2023-2024学年山西省大同市高一（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年山西省大同市高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的值是( )
A. B. C. D.
2.已知，，，为实数，且则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知函数的定义域，则函数的定义域是
( )
A. B.
C. D.
4.函数的单调递减区间是( )
A. B. C. D.
5.已知函数，若函数有四个不同的零点，，，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知，则的值是( )
A. B. C. D.
7.已知函数若在区间内没有零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.不等式对于，恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，则下列结论正确的是( )
A. 为第二象限角 B.
C. D.
10.下列表达式正确的是( )
A. 若，则
B. 在锐角中，恒成立
C.
D. ，，
11.已知函数的图象关于直线对称，则( )
A. 函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象
B. 函数为偶函数
C. 函数在上单调递增
D. 若，则的最小值为
12.已知，，，则( )
A. 的最小值为 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.若为偶函数，则实数 ______．
14.如图，一个半径为米的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心距离水面的高度为米设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为单位：米在水面下则为负数，若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，且与时间单位：分钟之间的关系式为：，则与时间之间的关系是______．
15.已知函数，将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间上的值域为，则的取值范围是______．
16.关于函数有下述结论：
是偶函数；
函数是周期函数，且最小正周期为；
函数在区间上单调递减；
函数在有个零点；
函数的最大值为．
其中所有正确结论的编号是______．
四、解答题：本题共5小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算下列各式的值：
；
．
18.本小题分
设函数．
求的图象的对称轴方程和对称中心的坐标；
求在上的最值．
19.本小题分
定义域为的函数是奇函数．
求实数的值；
若存在，使得成立，求实数的取值范围．
20.本小题分
如图，一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此木块锯出一个等腰三角形，其底边，点在半圆上．
设，求三角形木块面积；
设，试用表示三角形木块的面积，并求的最大值．
21.本小题分
函数
若，求的值域；
最小值为，若，求及此时的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意．
故选：．
直接由诱导公式以及特殊角的三角函数值计算即可．
本题主要考查了诱导公式以及特殊角的三角函数值在三角函数求值中的应用，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，两个同向不等式相加得
但，．
例如，，，时，．
故选B．
由题意看命题“”与命题“”是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．
此题主要考查必要条件、充分条件和充要条件的定义，是一道基础题．
3.【答案】
【解析】【分析】
根据函数的定义域求出的范围，结合分母不为求出函数的定义域即可．
本题考查了求抽象函数的定义域问题，是一道基础题．
【解答】
解：由题意得：
，
解得：，
由，解得：，
故函数的定义域是，
故选C．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，，由，解得，
故函数的定义域为，
令，其在上单调递增，在上单调递减，
又因为函数为减函数，
所以函数的单调递减区间为．
故选：．
根据题意，先求出函数的定义域，令，再根据复合函数的单调性结合对数函数的单调性即可得解．
本题考查复合函数的单调性，涉及对数函数的性质，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：作出函数的大致图象，则，，
所以，所以，，
所以，所以，
所以 ，
，当且仅当，即时等号成立，
所以的取值范围为．
故选：．
作出函数的大致图象，确定四个零点所在区间，利用函数解析式代入所求算式化简，结合基本不等式求取值范围．
本题考查了函数的零点与方程根的关系，利用基本不等式求范围，考查了数形结合思想，属中档题．
6.【答案】
【解析】解：，且，
，则．
故选：．
由，即可求出答案．
本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：，
若，，，
在区间内没有零点，
，解得；
若，，，
在区间内没有零点，
，解得；
综上，．
故选：．
利用三角恒等变换公式以及正弦函数的图象性质求解．
本题考查正弦函数的图象性质，考查二倍角公式，辅助项公式，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：不等式对于，恒成立，
即对于，恒成立，
令，则，
则对于恒成立，
由对勾函数的性质可知在上单调递减，
所以当时，取最小值为，所以的最大值为，
所以，即的取值范围是．
故选：．
根据题意转化为对于，恒成立，令，则，可得对于恒成立，根据对勾函数的性质求解即可．
本题主要考查函数恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：由同角三角函数平分关系可得，
，因为，所以，解得，，
因为，所以是第二象限角，故选项A，B正确，
