2023-2024学年宁夏吴忠市青铜峡市重点中学高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年宁夏吴忠市青铜峡市重点中学高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.把化成角度是( )
A. B. C. D.
3.( )
A. B. C. D.
4.下列函数中，定义域是且为增函数的是( )
A. B. C. D.
5.若，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.函数的零点所在的大致区间是( )
A. B. C. D.
7.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数给出下列结论：
的周期为；
时取最大值；
的最小值是；
在区间内单调递增；
把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号题( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中存在零点的函数有( )
A. B. C. D.
10.已知，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
11.已知是定义在上的偶函数，当时，，则下列结论中正确的是( )
A. B. 的最大值为
C. 在上是增函数 D. 的解集为
12.已知函数的部分图象如图所示，函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )
A. 函数的周期为
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在区间上有个零点
D. 将函数的图像向左平移可使其图像与图像重合
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若，则是第______象限角．
14.已知函数，若，则 ．
15.函数的最小值为______．
16.函数满足，且在区间上，，则的值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知函数．
在如图所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
写出函数的单调增区间及零点．
18.本小题分
已知角的终边经过点．
求，的值；
求的值．
19.本小题分
求下列各式的值．
；
；
；
．
20.本小题分
已知，为锐角，，．
求的值；
求的值．
21.本小题分
已知函数．
用“五点法”画出函数在一个周期内的简图．
求函数的单调增区间．
当时，求函数的最大值和最小值及相应的值．
22.本小题分
现给出以下三个条件：
的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为；
的图象上的一个最低点为；
．
请从上述三个条件中任选两个，补充到下面试题中的横线上，并解答该试题．
已知函数，满足_____，_____．
根据你所选的条件，求的解析式；
将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，求最小正周期及对称轴．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了交集的定义及运算，属于基础题．
进行交集的运算即可．
【解答】
解：，，
．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：．
故选：．
根据弧度制与角度制的转化关系计算可得．
本题主要考查了弧度与角度的转化公式的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由两角差的余弦公式可得 ．
故选：．
利用由两角差的余弦公式即可求解．
本题考查两角差的余弦公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：为减函数，不符合题意；
根据幂函数的性质可知，的定义域是且为增函数，符合题意；
的定义域为，不符合题意；
在定义域上不单调，不符合题意．
故选：．
结合基本初等函数的单调性及定义域检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本初等函数的定义域的求解，还考查了单调性的判断，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，且，
，
，
所以．
故选：．
由对数函数和指数函数的性质可得．
本题考查指数、对数的大小比较，涉及对数函数和指数函数的性质，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，，
根据零点存在定理，可得函数的零点所在的大致区间是
故选：．
确定，，根据零点存在定理，可得结论．
本题考查零点存在定理，考查学生的计算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：根据二倍角的余弦公式可得：
．
故选：．
利用二倍角的余弦公式代入计算即可得出结果．
本题主要考查二倍角的三角函数，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：因为
．
因为，所以正确；
因为，所以错误；
当，即时，
取最小值，且最小值是，所以正确；
当时，由
知在区间内并不单调，故错误；
把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，
可得到函数，故错误．
故正确的是．
故选：．
先由降幂公式与辅助角公式化简函数解析式，根据正弦型函数的周期公式、最值性质、单调性，结合正弦型函数图象变换性质逐一判断即可．
