《实际问题与反比例函数（例1和例2）》同步试题
北京市第二十中学 王云松
一、选择题
1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（?? ???）．
A．???? B．???? C．???? D．????
考查目的：考查反比例函数的定义．
答案：B．
解析：由反比例函数的定义，故选B.
2．已知矩形的面积为10，则它的长y与宽x之间的关系用图象大致可表示为? （????? ）．
A?????? ?? ?B? ? ?????????C ??????????D
考查目的：矩形的面积一定时，长是宽的反比例函数．
答案：A．
解析：由矩形面积公式，可知xy=10，又x、y均为正数，故选A.
3．如图，△OPQ是面积为2的等边三角形，若反比例函数的图象过点P，则它的解析式为（??? ???）．
A．?? ?? B．?????? ???????C．?????? D．
考查目的：考查根据已知条件求反比例函数关系式．
答案：B．
解析：由等边三角形的轴对称性及三角形面积公式，可求得点P的横纵坐标之积为2，结合反比例函数的意义，故选B.
二、填空题
4．京沈高速公路全长658km，一辆汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则这辆汽车行完全程所需时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的函数关系式为??????????? ．
考查目的：反比例函数在行程问题中的应用.
答案：．
解析：由路程=速度×时间，变形可得，所以．
5．完成某项任务可获得500元报酬，如果由x人合作完成这项任务，试写出人均报酬y（元）与人数x（人）之间的函数关系式?????????????? ?．
考查目的：根据已知条件列反比例函数关系式.
答案：．
解析：，可求得关系式为：．
6．工人师傅将一个底面半径为10cm，高为20cm的圆柱形铅块，加工成底面半径为20cm 的圆柱形，则它的高变为_____________cm．
考查目的：运用反比例函数解决有关圆柱体积问题．
答案：5．
解析：由圆柱的体积公式，可知在体积一定的的情况下，圆柱的高与底面半径的平方成反比，结合反比例关系式，可求得圆柱的高为5cm．
三、解答题
7．小东家离学校的距离为3600米，他每天骑自行车上学时的平均速度为v（米/分），所需时间为t（分）．
（1）平均速度v与时间t之间有怎样的函数关系？
（2）若小东到学校用时15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？
（3）如果小东骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达学校？
考查目的：将实际问题抽象成数学问题，运用反比例函数加以解决．
答案：（1）；（2）v＝240；（3）t＝12．
解析：由速度、路程、时间三者的关系，可知；当t确定时，代入关系式可求得v，? 当v确定时，代入关系式可求得t．
8．学校食堂开学初购进一批瓶装液化石油气，现在知道：按每天用气6升计算，一学期（按150天计算）刚好用完.若每天的用气量为x升，那么这批石油气能用y天．
（1）写出y与x之间的函数关系；
（2）画出函数图象；
（3）若每天节约１升气，则这批石油气能多用多少天？
考查目的：将实际问题抽象成数学问题，运用反比例函数加以解决．
答案：(1)；(2)略；(3)30天.
解析：先由每天使用6升，共用150天，求得总量为900升，所以可求得y与x之间的函数关系式为: ;画函数图象时，要注意图象的位置，只能分布于第一象限；将x=5代入关系式，可得y=180，所以比150天多用30天．
课件12张PPT。第二十六章 反比例函数 实际问题与反比例函数 （例1和例2）北京市第二十中学 王云松
复习提问，引入新知 复习提问，引入新知 问题1 ?
