《反比例函数的意义》同步试题
北京市清华大学附属中学 张 钦
一、选择题
1．若是反比例函数，则a的取值为（ ）
A．1?? B．??? C．??? D．任意实数
考查目的：反比例函数的定义．
答案：A．
解析：∵此函数是反比例函数，
∴，解得a=1．
故选：A．
2．若y是x的反比例函数，那么x是y的（ ）
A．正比例函数???? B．一次函数????? C．反比例函数??? D．二次函数
考查目的：反比例函数的定义．
答案：C．
解析：∵y是x的反比例函数，
∴设，
∴，
∴x是y的反比例函数，
故选：C．
3．下列问题中，两个变量成反比例的是（ ）
A．长方形的周长确定，它的长与宽
B．长方形的长确定，它的周长与宽
C．长方形的长确定，它的周长与宽
D．长方形的长确定，它的面积与宽
考查目的：反比例函数的定义．
答案：C．
解析：A长方形的周长=2×（长+宽），即长和宽的和为定值，所以根据正比例的概念应该是长和宽成正比例．故本选项错误；
B长方形的周长=2×（长+宽），所以，长=﹣宽，即周长的一半长和宽的和为定值，所以根据正比例的概念应该是周长和宽成正比例．故本选项错误；
C长方形的面积=长×宽，即长和宽的乘积为定值，所以根据反比例的概念应该是长和宽成反比例；故本选项正确；
D长方形的面积=长×宽，即长和宽的乘积为定值，所以根据正比例的概念应该是长和宽成正比例；故本选项错误；
故选C．
二、填空题
4．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）呈反比例，其函数关系式为．如果近似眼镜镜片的焦距x=0.25米，那么近视眼镜的度数y为???????? ．
考查目的：反比例函数的定义，反比例函数解析式．
答案：400．
解析：把x=0.25代入，
y=400，
故答案为：y=400．
5．下列函数：①y=2x﹣1；②；③y=x2+8x﹣2；④；⑤；⑥中，y是x的反比例函数的有 ???? （填序号）．
考查目的：反比例函数的定义，反比例函数解析式．
答案：②⑤．
解析：①y=2x﹣1是一次函数，不是反比例函数；
②是反比例函数；
③y=x2+8x﹣2是二次函数，不是反比例函数；
④不是反比例函数；
⑤是反比例函数；
⑥中，a≠0时，是反比例函数，没有此条件则不是反比例函数；
故答案为：②⑤．
6．已知y是x的反比例函数，当x=3时，y=8，则这个函数关系式为 ．
考查目的：反比例函数的定义；待定系数法求反比例函数解析式．
答案：．
解析：设反比例函数是，
当x=3时，y=8，代入可解得k=24．
所以．
故答案为：．
三、解答题
7．当m为何值时，函数是反比例函数？当m为何值时，此函数是正比例函数？
考查目的：反比例函数的定义与解析式；正比例函数的定义与解析式．
答案：m=﹣3时，函数是反比例函数；当m=±1时，此函数是正比例函数．
解析：根据反比例函数的定义知2﹣|m|=﹣1，m﹣3≠0，
解得：m=﹣3；
根据正比例函数的定义知2﹣|m|=1，m﹣3≠0，
解得：m=±1．
答：m=﹣3时，函数是反比例函数；当m=±1，此函数是正比例函数．
8．已知y=y1+y2，y1与（x﹣1）成正比例，y2与（x+1）成反比例，当x=0时，y=﹣3，当x=1时，y=﹣1．
（1）求y的表达式；
（2）求当时y的值．
考查目的：反比例函数的定义与解析式；正比例函数的定义与解析式．
答案：（1）；（2）．
解析：（1）∵y1与（x﹣1）成正比例，y2与（x+1）成反比例，
∴y1=k1（x﹣1），，
∵y=y1+y2，当x=0时，y=﹣3，当x=1时，y=﹣1．
∴
∴k2=﹣2，k1=1，
∴；
（2）把代入（1）中函数关系式得，．
《反比例函数的意义》教学设计
北京市清华大学附属中学 张 钦
一、内容和内容解析
1．内容
反比例函数的意义．
2．内容解析
本课是反比例函数这一章的第一课时，其主要功能是在学生学习过的一次函数的基础上，通过实际例子帮助学生认识并归纳出反比例函数的意义．反比例函数作为初中三个基本函数（还有一次函数和二次函数）中最特殊的一个，明确其意义是最为重要的内容．另外本节课的学习可以给学生研究其它函数做好引领工作，帮助他们养成良好的思维品质和学习习惯．