本题考查正弦型复合函数的性质，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：函数，函数的图象与轴没有交点，所以函数没有零点；
函数，时，函数，函数存在零点；
函数，函数的零点为，所以函数有零点；
函数的图象与轴没有交点，所以函数没有零点．
故选：．
利用已知条件，直接求解判断即可．
本题考查函数的零点判断，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为，所以，又，
所以，所以可得，故A错误．
又，可得，
所以，
则可得，，，故有B错误，CD正确．
故选：．
由题意，根据结合同角基本关系分别检验各选项即可判断．
本题考查正弦型三角函数性质的求解和判断，属综合基础题．
11.【答案】
【解析】解：对：是偶函数，，A正确；
对：时，，由对称性可知的最大值为，B正确；
对：当时，，又的对称轴为，
在上是减函数，C错误；
对：时，的解集为，时，无解，故D正确．
故选：．
根据是偶函数，结合二次函数的性质，以及一元二次不等式的求解，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择．
本题考查函数奇偶性的性质及其应用，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：图中，由题意可得，，
所以，A错误；
所以，，
又，，
故，，
令，，
可得，，
当时，，B正确；
由可得，
所以或，，
所以或，，
当时，，，，共个零点，C正确；
把函数的图像向左平移可得，
而中，，，即，
所以，，
因为，，
所以，，D正确．
故选：．
结合五点作图法先求出，的解析式，然后结合正弦函数及余弦函数的性质分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了五点作图法在正弦函数及余弦函数解析式求解中的应用，还考查了正弦及余弦函数性质的综合应用，属于中档题．
13.【答案】三或四
【解析】解：，
则或，解得为第三或第四象限角．
故答案为：三或四．
根据已知条件，推得或，即可求解．
本题主要考查三角函数值的符号，属于基础题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的解析式的应用，对数方程，属于基础题．
直接利用函数的解析式，求解函数值即可．
【解答】
解：函数，若，
可得：，可得．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：，
，当时，，
故函数的最小值为．
故答案为：．
直接利用二次函数的性质以及函数的关系式的变换求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，二次函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性结合分段函数的表达式利用转化法是解决本题的关键．
根据函数的周期性，进行转化求解即可．
【解答】
解：由得函数是周期为的周期函数，
则，
，
即，
故答案为：．
17.【答案】解：该函数的图象如图：
由函数的图象可知：
单调增区间是，；
函数的零点是，．
【解析】根据二次函数以及对数函数的图象性质，结合分段函数的性质即可求解；
结合函数图象即可求解．
本题考查了分段函数的应用，属于中档题．
18.【答案】解：由角的终边经过点，根据三角函数的定义得，
．
．
【解析】由题意，利用任意角的三角函数的定义，求得，的值．
由题意，利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，计算求得结果．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．
19.【答案】解：；
；
；
．
【解析】结合三角函数的恒等变换公式，以及诱导公式，即可求解．
本题主要考查三角函数的恒等变换，属于基础题．
20.【答案】解：因为，，
所以．
因为，
所以，
因此，．
因为，为锐角，
所以．
又因为，
所以．
因此．
因为，
所以．
因此，
．
【解析】本题考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式，两角和与差的三角函数公式的灵活应用，考查了转化的思想方法，属于中档题．
根据已知等式，得，根据同角三角函数基本关系式，得，即可求解；
根据已知得与及的值，从而得的值，由，即可求解．
21.【答案】解：由题意得，，列表如下：
描点、连线，画出函数在个周期，上的简图如下：
令，，
得，，
所以函数的单调递增区间为，；
时，，
所以，即时，的最小值为；
，即时，的最大值为．
【解析】先利用辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合五点作图法即可求解；
结合正弦函数的单调性即可求解；
结合正弦函数的最值即可求解．
本题主要考查了五点作图法的应用，还考查了正弦函数单调性及最值的求解，属于中档题．
22.【答案】解：选择：由已知得，所以，从而，
将代入得，，
解得，，又，所以，；
选择：由已知得，所以，
，又，因为，所以，
所以；
选择：由，又，所以，
将代入得，，解得，，又，所以，
所以；
由已知得，
故，
则，
令，，
则，，
故对称轴为，．
【解析】结合所选条件，由周期求，代入点的坐标求，进而可求函数解析式；
结合函数图象变换求出，然后利用和差角公式，二倍角公式及辅助角公式对进行化简，再由正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查了由部分函数的性质求的解析式，还考查了和差角公式，二倍角及辅助角公式的应用，正弦函数性质的应用，属于中档题．
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