2023-2024学年江苏省徐州市高二（上）期末数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省徐州市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.经过两点的直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.圆的圆心坐标和半径分别为( )
A. ， B. C. ， D.
3.已知是等差数列，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数的定义域为，导函数的图象如图所示，则函数的极小值点的个数为( )
A.
B.
C.
D.
5.若椭圆的长轴长、短轴长、焦距成等差数列，则的离心率为( )
A. B. C. D.
6.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知数列满足记数列的前项和为若对任意的，都有，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知是等比数列，公比为，前项和为，则下列说法正确的是( )
A. 为等比数列 B. 为等差数列
C. 若，则 D. 若，则
10.已知直线：与圆：相切椭圆则( )
A. 点在圆内 B. 点在圆上
C. 点在椭圆内 D. 点在椭圆上
11.已知函数，则( )
A. 有两个极值点
B. 有三个零点
C. 当时，
D. 过点可作三条直线与曲线相切
12.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在的右支上，过点的直线与的两条渐近线分别交于点，，则下列说法正确的是( )
A. 的最小值为
B. 与仅有公共点的直线共有三条
C. 若，且为线段的中点，则的方程为
D. 若与相切于点，则，的纵坐标之积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若直线与直线平行，则实数的值为______．
14.已知抛物线：的焦点为，过的直线与交于，两点，若线段中点的横坐标为，则与相切于弦端点的一条直线的方程为______．
15.已知是椭圆上的一个动点，点，，则的最小值为______．
16.若实数是方程的根，则的值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知直线：，：，直线过点且与垂直．
求直线的方程；
设分别与，交于点，，为坐标原点，求过三点，，的圆的方程．
18.本小题分
已知数列的首项为，前项和为，且．
证明：为等比数列；
设，求数列的前项和．
19.本小题分
已知函数，．
当时，求曲线在点处的切线方程；
当时，若函数有最小值，求的值．
20.本小题分
已知椭圆的右焦点为，且过．
求的方程；
若过点的直线与交于，两点，为坐标原点，求面积的最大值．
21.本小题分
已知函数，，．
当时，试判断的单调性；
若，且的取值集合中恰有个整数，求的取值范围．
22.本小题分
已知抛物线：过点，直线与交于，两点，且．
当垂直于轴时，求的面积；
若，为垂足，求点到直线的距离的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
则，
直线的倾斜角范围为，
故所求的倾斜角为，即．
故选：．
根据已知条件，结合直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解．
本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：圆的圆心坐标和半径分别为，．
故选：．
直接利用圆的方程求出结果．
本题考查的知识要点：圆的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，是等差数列，设其公差为，
若，，则，
则．
故选：．
根据题意，设该数列的公差为，由通项公式求出，进而计算可得答案．
本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的通项公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，函数单调递增，，函数单调递减，
由导函数的图象知，函数在内，与轴有四个交点，从左向右看，
第一个点处导数左正右负，是极大值点，
第二个点处导数左负右正，是极小值点，
第三个点处导数左正右正，没有变号，所以不是极值点，
第四个点处导数左正右负，是极大值点，
所以函数在开区间内的极小值点有个．
故选：．
根据极值点的定义，结合导函数的图象，即可判断选项．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查了数形结合思想，属基础题．
5.【答案】
【解析】解：由题意可得，所以，而，
所以，
即，解得或舍．
故选：．
由等差数列，可得，，的关系，再由椭圆的性质整理可得椭圆的离心率的大小．
本题考查椭圆的性质的应用及等差数列的性质的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由可得，
依题意可得在上恒成立，即在上恒成立，
令，，则，