学生需要对从实际问题中得出的三个关系式进行观察、归纳，结合已学知识来得出反比例函数的概念，并且深入的理解其意义．在此过程中，教师需要给学生一些必要的指引，具体到课堂教学实际中就是通过问题的引领，帮助学生做好问题的探究．学生是这个环节的主体，教师是辅助者，在实际教学中要尊重学生所提出的问题和看法，不应该把教师的观点强加给学生．
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解反比例函数的概念．
二、目标和目标解析
1．教学目标
（1）理解反比例函数的意义；
（2）能够根据已知条件确定反比例函数的解析式．
2．目标解析
达成目标（1）的标志是：通过对实际问题和数学问题的分析，抽象概括得出反比例函数的概念，知道自变量和对应函数成反比例的特征．
达成目标（2）的标志是：能根据问题中的变量关系,确定反比例函数的解析式．
三、教学问题诊断分析
学生已经学习过了一次函数、二次函数、分式等预备知识，对函数的图象、性质和特征具有了一定的认知能力．再加上小学已经学习过的反比例关系，学生对反比例函数的引入不会感到突然．在对实际问题和数学问题进行分析过程中，需加强对函数概念的理解：对于自变量每一个确定的值，有唯一确定的值与之对应．反比例函数与一次函数、二次函数的不同在于两个变量的乘积为定值．同时，学习过程中要回顾类比反比例关系，分式的概念及其运算．
但是反比例函数与学生已学过的一次函数、二次函数有着根本的不同．虽然从形式上和正比例函数很类似，但是其自变量取值范围不再是全体实数，所以相比于学生熟悉的函数类型，反比例函数的研究方式会有所不同，而本节课的学习就是所有这些改变的起点．
本课的教学难点是：抽象得到反比例函数概念的过程．
四、教学过程设计
1．创设情境，引入新知
问题1京广高铁全程为2 298km，某次列车的平均速度v（单位：km/h）与此次列车的全程运行时间t（单位：h）有什么样的关系？
问题2冷冻一个0℃的物体，使它的温度下降到零下273℃，每分钟变化的温度 （单位：℃）与冷冻时间 （单位：分）有什么样的关系？
师生活动：教师提出问题，学生思考、得出答案．教师板书学生给出的答案，同时提醒学生关注零下273℃的表示方法．
设计意图：用实际问题引出现实中的反比例关系，为后续的反比例函数的意义教学做好铺垫．创设问题情境，让学生感受量与量之间的函数关系，体会实际问题中蕴涵的函数关系，激发探究兴趣．
2．观察感知，理解概念
针对学生的答案，提出一系列问题：
问题3这些关系式有什么共同点？
问题4这两个量之间是否存在函数关系？
问题4.1这个变化过程中的常量和变量分别是什么？
问题4.2变量x、y在什么范围内变化？
问题4.3 y是x的函数吗？
师生活动：教师针对学生的答案进行提问，引导学生进行思考，并鼓励学生提出问题，以推动对问题的进一步思考．开始渗透研究函数的一般步骤，帮助学生探究函数关系．学生需要调动原有知识储备，经过思考和讨论来回答问题．
设计意图：通过对问题的讨论分析，让学生学会用函数的观点分析生活中变量之间的关系，并能够用反比例关系式表示出来，初步建立反比例函数的模型．
3．归纳概括, 建立模型
问题5这个函数应该如何表示？
问题6你能给这个函数起个名字吗？
归纳整理出反比例函数的意义：
一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数．
师生活动：教师提出问题，学生思考、议论后交流．教师应引导学生用规范的数学语言表达反比例函数的概念，并引导学生发现自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．
设计意图：使学生从上述不同的数学关系式中抽象出反比例函数的一般形式，让学生感受反比例函数的基本特征，发展学生用数学语言描述反比例函数的能力，体会从实际问题中抽象出反比例函数的方法．
4.分析例题, 培养能力
例1 已知y是x的反比函数，并且当x＝2时，y＝6.
（1）写出y关于x的函数解析式.
? （2）当x＝4时，求y的值.
师生活动：教师提出问题，学生思考、交流，解答问题．教师引导学生理解“y是x的反比函数”这句话的意义，总结得出求反比例函数解析式的方法，正确用反比例函数解析式解决问题．
设计意图：使学生会根据已知条件求反比例函数的解析式，进一步熟悉函数值的求法.