回顾一次函数和二次函数的学习过程，在学习了反比例函数的定义和性质后，接下来应该研究什么？如何研究？创设情境，自主学习创设情境，自主学习 问题2 市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室． （1）储存室的底面积 S （单位：m2）与其深度 d （单位：m）有怎样的函数关系？ （2）公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施工队施工时应该向地下掘进多深？ （3）当施工队按（2）中的计划掘进到地 下 15 m 时，公司临时改变计划，把储存室的 深度改为 15 m．相应地，储存室的底面积 应改为多少（结果保留小数点后两位）？创设情境，自主学习 （1）储存室的底面积 S（单位：m2）与其深度 d （单位：m）有怎样的函数关系？解：（1）根据圆柱的体积公式，得 Sd =104，变形得 即储存室的底面积 S 是其深度 d 的反比例函数.创设情境，自主学习创设情境，自主学习 （2）公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2， 施工队施工时应该向地下掘进多深？ 解得 d = 20（m）．
如果把储存室的底面积定为 500 m2，施工时应向地下掘进 20 m 深．解：把 S = 500 代入 得 创设情境，自主学习 （3）当施工队按（2）中的计划掘进到地下 15 m 时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m．相应地，储存室的底面积应改为多少（结果保留小数点后两位）？ 解得 S≈666.67（m2）．
当储存室的深度为 15 m 时，底面积约为 666.67 m2．解：把 d =15 代入 ， 得 ．创设情境，自主学习新知应用，解决问题新知应用，解决问题 问题3 码头工人每天往一艘轮船上装载30 吨货物，装载完毕恰好用了 8 天时间． （1）轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度 v（单位：吨/天）与卸货天数 t 之间有怎样的函数关系？ （2）由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过 5 天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？解：（1）设轮船上的货物有k吨，由已知条件得 k=30×8=240（吨）， 所以 v 关于 t 的函数解析式为 ．新知应用，解决问题解法一：把 t=5 代入 ，得 （2）由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过 5 天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？ 从结果可以看出，如果全部货物恰好用5天卸载完，那么平均每天卸载48吨.对于函数 来说，当t>0时，t越小，v越大.所以若货物不超过5天卸载完，则平均每天至少要卸载48吨.新知应用，解决问题新知应用，解决问题解法二：由题意知 t≤5 ， （2）由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过 5 天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？ 由 ，得 ． ∵ t≤5， ∴ ≤5． 又 v＞0， ∴ 240≤5v．
∴ v≥48（吨）．新知应用，解决问题巩固新知，学以致用练习：教科书第15页练习1.归纳小结，反思提高归纳小结，反思提高 （1）如何通过建立反比例函数模型解决实际问题？
（2）在运用反比例函数解决实际问题的过程中要注意什么问题？
布置作业教科书习题26．2第1,7题． 实际问题与反比例函数（例1和例2)》教学设计
北京市第二十中学 王云松
一、内容和内容解析
1．内容
运用反比例函数的概念、性质分析和解决简单的实际问题：例1和例2．
2．内容解析
本课内容是学习反比例函数概念和性质的基础上，综合运用反比例函数的概念和性质解决简单的实际问题，是对反比例函数概念和性质的进一步巩固和提升．例１通过研究修建圆柱形煤气储存室的实际问题，抽象为几何中圆柱的体积问题；例2通过研究卸载货物问题，抽象为工程问题．这两个问题的解决思路都是将蕴含在实际问题中的两个成反比例关系的变量抽象出来，建立反比例函数模型，进而运用反比例函数的概念和性质进行分析问题和解决问题．通过本节课的学习，深化对反比例函数的理解和认识，提高运用反比例函数知识解决实际问题的能力，体现数学的应用价值．
基于以上分析，本节课的教学重点是：将实际问题转化为数学问题，运用反比例函数的概念、性质分析和解决一些简单的实际问题．
二、目标和目标解析
1．目标
（1）运用反比例函数的知识解决简单的实际问题；
（2）经历“实际问题—建立模型—解决问题”的过程，体会数学建模思想，发展学生分析、解决问题的能力和数学应用的意识．
2．目标解析
达成目标（1）的标志是：通过对圆柱形煤气储存室的底面积、高和体积三者之间的关系探讨，抽象得出反比例函数关系，运用反比例函数知识解决实际问题．
达成目标（2）的标志是：能根据在运输过程中运输效率、运输时间与运输总量三者关系的自主探究，建立反比例函数模型，发展学生分析、解决问题的能力，增强学生应用数学知识解决问题的意识，感受到数学的应用价值．
三、教学问题诊断分析