显然当时，，此时在上单调递减；
当时，，此时在上单调递增；
所以在时取得最小值，即，
因此只需满足即可，即实数的取值范围是．
故选：．
根据题意可知将问题转化为在上恒成立，利用导函数求出函数的最小值，即可得实数的取值范围．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：满足，可得，
则是首项和公比均为的等比数列，即，即，
则，
可得数列的前项和为，
由对任意的，都有，可得．
故选：．
对已知数列的递推式两边同时加上，结合等比数列的通项公式可得，再由数列的裂项相消求和，可得，由不等式恒成立思想可得所求取值范围．
本题考查数列的递推式和等比数列的通项公式，以及数列的裂项相消求和、不等式恒成立问题，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：令，，则，
当时，，在区间上单调递增，
则，即，
故，
因为，所以，即，故，
所以．
故选：．
令，利用导数求得为递增函数，得到，得出；再由，，求得，即可求解．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，正弦函数的性质，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，对于数列，有，则数列为等比数列，A正确；
对于，对于数列，有，故数列是等差数列，B正确；
对于，当，时，等比数列是递增数列，满足，C错误；
对于，若，
当时，有，
，
，
则有，解可得，D正确．
故选：．
根据题意，由等比数列的定义分析，由等差数列的定义分析，举出反例可得C错误，由等比数列前项和求出数列的前三项，由等比数列的定义求出的值，可得D正确，综合可得答案．
本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的求和，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为直线与圆相切，所以，即，可得在圆上，
所以，
将代入椭圆的方程可得，
所以点在椭圆内部．
故选：．
由直线与圆相切，可得，的关系，判断出在圆上，将点的坐标代入椭圆方程的左边，整理可得小于右边，判断出点在椭圆内部．
本题考查直线与圆相切的性质的应用及点与椭圆的位置关系的判断，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：的定义域为，，
当或时，，单调递增；
当时，，单调递减，
故为极大值点，为极小值点，共个极值点，A正确；选项，
极大值，极小值，
又，，结合选项中函数单调性及零点存在性定理，
可知有且只有，使得，故函数只有个零点，B错误；
C.令，则，
故在上单调递增，故当时，，C正确；
D.由，可得点不是函数上的点，
设切点为，，故，
故切线方程为，
将点代入切线方程中，得，
可以看出是方程的根，
故，
令，两根为，
综上，过点可作三条直线与曲线相切，D正确．
故选：．
A.求定义域，求导，得到函数单调性和极值点情况判断；结合得到函数的极值情况，结合函数单调性与零点存在性定理得到；得到，求导得到函数单调性判断；设出切点，由导数的几何意义得到切线方程，将代入，得到方程，求出个解，判断．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，函数的零点与方程根的关系，利用导数研究函数的切线方程，考查了转化思想和方程思想，属难题．
12.【答案】
【解析】解：由题意，双曲线，可得，则，
所以焦点，且，
设，则，双曲线的两条渐近线的方程为，
：由，所以，故A错误；
：过点作双曲线的一条切线，和两条平行于渐近线的直线，
这条直线与双曲线仅有公共点，故B正确；
：设，，直线的方程为，
则，，
，两式相减得，
即，
所以，所以直线的方程为，即，故C正确；
：设直线的方程为，
联立方程组，整理得，
若直线与双曲线相切，则，
整理得，
联立方程组，解得，即点的纵坐标为，
联立方程组，解得，即点的纵坐标为，
则点，的纵坐标之积为，故D错误．
故选：．
设，结合双曲线的定义即可判定；过作双曲线的切线和平行于渐近线的直线即可判定；利用点差法和中点的坐标公式求出直线的斜率即可判断；设直线方程为，联立方程组，结合，得到，再化简，即可判定．
本题考查了双曲线的性质，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为两条直线平行，所以，且，
解得．
故答案为：．
写出两条直线平行的充要条件，解得的值．
本题考查两条直线平行的充要条件的应用，属于基础题．
14.【答案】或
【解析】解：由抛物线的的方程可得焦点，
设直线的方程为，设，，
联立，整理可得：，
，，
由题意可知，解得，
方程为，解得或，
时，，当，，
不妨设，，
，所以函数在点处的导数，此时切线方程为，
即；函数在点处的导数，此时切线方程为，即．
综上可知，与相切于弦端点的一条直线的方程为或．
故答案为：或．
首先联立直线与抛物线方程，根据中点坐标，求直线的方程，并求点，的坐标，利用导数的几何意义可得切线方程．
本题考查直线与抛物线的综合应用，用导数的方法求过曲线上的点的切线的斜率，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：因为是椭圆上的一个动点，可得，，
