湖南省株洲市第二中学2023-2024学年高二上学期期末数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 湖南省株洲市第二中学2023-2024学年高二上学期期末数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 772.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-02-21 10:19:18 | ||
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文档简介
2023-2024学年上学期高二数学第一学期期末试卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意）
1.已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.6
2.已知等差数列中，，，则数列的公差为（ ）
A.4 B.3 C.1 D.-1
3.过点且与直线垂直的直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
4.过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则（ ）
A. B. C.6 D.
5.在正四棱锥中，，，E为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
6.已知平行六面体中，，，，则（ ）
A. B. C. D.
7.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（ ）
A.440 B.330 C.220 D.110
8.已知椭圆：的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若，点满足，且，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，每题5分，共20分，每小题有多个选项符合题意，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.已知曲线：，则（ ）
A.关于原点对称 B.关于轴对称
C.关于直线对称 D.为的一个顶点
10.设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C.的最大值为 D.的最大值为
11.已知O为坐标原点，过抛物线C：焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，直线交C于另一点N，若，则（ ）
A.直线的斜率为 B.
C. D.直线的斜率为定值
12.直四棱柱的所有棱长都为2，，点在四边形及其内部运动，且满足，则下列选项正确的是（ ）
A.点的轨迹的长度为
B.直线与平面所成的角为定值
C.点到平面的距离的最小值为
D.的最小值为-2
三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13.直线：经过的定点坐标为__________.
14.已知等差数列的前项和为，且，，则__________.
15.设，分别是椭圆的左、右焦点，若点在椭圆上，且，则__________.
16.点在所在的平面外，且，，，当到平面的距离最大时，的面积为__________.
四、解答题（本大题共6小题，共70分，17题为10分，18-22每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.已知正项等比数列，若，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18.的顶点是，，.
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）求过点A，B，C的圆方程.
19.如图，在正四棱柱中，，，、分别为和的中点.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20.如图，四边形为矩形，，且二面角为直二面角.
（1）求证：平面平面；
（2）设是的中点，，，二面角的平面角的大小为，当时，求的取值范围.
21.已知正项数列前项和为，满足，数列满足，记数列的前项和为，
（1）求数列的通项公式；
（2）求满足不等式的正整数的最大值.
22.已知为抛物线：的焦点，点在上，且满足.
（1）求点的坐标及的方程；
（2）设过点的直线与相交于，两点，且不过点，若直线，分别交的准线于，两点，证明：以线段为直径的圆恒过定点.
参考答案
多选题ABCD BBAB
多选题ACD AD AD ABD
填空题
13. 14.3 15.6 16.
解答题
17.（1）解：设正项等比数列的公比为，
由，可得，所以，
又由，可得，解得，可得，
所以，即的通项公式.
（2）解：由，可得，所以，
且，
故数列是以1为首项，为公比的等比数列，
所以.
18.（1）直线的斜率为，故边上的高所在直线的斜率为-1，
故边上的高所在直线的方程为，即；
（2）设圆的方程为，
将，，代入得
，解得，
故圆的方程为.
19.（1）证明：在正四棱柱中，以点为坐标原点，
、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为，，则、、、，
所以，.
因为，所以，即.
（2）解：由，得，设平面的法向量，
则，令，得，，即.
设直线与平面所成角的大小为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
20.（1）因二面角为直二面角，即平面平面，又，
平面平面，平面，则平面，
又平面，即得，
四边形为矩形，，则，即，
，平面，于是平面，平面，
所以平面平面；
（2）过作平面，由（1）知平面，平面，故，
以为原点，射线，，分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，
∵，，则，，，，
，，，，
设平面的法向量为，则，即，
则，
设平面的法向量为，则，即，
则，
由图可知二面角为锐二面角，
从而有，
而，则，，
所以.
21.（1）由，①
当时，，解得（舍去），
当时，，②
由①-②得，即，
因为，所以，
当时，由，得，矛盾，
所以，即，
所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以；
（2）由（1）得，
所以
，
，
由，得，
即，即，
令，
则
，
当时，，所以数列从第3项起是递减数列，
又，，，，
所以满足不等式的正整数的最大值为6.
22.（1）设点，点，则有，
则，
因为点在上，故，
解得：或（舍），即，
所以点的坐标为，方程为.
（2）由对称性可知：以线段为直径的圆所过定点在轴上.
