
即水深尺，芦苇长尺．
故答案为：．
13 . 如图，数轴上的点所表示的数为________
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴．利用勾股定理求得的长，再根据数形结合即可求解．
【详解】解：∵，
∴点所表示的数为．
故答案为：
14 . 如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面周长为30，如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的点，
沿圆柱表面爬到与相对的上底面点，则蚂蚁爬的最短路线长约为 ．
【答案】25
【分析】要求最短路线，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，再利用勾股定理即可求解．
【详解】解：将圆柱体侧面沿点所在直线展开，点A，B的最短距离为线段AB的长，
由上图可知：，，
∴为最短路径．
则蚂蚁爬的最短路线长约为25．
故答案为：25．
荡秋千(图1)是中国古代北方少数民族创造的一种运动． 有一天，赵彬在公园里游玩，
如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度 ，将它往前推送
(水平距离 )时，秋千的踏板离地的垂直高度，
秋千的绳索始终拉得很直，则绳索的长度是_______．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设绳索的长度为，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．由勾股定理得出方程是解题的关键．
【详解】解：由题意得：，
在中，由勾股定理得：，
设绳索的长度为，则，
∴，
解得：，
答：绳索的长度是．
如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，
两弧相交于点M和N，②作直线交边于点E，若，，则 ．
【答案】7
【分析】本题考查中垂线的性质，勾股定理．连接，得到，进而得到，推出，勾股定理求出的长，再用进行求解即可．
【详解】解：连接，由作图可知：垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：7．
如图，在中，，且周长为，点从点开始，
沿边向点以每秒的速度移动；点从点开始，沿边向点以每秒的速度移动．
若同时出发，则过秒时，的面积为 ．
【答案】18
【分析】首先设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，利用方程求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形．再求出3秒后的，BP，BQ的长，利用三角形的面积公式计算求解．
【详解】解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm，
∵周长为36cm，
则AB+BC+AC＝36cm，
∴3x+4x+5x＝36，
解得x＝3，
∴AB＝9cm，BC＝12cm，AC＝15cm，
∵AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
过3秒时，BP＝9﹣3×1＝6（cm），BQ＝2×3＝6（cm），
∴S△PBQ＝BP BQ＝×（9﹣3）×6＝18（cm2）．
故答案为：18．
如图，在中，，点D为边上一点，将沿翻折得到，
若点在边上，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．由勾股定理求出，由折叠的性质得出，，得出，设则在中，由勾股定理得出方程，可求长，由勾股定理可求的长．
【详解】解：由折叠可知：，，
在中，由勾股定理得：
∴
设则
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共有6个小题，共46分）
19．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，，，，，求四边形的面积．
【答案】36
【分析】连接，首先根据勾股定理求出，然后根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，最后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：连接，在中，
∵∠B=90°，，，
∴，
，
在中， ∵，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴．
∴四边形的面积．
20 . 如图，小丽发现，秋千静止时踏板离地面的垂直高度，将它往前推送至点B，
测得秋千的踏板离地面的垂直高度，此时水平距离，
秋千的绳索始终拉的很直，求绳索的长度．
【答案】3m
【分析】设绳索的长度为，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：设秋千的绳索长为，则为，
∵四边形是矩形，
，
，
则为
在中，由勾股定理得：
，即：
解得：
绳索的长度为3m．
21 .如图，在5×5的方格纸中，每一个小正方形的边长都为1．
（1）∠BCD是不是直角？请说明理由．
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）∠BCD=90°，理由见解析；（2）14.5．
【分析】（1）连接BD，由于每一个小正方形的边长都为1，根据勾股定理可分别求出△BCD的三边长，根据勾股定理的逆定理即可判断出△BCD的形状；
（2）.
【详解】解：（1）∠BCD是直角，理由如下：连接BD，
∵BC==2，CD==，BD==5，
∴BC2+CD2=BD2
∴△BCD为直角，
（2）S四边形ABCD=S正方形AHEJ-S△BCE-S△ABH-S△ADI-S△DCF-S正方形DFJI，
所以S四边形ABCD=5×5-×4×2-×2×1-1×1-×4×1-×5×1，
=25-4-1-1-2-=．
22．一架云梯长25米，如图，靠在一面墙上，梯子底端离墙7米．
(1)这个梯子的顶端距离地面有多高
(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米
【答案】(1)这个梯子的顶端距离地面有24米高
(2)梯子的底端在水平方向滑动了8米
【分析】本题考查勾股定理的实际应用．
（1）在中，直接利用勾股定理进行求解即可；
（2）在中，利用勾股定理求出的长，用的长减去的长，求解即可；
掌握勾股定理，是解题的关键．
【详解】（1）解：在中，，，
∴；
答：这个梯子的顶端距离地面有24米高；
（2）∵，
在中，，
∴，
∴．
答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．
23 .如图，在矩形中，，，为边上的一点，，动点从点出发，
以每秒1个单位的速度沿着边向终点运动，连接．设点运动的时间为秒．
（1）求的长；
（2）当为多少秒时，是直角三角形？
【答案】（1）5；（2）当t=7或秒时，△BPE为直角三角形．
【分析】（1）根据勾股定理计算即可；
（2）分∠BPE＝90°、∠BEP＝90°两种情况，根据勾股定理计算．
【详解】解：（1）由题意知，CD=AB=10，DE=7，BC=4
CE=CD-DE=10﹣7=3，
在Rt△CBE中，BE=；
（2）①当以P为直角顶点时，即∠BPE=90°，
AP=10﹣3=7，则t=7÷1=7（秒），
②当以E为直角顶点时，即∠BEP=90°，由勾股定理得
BE2+PE2=BP2，
设AP=t，
，
即52+42+（7﹣t）2=（10﹣t）2，
解得，t=，
当t=7或秒时，△BPE为直角三角形．
24．课本再现
如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
方法探究
对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，
依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，
点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是______．
方法应用
（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．求彩条的最短长度．
如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为，高为，杯底厚．
在玻璃杯外壁距杯口的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜，
蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计）
【答案】（1）15；（2）（3）
【分析】本题考查勾股定理、几何体的展开图．
根据题意得出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，
求出，，根据勾股定理求出即可．
根据绕两圈到B，则展开后相当于求出的斜边长，并且，
根据勾股定理求出即可．
（3）将杯子侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．
【详解】解：（1）根据题意得出：蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，
由题意得：.