所以，
所以为椭圆的下焦点，设椭圆的上焦点，
又因为，所以在椭圆内部，
．
故答案为：．
由题意可得为椭圆的下焦点，设上焦点，由椭圆的定义可得，可得的最小值．
本题考查椭圆的性质的应用及三点共线时线段之差的值最大的性质的应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：根据题意，方程，即，
变形可得：，
实数是方程的根，则有，
设，，方程等价于，
有，由于，则，
即在区间上为增函数，
而，必有，则有，
在的两边同时取对数可得：，即，
联立可得：，变形可得．
故答案为：．
根据题意，方程，变形可得，进而可得，设，，求出的导数分析的单调性，可得，结合对数的运算性质分析可得答案．
本题考查函数与方程的关系，涉及函数的导数与单调性的关系，属于中档题．
17.【答案】解：直线：，：，直线过点且与垂直，
故直线的斜率，故直线的方程为，整理得．
由于分别与，交于点，，
故，解得，故A；
同理，解得，故B．
由于圆经过点，，，
设圆的方程为，
故，解得，
故圆的方程为．
【解析】直接利用直线的垂直求出直线的斜率，进一步利用点斜式求出直线的方程；
利用直线间的关系建立方程组，进一步求出和的坐标，最后利用圆的一般式求出圆的方程，
本题考查的知识要点：直线的方程的求法，圆的方程的求法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
18.【答案】证明：依题意，由，
两边同时减去，
可得，
则有，
，
数列是以为首项，为公比的等比数列．
解：由可得，，
，，
则当时，
，
当时，也符合上式，
，，
，
则，
，
两式相减，
可得
，
．
【解析】先将题干中的递推公式两边同时减去，进一步推导即可发现数列是以为首项，为公比的等比数列，从而证得结论成立；
先根据第题的结论计算出数列的通项公式，再计算出的表达式，然后结合公式即可计算出数列的通项公式，进一步计算出数列的通项公式，最后运用错位相减法即可计算出前项和．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了整体思想，转化与化归思想，错位相减法，等比数列的通项公式与求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
19.【答案】解：当时，，，
，，
在点处切线方程为，即．
，，，
令，解得：；令，解得：，
在上单调递减，在上单调递增，
，
则令，设，．
令，解得：；令解得：，
在上单调递减，在上单调递增，
，则．
故．
【解析】求出函数的导数，根据导数的几何意义求得答案；
对求导，得到的单调性，可得，再令，证得，即，可得出答案．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，导数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：因为椭圆的右焦点为，且过，
所以，
解得，，
则椭圆的方程为；
依题意，直线的斜率存在且不为，
不妨设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
则的面积，
因为，
不妨令，
此时，
则，
因为，
当且仅当，时，等号成立，
则，
故面积．
【解析】由题意，根据题目所给信息以及，，之间的关系，列出等式即可求解；
设出直线的方程和，两点的坐标，将直线的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理、弦长公式、换元法以及三角形面积公式再进行求解即可．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：，则，
在单调递减，在上单调递增．
，，
当，则，即递减；当，则，即递增；
，由，有，
令，则，
当时，，递减；当时，，递增，
，而，，，，
由的取值集合中恰有个整数，，
取，，，，
故的取值范围为．
【解析】应用导数研究函数的单调性即可；
利用导数研究成立得，构造，研究单调性求最小值并确定对应，结合题设有取，，，结合，，，大小关系确定的范围．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数不等式问题，属于难题．
22.【答案】解：由抛物线过点，得，
解得，
当直线垂直于轴时，不妨设，，则，
所以，，
所以，
解得，
，
，
所以．
设直线的方程为，，，
联立，得，
所以，
所以，，
由，
得，
解得或，
当时，直线的方程为，
令，得，
此时直线恒过定点与点重合，不成立，
当时，直线的方程为，
令，则，
此时直线恒过定点，
因为，为垂足，
所以点在以为直径的圆上，
此时圆心为中点，半径为，
所以点在圆上，
所以点到直线的距离最大值为圆心到直线的距离加上半径，
即，
所以点到直线的距离最大值为．
【解析】由抛物线过点，得，解得，当直线垂直于轴时，不妨设，，则，由，解得，进而可得答案．
设直线的方程为，，，联立抛物线的方程，结合韦达定理可得，，由，得或，分情况讨论：点到直线的距离最大值，即可得出答案．
本题考查直线与抛物线的位置关系，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
第1页，共1页