设直线的方程为，代入，得
设点，，则，，
因为，所以，
直线的方程为，
令，得，所以点
同理，点，
设以线段为直径的圆与轴的交点为，
则，
因为，则，
即，
则，
解得：或，
故以线段为直径的圆所过定点为和.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意）
1.已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.6
2.已知等差数列中，，，则数列的公差为（ ）
A.4 B.3 C.1 D.-1
3.过点且与直线垂直的直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
4.过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则（ ）
A. B. C.6 D.
5.在正四棱锥中，，，E为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
6.已知平行六面体中，，，，则（ ）
A. B. C. D.
7.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（ ）
A.440 B.330 C.220 D.110
8.已知椭圆：的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若，点满足，且，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，每题5分，共20分，每小题有多个选项符合题意，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.已知曲线：，则（ ）
A.关于原点对称 B.关于轴对称
C.关于直线对称 D.为的一个顶点
10.设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C.的最大值为 D.的最大值为
11.已知O为坐标原点，过抛物线C：焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，直线交C于另一点N，若，则（ ）
A.直线的斜率为 B.
C. D.直线的斜率为定值
12.直四棱柱的所有棱长都为2，，点在四边形及其内部运动，且满足，则下列选项正确的是（ ）
A.点的轨迹的长度为
B.直线与平面所成的角为定值
C.点到平面的距离的最小值为
D.的最小值为-2
三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13.直线：经过的定点坐标为__________.
14.已知等差数列的前项和为，且，，则__________.
15.设，分别是椭圆的左、右焦点，若点在椭圆上，且，则__________.
16.点在所在的平面外，且，，，当到平面的距离最大时，的面积为__________.
四、解答题（本大题共6小题，共70分，17题为10分，18-22每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.已知正项等比数列，若，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18.的顶点是，，.
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）求过点A，B，C的圆方程.
19.如图，在正四棱柱中，，，、分别为和的中点.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20.如图，四边形为矩形，，且二面角为直二面角.
（1）求证：平面平面；
（2）设是的中点，，，二面角的平面角的大小为，当时，求的取值范围.
21.已知正项数列前项和为，满足，数列满足，记数列的前项和为，
（1）求数列的通项公式；
（2）求满足不等式的正整数的最大值.
22.已知为抛物线：的焦点，点在上，且满足.
（1）求点的坐标及的方程；
（2）设过点的直线与相交于，两点，且不过点，若直线，分别交的准线于，两点，证明：以线段为直径的圆恒过定点.
参考答案
多选题ABCD BBAB
多选题ACD AD AD ABD
填空题
13. 14.3 15.6 16.
解答题
17.（1）解：设正项等比数列的公比为，
由，可得，所以，
又由，可得，解得，可得，
所以，即的通项公式.
（2）解：由，可得，所以，
且，
故数列是以1为首项，为公比的等比数列，
所以.
18.（1）直线的斜率为，故边上的高所在直线的斜率为-1，
故边上的高所在直线的方程为，即；
（2）设圆的方程为，
将，，代入得
，解得，
故圆的方程为.
19.（1）证明：在正四棱柱中，以点为坐标原点，
、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为，，则、、、，
所以，.
因为，所以，即.
（2）解：由，得，设平面的法向量，
则，令，得，，即.
设直线与平面所成角的大小为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
20.（1）因二面角为直二面角，即平面平面，又，
平面平面，平面，则平面，
又平面，即得，
四边形为矩形，，则，即，
，平面，于是平面，平面，
所以平面平面；
（2）过作平面，由（1）知平面，平面，故，
以为原点，射线，，分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，
∵，，则，，，，
，，，，
设平面的法向量为，则，即，
则，
设平面的法向量为，则，即，
则，
由图可知二面角为锐二面角，
从而有，
而，则，，
所以.
21.（1）由，①
当时，，解得（舍去），
当时，，②
由①-②得，即，
因为，所以，
当时，由，得，矛盾，
所以，即，
所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以；
（2）由（1）得，
所以
，
，
由，得，
即，即，
令，
则
，
当时，，所以数列从第3项起是递减数列，
又，，，，
所以满足不等式的正整数的最大值为6.
22.（1）设点，点，则有，
则，
因为点在上，故，
解得：或（舍），即，
所以点的坐标为，方程为.
（2）由对称性可知：以线段为直径的圆所过定点在轴上.
设直线的方程为，代入，得
设点，，则，，
因为，所以，
直线的方程为，
令，得，所以点
同理，点，
设以线段为直径的圆与轴的交点为，
则，
因为，则，
即，
则，
解得：或，
故以线段为直径的圆所过定点为和.
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