例2已知与成反比例，并且当时，
（1）写出和的函数解析式；
（2）求当时的值．
师生活动：教师提出问题，学生独立思考，解答问题．教师巡视学生完成情况，并请学生展示解答过程，给予适当评价．
设计意图：已知条件中y与成反比例. 设为（k≠0），看作整体，进一步加深对反比例函数概念理解，明确反比例与反比例函数的区别和联系，并会解决实际问题．
5．归纳小结，反思提高
教师与学生一起回顾本课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
（1）我们今天学习了反比例函数的哪些知识？如何获得反比例函数的概念？
（2）反比例函数中的两个变量的关系是什么？
（3）反比例函数对自变量取值有何要求？
（4）如何根据已知条件求反比例函数的解析式？
设计意图：让学生能够梳理知识体系，进一步加深对知识的理解．
6．布置作业
教科书习题26.1 复习巩固第1，2题.
五、目标检测设计
设计意图：进一步明晰概念，用反比例函数的概念判定函数是否为反比例函数：从形式上看是写成一般式，实质上是两个变量的乘积为定值．
2.已知y与x?成反比例,并且当＝2时，y＝－6.
（1）写出y关于的函数解析式;
（2）当＝4时，求y的值;
（3）当y＝4时，求x的值.
设计意图：进一步加深概念理解，明确反比例与反比例函数的区别和联系，并会解决实际问题．
课件17张PPT。第二十六章 反比例函数 反比例函数的意义北京市清华大学附属中学 张 钦
创设情境，引入新知1.京广高铁全程为2 298km，某次列车的平均速度v（单位：km/h）与此次列车的全程运行时间t（单位：h）有什么样的等量关系？创设情境，引入新知2.冷冻一个0℃的物体，使它的温度下降到零下273℃，每分钟平均变化的温度T（单位：℃）与冷冻时间n（单位：分）有什么样的等量关系？观察感知，理解概念问题：这些关系式有什么共同点？反比例关系xy=kk是常数观察感知，理解概念问题：x，y是函数关系吗？xy=k（k是常数）函数的定义：
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量，并且对于其中一个变量的每一个确定的值，另一个变量都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说第一个变量是自变量，第二个变量是它的函数．观察感知，理解概念xy=k（k是常数）问题：在这个变化过程中，哪些量是变量？哪些量是常量？函数的定义：
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量，并且对于其中一个变量的每一个确定的值，另一个变量都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说第一个变量是自变量，第二个变量是它的函数．观察感知，理解概念变量：x，yxy=k（k是常数）函数的定义：
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量，并且对于其中一个变量的每一个确定的值，另一个变量都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说第一个变量是自变量，第二个变量是它的函数．观察感知，理解概念常量：kxy=k（k是常数）函数的定义：
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量，并且对于其中一个变量的每一个确定的值，另一个变量都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说第一个变量是自变量，第二个变量是它的函数．观察感知，理解概念xy=k（k是常数）常量：变量：k ≠ 0x ≠ 0， y ≠ 0kx，y问题：
变量x，y在什么范围内变化？归纳概括, 建立模型函数的定义：
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量，并且对于其中一个变量的每一个确定的值，另一个变量都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说第一个变量是自变量，第二个变量是它的函数．xy=k（k是常数，k ≠ 0）问题：这个函数可以怎样表示？归纳概括, 建立模型?问题：你能给这个函数起一个名字吗？问题：接下来应该研究什么问题呢？分析例题, 培养能力例1 已知y是x的反比函数，并且当x＝2时，y＝6.
（1）写出y关于x的函数解析式；
（2）当x＝4时，求y的值.分析例题, 培养能力例2 已知y与x2成反比例，并且当x=3时y=4 ．
（1）写出y和x的函数解析式；
（2）求当x=1.5时y的值．归纳小结，反思提高请思考以下问题：
（1）我们今天学习了反比例函数的哪些知识？如何获得反比例函数的概念？
（2）反比例函数中的两个变量的关系是什么？
（3）反比例函数对自变量取值有何要求？
（4）如何根据已知条件求反比例函数的解析式？布置作业教科书习题26.1 复习巩固第1，2题.目标检测目标检测2. 已知y与x2成反比例，并且当x=2时y=-6 ．
（1）写出y和x的函数解析式；
（2）当x=4时，求y的值；
（3）当y=4时，求x的值．