学生前面已经学习过正比例函数、一次函数和二次函数，能够运用这些函数思想解决一些简单的实际问题．但将实际问题抽象为数学问题，并且准确地建立相应的函数模型，对学生来说存在一定的难度．本节课运用反比例函数解决实际问题也不例外．学生可能存在从实际问题中抽象反比例函数时，对比例系数理解不透、对两个变量的反比例关系把握不准的问题．因此在建立反比例函数关系时，要仔细分析实际问题所给出的条件，准确抽象出常量和变量，正确理解变量之间的关系,确定两个变量的积是一个常量．同时，在分析问题的过程中，要注意变量在实际问题中的取值范围．
本课的教学难点是：将实际问题中变量间的反比例关系抽象为反比例函数，并能利用反比例函数的性质解决实际问题．
四、教学过程设计
1．复习提问，引入新课
问题1 回顾一次函数和二次函数的学习过程，在学习了反比例函数的有关概念和性质后，接下来应该研究什么？如何研究？
师生活动：学生思考，教师与学生共同回顾正比例函数、一次函数及二次函数的研究过程，指出这些函数在生活中有广泛的应用，以引起学生对本节课的研究内容及研究方法的关注．
设计意图：进一步熟悉函数学习的基本过程和方法，点明研究的内容．
2．创设情境，自主学习
问题2 市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室．
（1）储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）有怎样的函数关系？
（2）公司决定把储存室的底面积S定为500 m2，施工队施工时应该向地下掘进多深？
（3）当施工队按（2）中的计划掘进到地下15m时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为15m．相应地，储存室的底面积应改为多少？（结果保留小数点后两位）
师生活动：学生仔细读题，独立思考，弄清这是一个关于圆柱体积的应用题, 回忆圆柱体的体积公式，借助其体积公式v=sh，尝试确定（1）问中的函数关系．教师可以通过设置以下问题, 引导学生逐步分析, 最后通过建立反比例函数模型解决问题．
（1）这个问题可以转化为数学问题吗？需要用到哪些知识？
（2）在（1）中包含哪些量? 哪些是常量?哪些是变量?你能写出S与d的关系式吗？你能从函数的角度来解释这个关系式吗？
（3）在（2）中把储存室的底面积S定为500 m2，从函数角度来看，你怎么理解？ 把储存室的深度改为15m又是什么意思呢？
在此活动中，教师应重点关注：
①能否从实际问题中抽象出函数模型；
②能否利用函数模型解释实际问题中的现象；
③能否独立思考，自主探索．
设计意图：让学生独立思考，自主探索，从实际问题中抽象出数学问题，通过寻找变量之间的关系，建立反比例函数模型．体验反比例函数是有效描述现实世界的重要手段．
3．新知应用，解决问题
问题3 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．
（1）轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v（单位：吨／天）与卸货天数t（单位：天）之间有怎样的函数关系？
（2）由于遇到紧急情况,要求船上的货物不超过5天卸载完毕,那么平均每天至少要卸载多少吨?
师生活动：学生在独立思考,教师适时提问，在这个问题中常量是什么？变量是什么？是否符合反比例函数的模型？如果是反比例函数，那么其比例系数是什么？在此基础上，学生写出平均卸货速度v（单位：吨／天）与卸货天数t（单位：天）之间的函数关系式．教师引导学生从函数角度出发，该如何理解“不超过5天卸载完毕”，并进行讨论，寻求解决问题的方法．学生交流展示，教师对学生中出现的不同解法给予点评，并规范书写过程．
设计意图：在问题2的基础上，探究工程问题中存在的反比例函数，让学生进一步体验反比例函数是有效描述现实世界的重要工具，让学生充分认识到数学的应用价值．
4．巩固新知，学以致用
练习：教科书第15页练习1．
设计意图：巩固性练习,利用反比例函数解决实际问题中有关体积的问题,使学生体验运用新知，独自解决问题的快乐．
5．反思小结，形成方法???????????????????????
教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
（1）如何通过建立反比例函数模型解决实际问题？
（2）在运用反比例函数解决实际问题的过程中要注意什么问题？
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容和解决问题的过程与方法，巩固对反比例函数的性质的认识，进一步提高应用反比例函数解决实际问题的能力．
6．布置作业
教科书第15页练习第2题、第3题，习题26．2第7题．
五、目标检测设计
1．已知某小区要规划修建一个面积为200m2的矩形草坪．
（1）写出其长y（单位m）与宽x（单位m）之间的函数表达式．
（2）当草坪的长为20m时，求宽为多少?当草坪的宽为8m，求其长为多少?
（3）如果要求草坪的长不小于16m，其宽至多要多少?
设计意图：进一步让学生体会从实际问题中建立函数模型的过程，并用反比例函数解决实际问题．
2．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气体体积V（立方米）的反比例函数，其图象如图所示：
（1）写出这个函数的解析式；
（2）当气球的体积是0．8立方米时，气球内的气压是多少千帕？
（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？
设计意图：检测学生能否根据图象，确定反比例函数的解析式，并应用反比例函数的性质解决实际问题．