有同角三角函数商数关系可得，，故选项C错误，
因为，故选项D正确．
故选：．
利用同角三角函数的基本关系计算求解即可判断各选项．
本题考查的知识要点：同角三角函数的关系式的变换，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：：由题设，
又，故，错；
：由题意且，则，所以，对；
：，对；
：由，
又，，故，，故，
所以，对．
故选：．
利用诱导公式及同角三角函数关系化简判断、；由且结合诱导公式判断；作差法比较大小判断．
本题考查了三角恒等变换，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：函数的图象关于直线对称，
，；
，
，
，
对于，函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，故错误；
对于，函数，根据正弦函数的奇偶性，可得，可得函数是偶函数，故正确；
对于，由于，，函数在上单调递增，故正确；
对于，因为，，
又因为，的周期为，
所以则的最小值为，故正确．
故选：．
使用代入法先求出的值，得函数解析式，再根据三角函数的性质逐一判断即可得解．
本题考查了三角函数的最小正周期、奇偶性、单调性、对称轴，考查了函数思想，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于，，，，当且仅当，即取等号，故A错误，
，当且仅当，即取等号，故B正确，
，故当时，取到最小值，此时，满足题意，故C正确，
，当且仅当，即时等号成立，所以D正确．
故选：．
根据基本不等式即可求解，由乘“”法即可求解，代换后利用二次函数的性质即可求解．
本题主要考查了基本不等式及二次函数的性质在最值求解中的应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：若是偶函数，则，
即，所以，
所以，所以，所以，
当时，，定义域为，关于原点不对称，不符合，舍去，
当时，，定义域为，关于原点对称，符合题意．
综上所述，．
故答案为：．
由已知结合偶函数的定义，利用即可求解．
本题主要考查了偶函数定义的应用，属于基础题．
14.【答案】，
【解析】解：根据筒车模型中各量的物理意义及题意可知，筒车按逆时针方向每分钟转圈，
所以筒车旋转的角速度；
筒车的半径为米，所以；
筒车的轴心距离水面的高度为米，所以．
以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，此时，
所以筒车上的某个盛水筒到水面的距离单位：米在水面下则为负数，
则与时间的关系为：，．
故答案为：，．
根据题意求出振幅、周期，利用正弦型三角函数的性质求解即可．
本题考查了三角函数的应用，即用三角函数解决一些简单实际问题，也考查了函数的实际意义，是中档题．
15.【答案】
【解析】解：因为将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，
所以，
若函数在区间上的值域为，
因为，，
再由的单调性可知．
故答案为：．
由三角函数的图像变换得到解析式，由在区间上的值域为，求解的取值范围即可．
本题考查的知识要点：三角函数的平移变换，正弦型函数的性质的应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：函数的定义域为，又，
函数是偶函数，故正确；
当时，，时，，故最小正周期不为，故错误；
当时，，在上单调递减，故正确；
函数是偶函数，只需要考虑上的零点个数，
此时，在上有个零点，为，，
在有个零点，为，，，故正确；
当时，有，
又由，，则，有，
故的最大值为，故正确．
故答案为：
根据题意，利用函数奇偶性的概念即可判断；由判断；由，去掉绝对值，得，再根据正弦函数的单调性可判断；由函数是偶函数，则只需要考虑上的零点个数，，再根据正弦函数的零点即可判断；由函数是偶函数，则考虑的情况即可，写出分段函数解析式即可判断综合可得答案．
本题考查分段函数的性质，涉及函数的奇偶性、周期性和零点个数的分析，属于中档题．
17.【答案】解：因为，
所以，
即，
所以．
．
【解析】利用正切的两角和公式化简求值；
利用正弦的两角差公式、二倍角公式，以及三角函数的诱导公式求解．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：，
令，，
则，，
的图象的对称轴方程为，；
令，，
则，，
的图象的对称中心的坐标为，；
，
，
，
的最大值为，最小值为．
【解析】利用三角恒等变换化简得，利用余弦函数的性质可求得的图象的对称轴方程和对称中心的坐标；
，利用余弦函数的性质可求得的最值．
本题考查正弦函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：因为是奇函数，
所以，
即对恒成立，
所以．
由知，则在上为减函数，
又是奇函数，
由得：，
所以，
即在上有解，
记，则，
因为，则，
所以，所以，
所以，即，所以实数的取值范围是
【解析】由函数奇偶性的性质即可求解的值；
判断函数的单调性，结合奇函数的性质将不等式进行转化，利用三角函数的性质求解即可．
本题主要考查函数恒成立问题，函数奇偶性的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：设交交于点，因为，
所以，，，
；
半圆和长方形组成的铁皮具有对称性，则分析，即可，
，，
所以
令，，
所以，
所以，当，
的最大值为．
【解析】本题主要考查了三角函数的定义的应用及利用三角函数求解函数的最值，换元法的应用是求解的关键，属于拔高题．
根据题意，求得和，即可求得三角形木块面积；
根据的思路，用表示出和，表示，换元，根据二次函数的最值，求得的最大值．
21.【答案】解：若，则，
即，
因为，
所以，则，
所以的值域为；
，
因为，
若，即，，
若，即，，
若，即，，
因为，
则时，，无解；
时，，无解；
时，，
解得或舍去，
综上：，
此时，，
所以，当时，取得最大值．
【解析】代入，对进行配方化简，由的范围，进而得到的值域．
对进行配方化简，对的取值进行讨论，求最小值，由求出，进而求出此时的最大值．
本题主要考查了余弦函数及二次函数的性质在函数最值求解中的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
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