在中，由勾股定理得：，
所以，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是
故答案为：15．
（2）如图所示，
∵从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，
∴展开后
由勾股定理得：，
所以彩条的最短长度是．
（3）展开玻璃杯的侧面，如图，
作点A关于的对称点，连接，作于点C，则
，，，．
在中，，
所以蚂蚁爬行的最短路径长为．
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第十七章《勾股定理》单元达标测试卷
选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分）
如图，一次飓风灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，
那么这棵树折断之前的高度是（ ）
A．5米 B．6米 C．7米 D．8米
2 . 在中，，，的对边分别记为，，，则由下列条件：
（1）；（2）；（3）；（4）
能判定为直角三角形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3 . 开学之际，为了欢迎同学们，学校打算在主楼前的楼梯上铺地毯.
如图，这是一段楼梯的侧面，它的高是3米，斜边是5米，
则该段楼梯铺上地毯至少需要的长度为（ ）
A．8米 B．7米 C．6米 D．5米
如图，一圆柱高，底面半径为，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B处吃食物，
要爬行的最短路程（取3）是（ ）
A． B． C． D．28 cm
如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，
顶端距离地面米若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，
则小巷的宽度为（ ）
A．米 B．米 C．2米 D．米
6 . 如图：一个长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm的长方体盒子能容下的最长木棒长为（ ）
A．11cm B．12cm C．13cm D．14cm
如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点C落在AB边上的点E处，AD是折痕，
则△BDE的周长为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．14
8．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A． B． C． D．
如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，
该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，
在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图”，
其中，，，则阴影部分的面积是（ ）．
A．169 B．25 C．49 D．64
勾股定理与黄金分割并称为几何学中的两大瑰宝勾股定理的发现可以称为是数学史上的里程碑，
2000多年来，人们对它进行了大量的研究，至今已有几百种证法．
利用图形中有关面积的等量关系可以证明勾股定理，
利用如图①的直角三角形纸片拼成的②③④⑤四个图形中，可以证明勾股定理的图形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
填空题（本大题共有8个小题，每小题3分，共24分）
如图，某处有一块长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，仅仅少走了 米．
九章算术中有一道“引葭赴岸”问题：
“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深，葭长各几何？”题意是：
有一个池塘，其地面是边长为尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为尺，
如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的，示意图如图，
则水深为 尺
13 . 如图，数轴上的点所表示的数为________
14 . 如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面周长为30，如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的点，
沿圆柱表面爬到与相对的上底面点，则蚂蚁爬的最短路线长约为 ．
荡秋千(图1)是中国古代北方少数民族创造的一种运动． 有一天，赵彬在公园里游玩，
如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度 ，将它往前推送
(水平距离 )时，秋千的踏板离地的垂直高度，
秋千的绳索始终拉得很直，则绳索的长度是_______．
如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，
两弧相交于点M和N，②作直线交边于点E，若，，则 ．
如图，在中，，且周长为，点从点开始，
沿边向点以每秒的速度移动；点从点开始，沿边向点以每秒的速度移动．
若同时出发，则过秒时，的面积为 ．
如图，在中，，点D为边上一点，将沿翻折得到，
若点在边上，，则的长为 ．
三、解答题（本大题共有6个小题，共46分）
19．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，，，，，求四边形的面积．
20 . 如图，小丽发现，秋千静止时踏板离地面的垂直高度，将它往前推送至点B，
测得秋千的踏板离地面的垂直高度，此时水平距离，
秋千的绳索始终拉的很直，求绳索的长度．
21 .如图，在5×5的方格纸中，每一个小正方形的边长都为1．
（1）∠BCD是不是直角？请说明理由．
（2）求四边形ABCD的面积．
22．一架云梯长25米，如图，靠在一面墙上，梯子底端离墙7米．
(1)这个梯子的顶端距离地面有多高
(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米
23 .如图，在矩形中，，，为边上的一点，，动点从点出发，
以每秒1个单位的速度沿着边向终点运动，连接．设点运动的时间为秒．
（1）求的长；
（2）当为多少秒时，是直角三角形？
24．课本再现
如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
方法探究
对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，
依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，
点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是______．
方法应用
（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．求彩条的最短长度．
如图4，圆柱形玻璃杯底面周长为，高为，杯底厚．
在玻璃杯外壁距杯口的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁相对面的内壁底部B处有一滴蜂蜜，
蚂蚁沿杯口爬入内壁去吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短路径长．（玻璃杯的壁厚忽略不计）
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